- •Вопрос 4.Детерминированные и квазидетерминированные процессы, их описание в рамках теории случайных процессов, выражения для -мерных плотностей вероятностей.
- •Вопрос 5.Квазигармонический процесс со случайной начальной фазой, равномерно распределённой в интервале. Его одномерная плотность вероятностей.
- •Вопрос 6.Многомерная характеристическая функция случайного процесса и её основные свойства.
- •Вопрос 7.Моментные функции случайного процесса. Среднее значение и корреляционная функция. Связь моментных функций с характеристической функцией.
- •Вопрос 8.Кумулянтные функции случайного процесса, их связь с характеристической функцией. Связь между кумулянтными и моментными функциями (на примере функций 1-ого и 2-ого порядков).
- •Вопрос 9.Ковариационная функция случайного процесса. Дисперсия. Понятия некоррелированности и статистической независимости двух значений случайного процесса. Коэффициент корреляции.
- •Вопрос 10.Гауссовские случайные процессы, их -мерные характеристическая функция и плотность вероятностей. Информация, необходимая для полного описания гауссовского случайного процесса.
- •Вопрос 11.Ковариационная матрица отсчётов случайного процесса и её основные свойства.
- •Вопрос 12. Основные свойства гауссовских случайных процессов. Выражение -мерных моментных функций гауссовского случайного процесса с нулевым средним значением через ковариационную функцию.
- •Вопрос 13. Стационарные случайные процессы. Понятия стационарности в узком и широком смыслах, их взаимоотношение.
- •Вопрос 14.Стационарность квазидетерминированных случайных процессов (рассмотреть на примерах и, гдеи— случайные величины,— детерминированная периодическая функция).
- •Вопрос 15.Эргодичность случайных процессов. Вывод необходимых и достаточных условий эргодичности по отношению к среднему значению.
- •Вопрос 16. Привести пример стационарного, но неэргодического случайного процесса (статистического ансамбля) с доказательством и обсуждением причин неэргодичности.
- •Вопрос 17.Необходимое и достаточное условия эргодичности по отношению к корреляционной функции случайного процесса (для произвольного и гауссовского процессов).
- •Вопрос 20.Понятия стационарности, эргодичности, гауссовости совокупности двух случайных процессов. Разобрать пример двух стационарных, но нестационарно связанных случайных процессов.
Вопрос 13. Стационарные случайные процессы. Понятия стационарности в узком и широком смыслах, их взаимоотношение.
Рассмотрим все известные нам случайные процессы с другой стороны. Случайный процесс называетсястационарным в широком смысле (в строгом смысле), если все его-мерные плотности вероятностей инвариантны относительно любого сдвига во времени, т.е.
.
В частности, одномерная плотность вероятностей
.
Для двумерной плотности вероятностей
.
Среднее значение и дисперсия стационарного случайного процесса будет постоянной величиной, а его корреляционная функция будет зависеть только от разности моментов времени:
Случайный процесс называетсястационарным в широком смысле, если его среднее значение постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени.
Нетрудно заметить, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле. Обратное утверждение в общем случае не верно.
Для гауссовских процессов понятия стационарности в широком и узком смыслах совпадают.
Вопрос 14.Стационарность квазидетерминированных случайных процессов (рассмотреть на примерах и, гдеи— случайные величины,— детерминированная периодическая функция).
Рассмотрим сначала процесс , где— случайный параметр. Пусть значенияравномерно распределены в интервале от. Для того чтобы доказать, что— стационарный случайный процесс вычислим его среднее значение и корреляционную функцию.
.
Постоянную амплитуду можно вынести из под знака усреднения. Далее, представим косинус суммы следующим образом:
.
Детерминированные функции итоже можно вынести из под знака усреднения, так как усреднение производится по случайной фазе (по статистическому ансамблю), а не по времени. Следовательно, будем иметь
.
Вычислим средние:
.
В итоге, получаем
Теперь вычислим корреляционную функцию:
.
Представим произведение косинусов через их сумму:
.
Далее разложим косинус суммы:
.
Заметим, что — детерминированные функции и их можно вынести за знак усреднения. Тогда получим
.
Таким образом, мы показали, что данный квазигармонический процесс является стационарным в широком смысле. Для того, чтобы показать, что он является стационарным в узком смысле, необходимо вычислять его моментные функции высших порядков, которые все окажутся нулями.
Рассмотрим теперь второй процесс:
,
где — детерминированная периодическая функция с периодом, а— случайный параметр. Пустьравномерно распределена на периоде. Тогда
.
Так как функция периодична, то
.
Но тогда ни в пределы интегрирования, ни в подынтегральное выражение время не входит. Значит,
.
Теперь вычислим корреляционную функцию:
.
Таким образом, мы показали, что и этот процесс является стационарным в широком смысле.
Вопрос 15.Эргодичность случайных процессов. Вывод необходимых и достаточных условий эргодичности по отношению к среднему значению.
Случайный процесс обладает свойствомэргодичностиотносительно своего среднего, если среднее по времени
при сходится к среднему по статистическому ансамблю, т.е.
.
Здесь под знаком предела мы рассматриваем сходимость в среднеквадратическом смысле, т.е.
.
Заметим, что нестационарный процесс не может быть эргодическим. Найдём необходимое и достаточное условие эргодичности случайного процесса по отношению к его среднему значению. Для этого найдём явное выражение для дисперсии оценки:
.
Итак, мы получили, что для того, чтобы процесс был эргодическим относительно своего среднего, нужно удовлетворить следующему условию:
Можно ужесточить это условие:
—
достаточное условие Слуцкого. Можно записать ещё более сильное условие:
.