Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач

4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала

Функция называется первообразной для функциина интервале, конечном или бесконечном, если в любой точкеэтого интервала функциядифференцируема и имеет производную.

Совокупность всех первообразных для функции , определенных на интервале, называетсянеопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом

.

Метод подведения под знак дифференциала следует из свойства инвариантности неопределенного интеграла.

Пусть дан интеграл . Справедливо равенство

,

где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция.

Таблица интегралов

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.
15.

При интегрировании методом подведения под знак дифференциала необходимо иметь в виду следующие равенства:

В общем случае

.

Пример 1

Найти интеграл.

Так как , то

.

Пример 2

Найти интеграл .

Так как , то

.

Пример 3

Найти интеграл .

Так как , то

Пример 4

Найти интеграл .

Так как, то

.

4.2. Метод интегрирования по частям

Пусть дан интеграл вида , где- непрерывно дифференцируемые функции. Справедлива формула интегрирования по частям

.

Таким образом, вычисление интеграла приводится к вычислению интеграла, который может оказаться более простым или табличным.

Пусть - многочлен степениn. Методом интегрирования по частям можно вычислить, например, интегралы вида:

1 группа:	2 группа:

Пример

Найти интеграл .

Решение

Положим , найдем,. Так как достаточно взять одну из первообразных, то принимаем. Применим формулу интегрирования по частям

.

4.3. Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим интеграл вида гдеR – рациональная функция своих аргументов.

Универсальная подстановка сводит данный интеграл к интегралу от рациональной дроби, при этом

, ,.

Итак:

Пример

Найти интеграл .

Решение

Применим универсальную подстановку

,

получим

4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Пусть функция определена и непрерывная на отрезкеи пусть, для определенности,

Разобьем отрезок наn частей произвольным образом точками деления: . Выберем на каждом частичном промежуткепроизвольным образом точки.

Обозначим Составим сумму, которая называетсяинтегральной суммой для функции на отрезке.

Обозначим длину наибольшего частичного промежутка через Перейдем к пределу при.

Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения отрезкана частичные и выбора на них точек, то он и называетсяопределенным интегралом от функции на отрезкеи обозначается

Если – любая первообразная для функции, то справедливаформула Ньютона – Лейбница:

,

т.е. для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 1

Если точисленно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой,

прямыми и осьюох:

Если меняет знак конечное число раз на отрезке, то интеграл по всему отрезку разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам, интеграл будет положителен там, гдеи отрицателен, где:

.

Пусть нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ии прямыми, тогда при условииимеем

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и.

Решение

у у=х+3 у=х2+1 3 –3 –1 0 2 х

Найдем точки пересечения: ,

.

Краткое содержание (программа) курса