Гамильтоновы графы + Раскраска

Задача коммивояжера. Сравнение задач отыскания эйлеровых и гамильтоновых циклов.

Если в р-вершинном графе зафиксировать одну вершину, то перебором (р-1)! перестановок можно найти гамильтонов цикл (в этом случае перебирать все перестановки придется лишь при максимальном невезении) или убедиться в его отсутствии. На практике не пользуются столь бесхитростным способом, а применяют различные алгоритмы частичного перебора. Однако и там наблюдается тот же эффект – негамильтоновость установить, как правило, труднее, чем гамильтоновость. В этой ситуации были бы полезны необходимые условия гамильтоновости. Но к сожалению, для графов общего вида необходимые условия гамильтоновости неизвестны, за исключением банального факта, что гамильтонов граф должен быть двухсвязным, т.е. не иметь разделяющей вершины.

Рассмотрим следующую задачу, известную как задача коммивояжера. Имеется р городов, расстояния между которыми известны. Коммивояжер должен посетить все р городов по одному разу, вернувшись в тот, с которого начал. Требуется найти такой маршрут движения, при котором суммарное пройденное расстояние будет минимальным.

Очевидно, что задача коммивояжера – это задача отыскания кратчайшего гамильтонова цикла в полном графе. Можно предложить следующую простую схему решения задачи коммивояжера: сгенерировать все р! возможных перестановок вершин полного графа, подсчитать для каждой перестановки длину маршрута и выбрать из них кратчайший. Очевидно, такое вычисление потребует 0(р!) шагов.

Как известно, р! с ростом р растет быстрее, чем любой полином от р, и даже быстрее, чем 2^p, поскольку . Таким образом, решение задачи коммивояжера описанным методом полного перебора оказывается практически неосуществимым даже для сравнительно небольших р. Более того, известно, что задача коммивояжера принадлежит к числу так называемых NP-полных задач, подробное обсуждение которых происходит в курсе “Алгоритмы и анализ сложности”. Вкратце суть проблемы NP-полноты сводится следующему. В различных областях дискретной математики известно множество задач, принадлежащих к числу наиболее фундаментальных, для которых, несмотря на все усилия, не удалось найти алгоритмов решения, имеющих полиномиальную трудоемкость. Более того, если бы удалось отыскать эффективный алгоритм решения хотя бы одной из этих задач, то из этого немедленно следовало бы существование эффективных алгоритмов для всех остальных задач данного класса. На этом основано общепринятое мнение, что таких алгоритмов не существует.

Замечание. Внешне формулировки задач отыскания эйлеровых и гамильтоновых циклов очень похожи, однако они оказываются принципиально различными с точки зрения практического применения. Уже давно Эйлером получен просто проверяемый критерий существования в графе эйлерова цикла. На основе этого критерия можно построить эффективные (т.е. имеющие полиномиальную трудоемкость) алгоритмы отыскания такого цикла (см. гл. IV данного курса). Для гамильтоновых же графов не известно ни одного критерия (т.е. условия, которое одновременно являлось бы и необходимым, и достаточным для существования в графе гамильтонова цикла) и не найдено ни одного эффективного алгоритма поиска гамильтонова цикла (задача проверки существования гамильтонова цикла, как и задача коммивояжера, оказывается NP-полной). Поскольку известно, что почти нет эйлеровых графов, то эффективный алгоритм отыскания эйлеровых циклов редко применим на практике. С другой стороны, так как почти все графы гамильтоновы, то задача отыскания гамильтонова цикла (а также эквивалентная ей задача коммивояжера) являются практически востребованными, но для них неизвестен (и, скорее всего, не существует) эффективный алгоритм решения.

2.7. Раскраска графов. Проблема четырех красок

Определение 2.25. Раскраской графа называется такое приписывание цветов (натуральных чисел) его вершинам, что никакие две смежные вершины не получают одинаковый цвет. Раскраска графа в m цветов называется m-раскраской.

Определение 2.26. Наименьшее возможное число цветов m в раскраске графа G называется хроматическим числом и обозначается .

Очевидно, что существует m-раскраска графа G для любого m в диапазоне .

Определение 2.27. Множество вершин, покрашенных в один цвет, называется цветовым классом. Никакие две вершины в цветовом классе не смежны.

Нахождение хроматического числа достаточно трудоёмкая задача. Однако можно дать оценку этого числа. Так, например, из определения хроматического числа вытекает его оценка от количества ребер:

.

