Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Восточно-Сибирский государственный

технологический университет»

(ГОУ ВПО ВСГТУ)

Методические указания и контрольные задания

по теме Числовые ряды

для студентов всех специальностей

Составители: Ешеева И.Р.,

Намсараева Г.В.

Улан-Удэ

Издательство ВСГТУ

2009

Методические указания и контрольные задания

Составители: Ешеева И.Р.

Намсараева Г.В.

Рецензент:

Методические указания содержат необходимые теоретические сведения и методы решения задач, приведенные на достаточном количестве примеров, по теме Числовые ряды. В конце приведены 25 вариантов контрольной работы и 25 вариантов типового расчета «Ряды».

СОДЕРЖАНИЕ

	Основные понятия и определения. §2. Признаки сходимости числовых рядов.	4
		5
		8
		8
		15
		20
		30
	Список литературных источников	36

Обозначения

► определение

○● начало и конец решения задачи

۞ важно запомнить

Введение

Данное пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих раздел «Ряды».

Задания контрольной работы охватывают следующие темы:

1. Знакопостоянные ряды;

2. Знакопеременные ряды

Вопросы, входящие в данные темы, которые необходимо изучать, для успешного выполнения типового расчета:

Раздел 1. Числовые ряды.

- Определение числового ряда, суммы ряда.

- Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

- Знакочередующийся ряд, абсолютная и условная сходимость.

Данное методическое пособие включает в себя теоретический и практический материал по теме «Ряды» необходимый для решения контрольной работы, а также список литературы. Все приведенные в пособии теоретические сведения и методы решения задач сопровождаются большим числом примеров.

1. Числовые ряды

1. Основные понятия и определения.

Пусть u₁,u₂,u₃,…, u_n, …, где , - бесконечная числовая последовательность. Выражениеu₁+u₂+u₃+…u_n+…называется бесконечным числовым рядом, а числа u₁,u₂,u₃,…, u_n, … - членами ряда; называется общим членом. Ряд часто записывают в виде.

Сумма первых n членов есть n-я частичная сумма ряда S_n= u₁+u₂+u₃+…u_n.

Если существует конечный = S, то ряд называется сходящимся., S называется суммой ряда. В противном случае ряд называется расходящимся.

Пример 1. Укажите, какое из выражений можно назвать числовым рядом:

а) 1+2+3+…+100;

б)

в) 1+3-2+10+7…

Ответы в задаче 1:

а) не является числовым рядом т.к. дана сумма конечного числа слагаемых;

б) является числовым рядом;

в) не является числовым, рядом, т.к. члены не являются членами последовательности, т.е. не подчиняются какой-либо закономерности.

Пример 2. Сходится ли ряд + …

Чтобы выяснить, будет ли сходиться ряд, нужно:

1) построить последовательность частичных сумм;

2) вычислить ее предел при n ∞.

Решение

;;;…; ,

применим формулу суммы членов геометрической прогрессии

.

Перейдем к пределу . Значит, ряд сходящийся, его сумма равна 1.

Пример 3. Будет ли сходиться ряд 1-1+1-1+…?

Решение

1) Здесь и т.д.

2) Последовательность частных сумм: 1; 0; 1; 0; 1 … не стремится ни к какому пределу, следовательно, ряд расходится.

Пример 4. Установить сходимость рядов:

а)

б)

в) 2+7+12+17+…+ (2 + 5(n-1))+…

Ответы:

а) гармонический ряд – расходящийся;

б) геометрическая прогрессия, q =– сходится;

в) арифметическая прогрессия,

.

, ряд расходится.

Вычисление предела частных сумм не всегда удается провести непосредственно, это обычно приводит к громоздким вычислениям. Поэтому сходимость или расходимость ряда выясняют с помощью необходимых и достаточных признаков.

2. Признаки сходимости числовых рядов.

Приведем общую схему, по которой можно установить сходимость числового ряда, выполняя по порядку указанные действия.

2.1. Схема исследования сходимости числового ряда.

Исследуем ряд на сходимость.

2.2. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то его общий членстремится к нулю, т.е..

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Исследуемый ряд .

, Необходимый признак не выполняется, ряд расходится.