Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА2015

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
539.67 Кб
Скачать
R;
R;

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Построение системы комплексных чисел

Комплексные числа вводятся в связи со следующей задачей. Известно, что действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. В частности, в R не имеет решений уравнение x2 1 0. Это обстоятельство стимулировало необходимость расширения системы действительных чисел R до такой системы чисел, в которой это уравнение уже обладало бы корнем. С другой стороны, определенные на множестве R операции сложения и умножения обладают «хорошими» свойствами. На прошлой лекции мы поняли, что группоид является группой, а группоид полугруппой с единицей.

Хотелось бы, чтобы операции, определенные в новой системе чисел, обладали бы аналогичными свойствами.

Таким образом, задача, стоящая перед нами такова: построить такое новое множество чисел, чтобы

1.в новой системе уравнение x2 1 0 имело бы корень,

2.множество R являлось бы подмножеством нового множества,

3.операции сложения и умножения, определенные на новом множестве, обладали бы всеми основными свойствами, какими обладают операции в системе действительных чисел (обе они ассоциативны и коммутативны, связаны законами дистрибутивности и для них существуют обратные операции – вычитание и деление, кроме деления на нуль.).

Оказывается, что множество чисел С= a bi | a,b R операции сложения и умножения в котором определяются так, как указано ниже, удовлетворяет всем вышеперечисленным свойствам. Здесь i – некоторый

символ, не принадлежащий R такой, что i2 1. Доказательство существования поля комплексных чисел можно найти в учебном пособии «Алгебра и теория чисел» Мартынова Л.М.

Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Таким образом, под комплексным числом будем понимать формальное выражение вида a+bi. При этом число a называется действительной частью, а b мнимой частью этого комплексного числа. Букву i называют

мнимой единицей.

Представление комплексных чисел в виде z a bi называется

алгебраической формой комплексного числа. Действительную часть a

числа z будем обозначать через Re z , а мнимую часть b числа z – через Im z . Число z a bi называется сопряженным к z . Если b 0 , то число z называется мнимым, а если, кроме того, a 0 , то число z называется чисто мнимым. Комплексные числа вида a 0i являются действительными числами.

Два комплексных числа считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е.

a bi c di a c b d .

(1)

Определим на множестве С две бинарные алгебраические операции сложения и умножения следующими равенствами:

(a bi) (c di) (a c) (b d)i ,

(2)

(a bi) (c di) (ac bd) (ad bc)i .

(3)

Обратите внимание на то, что знак «+» в выражении

a bi является просто

символом и пока не несет никакой смысловой нагрузки, в то время как при расположении его между действительными или комплексными числами он означает соответствующую операцию сложения.

Если даны два комплексных числа z a bi и u c di , где z 0 , то, в С существует частное, которое можно вычислить по формулам (4) и (3):

u

uz 1

ac bd

 

ad bc

i .

(5)

 

a2 b2

 

z

 

 

a2 b2

 

! Формулы (3) и (5) не надо запоминать. Все алгебраические операции над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i2 1.

Пример.

а) Вычислить (2 i)2 . (2 i)2 4 4i i2 4

23 i

б) Вычислить 3 i .

23 i (23 i) (3 i) 3 i (3 i) (3 i)

4i 1 3 4i .

(69 1) ( 23 3)i

 

70 20i

7 2i .

9 1

9 1

 

 

Умножили числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

Свойства сопряженных комплексных чисел.

Для любых комплексных чисел z a bi и

w c di справедливы

следующие свойства:

 

1)z w z w , т.е. сопряженное к сумме равно сумме сопряженных;

2)z w z w , т.е. сопряженное к произведению равно произведению сопряженных;

3)z z R, т.е. сумма комплексного числа и его сопряженного есть действительное число;

4)z z R, т.е. произведения комплексного числа на сопряженное есть действительное число;

5)z z z R, т.е. сопряженное к комплексному числу совпадает с этим числом тогда и только тогда, когда оно является действительным числом.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа.

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число a+bi можно рассматривать как пару действительных чисел (a;b) . Поэтому естественно комплексные числа

изображать точками плоскости. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число z a bi изображается точкой плоскости с координатами (a;b) ; эту точку условимся обозначать той же

буквой z (рис.1).

Y

bi

 

 

z

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a

X

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно-однозначно: каждому комплексному числу z=a+bi соответствует одна точка плоскости с координатами (a;b) и, наоборот, каждой точке

плоскости с координатами (a;b) соответствует одно комплексное число

z=а+bi. Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной.

При такой интерпретации действительные числа а, т.е. комплексные числа вида a+0i, изображаются точками с координатами (a; ) , т.е. точками

оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа 0+bi изображаются точками с координатами ( ;b) , т.е.

точками оси ординат, вследствие этого ось ординат называют мнимой осью. Можно также считать, что комплексному числу z=a+bi соответствует

вектор с координатами (a;b) . Тогда, например, можно находить сумму комплексных чисел по правилу параллелограмма сложения векторов.

Сопряженные комплексные числа z и z a bi симметричны относительно действительной оси.

Определение 1. Модулем комплексного числа z a bi называется длина соответствующего этому числу вектора.

Обозначение:. | z |

Понятно, что | z | a2 b2 .