Доказательство: Пусть граф G имеет хроматическое число . Тогда G содержит, по меньшей мере, одно ребро, инцидентное вершинам из разных цветовых классов, или один и тот же цвет можно использовать для двух различных цветовых классов. Пары вершин из k различных цветовых классов можно выбрать способами, поэтому . Решая это неравенство относительно k, получаем требуемое утверждение. 

Примеры. , , , , , . Для графа на рис. 2.22 (его раскраска изображена на рисунке 2.23).

Рис. 2.22 Рис. 2.23

Для более общих случаев верна следующая теорема.

Теорема об оценке хроматического числа. .

Доказательство: Индукция по числу вершин p.

1) Если , то и .

2) Допустим, что неравенство верно для всех графов с числом вершин меньше, чем p. Рассмотрим граф G(V, E) с p вершинами. Тогда для vV . Но , значит, хотя бы один цвет в -раскраске графа G\v свободен для v. Покрасив v в этот цвет, получим -раскраску графа G. 

Исторически раскрасочная терминология пришла в теорию графов из задачи о раскраске стран на карте: “Сколько цветов требуется для раскраски различных стран на карте так, чтобы каждые 2 смежные страны были окрашены по-разному?” Эта задача сводится к проблеме определения максимального хроматического числа плоских графов. По одним сведениям, об этой задаче знал еще в 1840 г. немецкий математик Мёбиус. По другим же данным она возникла в 1852 г., когда некий Франсис Гатри спросил своего брата Фредерика, в то время студента-математика в Кембридже, верно ли, что каждую карту можно окрасить в четыре цвета так, чтобы смежные страны имели разные цвета. Эта задача, получившая название проблемы (гипотезы) четырех красок, была впервые предложена вниманию общественности в выступлении Кэли на заседании Лондонского математического общества в 1878 г.

Теорема о 4 красках. Всякий плоский граф можно раскрасить четырьмя красками.

Годом позже А. Кемпе опубликовал неправильное доказательство, которое было в 1890 г. переделано Р. Хивудом в доказательство теоремы о пяти красках.

Теорема о пяти красках. Всякий плоский граф можно раскрасить пятью красками.

Доказательство: Достаточно рассматривать связные графы, потому что . Индукция по числу вершин p.

1) Если , то .

2) Пусть теорема верна для всех связных планарных графов с p вершинами. Рассмотрим связный планарный граф G с p+1 вершиной. В графе G vV (см. задачу 53). По индукционному допущению . Нужно раскрасить вершину v.

а) Если , то в 5-раскраске G\v существует цвет, свободный для v.

б) Если и для раскраски вершин, смежных с v, использованы не все 5 цветов, то в 5-раскраске G\v также существует цвет, свободный для v.

в) Осталось рассмотреть случай, когда и все 5 цветов использованы для раскраски вершин, смежных с v (вершина v_i покрашена в цвет i). Пусть G₁₃ – правильный подграф графа G\v, порожденный всеми вершинами, покрашенными в цвета 1 или 3 в 5-раскраске графа G\v. Если v₁ и v₃ принадлежат разным компонентам связности графа G₁₃, то в той компоненте, в которой находится v₁, произведем перекраску 13. При этом получится 5-раскраска G\v, но цвет 1 будет свободен для v. В противном случае существует простая цепь, соединяющая v₁ и v₃ и состоящая из вершин, покрашенных в цвета 1 и 3. В этом случае v₂ и v₄ принадлежат разным компонентам связности подграфа G₂₄, так как граф G – планарный (рис. 2.24). Перекрасим вершины 24 в той компоненте связности графа G₂₄, которой принадлежит v₂, и получим 5-раскраску графа G\v, в которой цвет 2 свободен для v. 

Рис. 2.24

В 1880 г. Тейт анонсировал “дальнейшие доказательства” гипотезы четырех красок, которые так и остались нематериализованными.

В 1941 г. Брукс улучшил оценку для хроматического числа некоторых графов.

Теорема Брукса. Если связный граф G не является ни полным графом, ни нечетным циклом, то .

В середине ХХ века при попытке решить проблему 4 красок были доказаны следующие теоремы.

Теорема Татта (1956 г.). Всякий 4-связный планарный граф имеет гамильтонов цикл (Гипотеза, содержащая формулировку этой теоремы, была высказана в 1946 г.).

Теорема Грёцша (1959 г.). Каждый плоский граф, не содержащий треугольника, можно раскрасить тремя красками.

Тем не менее доказать теорему о 4 красках не могли в течение 125 лет после ее первоначальной формулировки и в течение 99 лет после ее формулировки для научной общественности.

