- •Классическая статистическая физика Основные положения
- •Фазовое пространство системы частиц
- •Число степеней свободы
- •«Вымерзание» степеней свободы
- •Размерность фазового пространства
- •Число микросостояний в элементе объема Элемент объема фазового пространства равен
- •Объем и площадь n-мерной сферы
- •Фазовая траектория
- •Фазовый ансамбль
- •Теорема Лиувилля
- •, . (2.5)
- •Следствия теоремы Лиувилля
- •Пример. Идеальный газ двухатомных молекул
- •Микроканоническое распределение Основные понятия и определения
- •Распределение микросостояний по фазовому пространству
- •Энергетическая плотность состояний
- •Пример энергетической плотности состояний
- •Нормировочная постоянная микроканонического распределения
- •Микроканоническое распределение
- •Число микросостояний газа
- •Число микросостояний частицы
- •Энергетическая плотность состояний газа
- •Энергетическая плотность состояний частицы
- •Характеристики макросостояния
- •Вариация числа микросостояний при изменении объема
- •Статистический смысл давления
- •Соотношение между статистическими и термодинамическими характеристиками
- •Статистический смысл температуры
- •Статистический смысл энтропии
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Каноническое распределение
- •Распределение микросостояний газа по энергии
- •Макрохарактеристики и статистический интеграл
- •Принцип Ландауэра
- •Статистический интеграл поступательного движения
- •Статистический интеграл колебательного движения
- •Статистический интеграл вращательного движения
- •Теорема Бора – Ван-Лёвен
- •Распределение тепловой энергии по степеням свободы
- •Примеры
- •Вопросы коллоквиума
Микроканоническое распределение Основные понятия и определения
Объект – изолированный равновесный идеальный газ из N частиц в объеме V с полной энергией E.
Изолированная система – через границу системы не переходят частицы и энергия.
Равновесная система стационарна, ее макрохарактеристики не зависят от времени.
Идеальный газ – частицы независимы друг от друга, имеют малые размеры, не взаимодействуют на расстоянии.
Для любых состояний микроканонического распределения выполняется
.
Распределение микросостояний по фазовому пространству
Система изолирована и энергия сохраняется
.
Фазовый ансамбль находится в фазовом пространстве на гиперповерхности постоянной энергии, все ее точки равноправны. Вне гиперповерхности микросостояния отсутствуют. Следовательно, вероятность обнаружения системы в единице объема фазового пространства около точки X, или функция микроканонического распределения является дельта-функцией
. (2.7)
Плотность вероятности реализации микросостояний одинакова во всех точках гиперповерхности. Условие нормировки (2.4)
,
где , дает нормировочнуюпостоянную
. (2.8)
Функцию выразим через энергетическую плотность состояний.
Энергетическая плотность состояний
Набор возможных значений энергии системы называется энергетическим спектром. Газ в ограниченном объеме имеет дискретный спектр, зависящий от величины объема и от соотношения между энергией и импульсом частицы. На рисунке показан пример энергетического спектра. При макроскопическом объеме газа расстояние между уровнями мало и спектр квазинепрерывный. Для характеристики спектра используем энергетическую плотность уровней – число уровней в единичном интервале энергии. В классической физике уровень энергии соответствует микросостоянию, тогда – энергетическая плотность микросостояний. Выразим энергетическую плотность через распределение микросостояний по фазовому пространству.
Микросостояния с энергией находятся в фазовом пространстве назамкнутой гиперповерхности. Число микросостояний внутри гиперповерхности равно безразмерному объему фазового пространства
. (2.9)
При увеличении энергии на гиперповерхность сдвигается, объем фазового пространства внутри нее возрастает, число микросостояний увеличивается на
. (2.10)
В результате энергетическая плотность состояний системы равна увеличению фазового объема при возрастании энергии на единицу
. (2.11)
Приведенные соотношения применимы также к одной частице идеального газа. Значок Δ, использованный в (2.9) – (2.11), может далее упускаться для упрощения записей.
Пример энергетической плотности состояний
Найдем энергетическую плотность состояний гармонического осциллятора с частотой ω. Используем результат (П.2.4) для числа микросостояний с энергией ε
.
Из (2.11) при получаемплотность спектра состояний частицы
.
Энергетическая плотность состояний обратно пропорциональна частоте, не зависит от объема и энергии. Результат согласуется со спектром осциллятора (П.2.4а)
,
где – интервал эквидистантного спектра. Число уровней в единичном интервале энергии равно.