- •Предисловие
- •1. Множества и мощности
- •1.1. Множества
- •1.2. Число элементов
- •1.3. Равномощные множества
- •1.4. Счётные множества
- •1.6. Теорема Кантора
- •1.7. Функции
- •1.8. Операции над мощностями
- •2. Упорядоченные множества
- •2.2. Изоморфизмы
- •2.3. Фундированные множества
- •2.4. Вполне упорядоченные множества
- •2.5. Трансфинитная индукция
- •2.6. Теорема Цермело
- •2.7. Трансфинитная индукция и базис Гамеля
- •2.8. Лемма Цорна и её применения
- •2.9. Свойства операций над мощностями
- •2.10. Ординалы
- •2.11. Арифметика ординалов
- •2.12. Индуктивные определения и степени
- •2.13. Приложения ординалов
- •Литература
- •Предметный указатель
- •Указатель имён
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
Н. К. Верещагин, А. Шень
НАЧАЛА ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Издание четвёртое, дополненное
Москва Издательство МЦНМО, 2012
УДК 510.22 ББК 22.12
В31
Верещагин Н. К., Шень А.
В31 Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. — 4-е изд., доп. — М.: МЦНМО, 2012. — 112 c.
ISBN 978-5-4439-0012-4
Книга написана по материалам лекций и семинаров, проводившихся авторами для студентов младших курсов мехмата МГУ. В ней рассказывается об основных понятиях «наивной теории множеств» (мощности, упорядоченные множества, трансфинитная индукция, ординалы). Изложение рассчитано на учеников математических школ, студентов-матема- тиков и всех интересующихся основами теории множеств. Книга включает около 150 задач различной трудности.
Предыдущее издание книги вышло в 2008 г.
ББК 22.12
Тексты, составляющие книгу, являются свободно распространяемыми и доступны по адресу
ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logic/sets
Николай Константинович Верещагин Александр Шень
Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
Подписано в печать 11.04.2012 г. Формат 60 × 90 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 7. Тираж 1000 экз. Заказ №
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Б. Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241–74–83.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография ”Наука“ ». 121099, Москва, Шубинский пер., 6.
|
c |
|
Верещагин Н. К., |
ISBN 978-5-4439-0012-4 |
Шень А., 1999, 2012 |
|
Оглавление |
|
Предисловие |
4 |
|
1. |
Множества и мощности |
6 |
|
1.1. Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
|
1.2. Число элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
|
1.3. Равномощные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
|
1.4. Счётные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
|
1.5. Теорема Кантора – Бернштейна . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
|
1.6. Теорема Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
|
1.7. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
|
1.8. Операции над мощностями . . . . . . . . . . . . . . . . . |
37 |
2. |
Упорядоченные множества |
42 |
|
2.1. Эквивалентность и порядок . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
|
2.2. Изоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
48 |
|
2.3. Фундированные множества . . . . . . . . . . . . . . . . |
52 |
|
2.4. Вполне упорядоченные множества . . . . . . . . . . . . |
55 |
|
2.5. Трансфинитная индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . |
59 |
|
2.6. Теорема Цермело . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
|
2.7. Трансфинитная индукция и базис Гамеля . . . . . . . . |
68 |
|
2.8. Лемма Цорна и её применения . . . . . . . . . . . . . . |
75 |
|
2.9. Свойства операций над мощностями . . . . . . . . . . . |
80 |
|
2.10. Ординалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
83 |
|
2.11. Арифметика ординалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
|
2.12. Индуктивные определения и степени . . . . . . . . . . . |
90 |
|
2.13. Приложения ординалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
97 |
Литература |
105 |
|
Предметный указатель |
107 |
|
Указатель имён |
111 |
|
Предисловие
Предлагаемая вашему вниманию книга написана по материалам лекций для младшекурсников, которые читались авторами в разные годы на механико-математическом факультете МГУ. (В эту же серию входят книги «Языки и исчисления» и «Вычислимые функции».)
Основные понятия теории множеств (мощности, трансфинитная индукция, ординалы) входят в число вещей, которые хорошо бы знать любому грамотному математику (даже если он не является математическим логиком или общим топологом). Обычно про них коротко пишут в первых главах учебников анализа, алгебры или топологии, спеша перейти к основной теме книги. А жаль — предмет достаточно интересен, важен и прост, чтобы рассказать о нём не торопясь.
Именно такой популярный рассказ мы пытались написать, имея в виду самых разных читателей: от подготовленного школьника (захотевшего перейти от побед на олимпиадах к чему-то более осмысленному) до профессионального математика (решившего прочитать по дороге на отдых, что же такое трансфинитная индукция, которую всегда заменяют леммой Цорна). Для более подробного знакомства с теорией множеств читатель может обратиться к другим книгам (некоторые из них перечислены в списке литературы на с. 105).
Авторы пользуются случаем поблагодарить своего учителя, Владимира Андреевича Успенского, лекции, тексты и высказывания которого повлияли на них (и на содержание этой книги), вероятно, даже в большей степени, чем авторы это осознают.
При подготовке текста использованы записи А. Евфимьевского и А. Ромащенко (который также прочёл предварительный вариант книги и нашёл там немало ошибок).
Оригинал-макет книги был подготовлен В. В. Шуваловым; без его настойчивости (вплоть до готовности разделить ответственность за ошибки) оригинал-макет вряд ли появился бы к какому-либо сроку.
´
Авторы признательны Ecole Normale Sup´erieure de Lyon (Франция) за поддержку и гостеприимство во время написания этой книги.
Первое издание книги стало возможным благодаря Российскому фонду фундаментальных исследований, а также И. В. Ященко, который уговорил авторов подать туда заявку.
Наконец, мы благодарим сотрудников, аспирантов и студентов
Предисловие |
5 |
кафедры математической логики мехмата МГУ, а также всех участников наших лекций и семинаров и читателей предварительных вариантов этой книги.
Просим сообщать о всех ошибках и опечатках авторам (электронные адреса ver at mccme dot ru, nikolay dot vereshchagin at gmail dot com; sasha dot shen at gmail dot com, alexander dot shen at lirmm dot fr; почтовый адрес: Москва, 119002, Большой Власьевский пер., 11, Московский центр непрерывного математического образования).
Во втором издании исправлено несколько ошибок и добавлено несколько новых задач. В третьем издании был дополнен именной указатель и восстановлен предметный указатель. пропущенный во втором издании по вине авторов. В четвёртом издании (помимо изменения формата вёрстки и использования шрифтов LH) сделаны небольшие добавления, в основном связанные с аксиомой выбора.
Н. К. Верещагин, А. Шень