Первое общепризнанное доказательство теоремы о четырех красках было опубликовано Аппелем и Хакеном в 1977 г [7]. Доказательство основано на идеях, восходящих еще к статье Кемпе и далеко продвинутых Биркгофом и Хеешем. Говоря очень приблизительно, доказательство сводится, во-первых, к утверждению, что каждая плоская триангуляция (т.е. плоский связный граф, каждая грань которого, включая и внешнюю, ограничена циклом длины 3) должна содержать, по крайней мере, одну из 1482 «неизбежных конфигураций» (конфигурация – это связный подграф плоского графа). На втором этапе с помощью компьютера показывается, что каждая из этих конфигураций «редуцируема», т. е. что любая плоская триангуляция, содержащая такую конфигурацию, может быть 4-раскрашена, исходя из 4-раскрасок меньших триангуляций. Вместе взятые эти два шага составляют индуктивное доказательство того, что все плоские триангуляции, а следовательно, и все плоские графы можно раскрасить в четыре цвета.

Доказательство Аппеля и Хакена не было обойдено критикой, и не только из-за использования ими компьютера. Авторы ответили 741-страничной алгоритмической версией доказательства, которая учитывает различные критические замечания и исправляет множество ошибок (например, ими добавлено еще 450 конфигураций к «неизбежному» списку) [14]. В результате, компьютер, проработав 1500 часов, показал, что из 1932 конфигураций 1931 редуцируема. Последнюю конфигурацию исследовали вручную, применив более тонкие методы редукции, не заложенные в программу. Проверка показала, что и эта конфигурация редуцируема. Так проблема четырех красок была решена.

Гораздо более короткое доказательство, которое основано на тех же идеях (и, в частности, использует компьютер таким же образом), но более доступно проверке как в текстовой, так и в компьютерной части, дано в статье [15].

Замечание. В данном параграфе речь шла о вершинной раскраске графа. Но также существует и понятие реберной раскраски – такое приписывание цветов (натуральных чисел) ребрам графа, что никакие два смежных ребра не получают одинаковый цвет. Наименьшее возможное число цветов m в реберной раскраске графа G называется реберным хроматическим числом или хроматическим индексом и обозначается . Очевидно, что для любого графа . Этот результат уточняют 2 следующие теоремы.

Теорема Кёнига (1916 г.). Для каждого двудольного графа .

Теорема Визинга (1964 г.). Для каждого графа .

Таким образом, если для имеются лишь приблизительные оценки, то родственное ему число может принимать лишь 2 значения.

К сожалению, не существует эффективных алгоритмов (т.е. имеющих полиномиальную сложность) решения задач нахождения минимальной раскраски вершин и ребер графа. Разработаны лишь алгоритмы нахождения минимальной раскраски произвольного графа, основанные на переборе возможных вариантов, и алгоритмы с полиномиальной сложностью, приводящие к раскраске, близкой к минимальной [6].

Наши рекомендации по нахождению хроматического числа и хроматического индекса состоят в следующем. Вычисление целесообразно начинать с выделения в графе максимального полного подграфа – количество вершин в нем будет минимально возможным значением . Нахождение лучше начинать с определения вершины максимальной степени и раскраски инцидентных ей ребер. Дальнейшую раскраску вершин (или ребер) следует производить, исходя из экономии цветов, т.е. 2 несмежные между собой вершины (ребра), но смежные третьей вершине (ребру), раскрашивать одним цветом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев В.Е. Элементы теории графов. Пособие для студентов заочного отделения. – Н.Новгород, ННГУ, 2002.

2. Берж К. Теория графов и ее применения. – М.: Изд. иностр. лит., 1962.

3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. - М.: Наука, 1977.

4. Дистель Р. Теория графов. Новосибирск, Изд-во Института математики, 2002.

5. Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании. - М.: Наука, 1985.

6. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. – М.: Наука, 1990.

7. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. М.: Энергоатомиздат, 1988. 2-е изд., переработанное и дополненное.

8. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1992.

9. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб: Питер, 2001.

10. Оре О. Теория графов. 2-е изд. — М.: Наука. 1980. — 336 с.

11. Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977.

12. Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1973.

13. Шапорев С.Д. Математическая логика. Курс лекций и практических занятий: Учеб. пособие. - СПб: БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.

14. Appel K., Hakeп W. Every Planar Map is Four Colorable. Providence: Amer. Math. Soc. 1989.

15. Robertson N., Sanders D., Seymour P.D., Thomas H. The four-colour theorem // J. Combin. Theory. Ser. B. 1997. V. 70. P. 2-44.

6