! Модуль комплексного числа совпадает с абсолютной величиной числа только для действительных чисел.

Геометрически очевидно, что комплексное число z 0 будет задано, если помимо модуля указать еще и направление вектора, задав, например величину угла .

Y

bi

 

 

z

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a

X

Определение 2. Аргументом комплексного числа z 0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z .

Обозначение: arg z =α.

Замечание. 1) Аргументов комплексного числа z 0 бесконечно много, все они являются. Все они отличаются на величину, кратную 2 .

2) Заданием | z | и arg z комплексное число z 0

определяются однозначно.

3) Для числа z 0 аргумент не определяется.

Действительная и мнимая части комплексного числа z a bi выражаются через его модуль z = r и аргумент следующим образом

a r cosα , b r sin α .

Таким образом, аргумент комплексного числа может быть найден из системы

cos

 

 

 

 

a

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 b2

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждое комплексное число z a bi , z 0 , может быть записано в виде

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

Z

a2 b2

 

 

 

 

 

 

r(cos i sin )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

b

2

 

 

a

2

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z r(cos i sin )

, где r R .

(1)

Это так называемая тригонометрическая форма комплексного числа

z .

Представление комплексного числа в тригонометрической форме однозначно с точностью до углов, кратных π .

Значение аргумента, которое находится в промежутке от 0 до 2 , будем называть главным значением аргумента и обозначать через Arg z . Легко

понять, что любое комплексное число z 0 можно однозначно представить в тригонометрической форме

z | z | (cosα isin α) ,

(1 )

где = Arg z .

Правило нахождения главного значения аргумента:

0)находим главное значение arctg ba β ; это угол в I четверти;

1)если точка z лежит в I четверти, то α Arg z β ;

2)если точка z лежит во II четверти, то α Arg z π β ;

3)если точка z лежит в III четверти, то α Arg z π β ;

если точка z лежит в IV четверти, то α Arg z π β .

Пример. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

а) z 1 3i ; б) u 1 i ; в) v 3 i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

| z |

 

 

(

3)2

 

 

4 2,

arctg

 

 

 

arctg

 

3

. Так как точка

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

z

лежит

 

во

 

II

четверти,

 

 

то

согласно

 

 

правилу

2)

 

 

α Arg z π β

 

 

π

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 2

 

 

 

 

 

i sin

 

=

 

 

 

.

 

 

 

Таким

 

 

образом,

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

тригонометрическая форма числа z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg1

π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| u |

 

 

( 1)2 ( 1)2

 

 

 

 

 

 

β arctg

 

 

 

 

б)

 

 

2 ,

 

 

Так как точка u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лежит во II

четверти, то согласно правилу 3)

α Arg z π β = π

π

π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 i

 

 

 

 

 

 

 

 

5

i sin

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

2 cos

 

 

 

 

– тригонометрическая форма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числа u .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) | v |

 

 

(

 

 

3)2 ( 1)2

 

4 2 ,

arctg

arctg

 

 

 

 

. Так как точка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

лежит

 

в

 

 

IV

четверти,

 

то

 

согласно

правилу

4)

 

 

 

α Arg z π β =

 

π

 

π

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= π

 

 

 

.

Таким

образом,

i cos

 

 

 

 

 

 

 

 

тригонометрическая форма числа v.

i sin

π

 

 

 

 

 

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы можно легко выполнять умножение и деление комплексных чисел, возведение их в степень и извлечение корня любой степени.

1. Умножение и деление.

Теорема. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, т.е.

 

z w

 

 

 

z

 

 

 

w

 

;

(1)

 

 

 

 

 

 

аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей, т.е.

 

arg(z w) arg z arg w .

(2)

Другими словами, при умножении комплексных чисел их модули

перемножаются, а аргументы складываются.

Теорема Модуль частного комплексных чисел равен частному их модулей, т.е.

z

 

 

| z |

;

(3)

w

| w |

 

 

 

 

аргумент частного равен разности аргументов, т.е.

 

z

 

 

 

arg

 

arg z arg w .

(4)

 

w

 

 

Другими словами, при делении комплексных чисел их модули делятся,

а аргументы вычитаются.

2. Возведение в степень.

Для умножения комплексных чисел следует перемножить их модули и сложить аргументы. Ясно, что это правило остается в силе и для любого конечного числа сомножителей. Следовательно, для любого комплексного

числа z r(cosα isin α) и любого натурального числа n модуль z n

будет

равен r n , а аргументом zn будет nα , т.е. справедлива формула

 

 

r(cos i sin ) n rn (cos n i sin n )

,

(5)

которая называется формулой Муавра.

 

Полученная формула верна и для отрицательных целых чисел n.

 

Теорема Для любого целого числа n и любого комплексного числа

z r(cosα isin α) справедлива формула Муавра (5).

 

r(cosα i sin α) n r n (cosnα i sin nα),

(5)

Пример. Вычислить (1 i3)6 .

Имеем 1 i 3 2(cos 3 i sin 3 ) . Применим формулу Муавра: (1 i3)6

= 26 (cos2 i sin 2 ) 26 64.

4. Извлечение корня.

Теорема. Для любого натурального числа n

корень n -й степени из

любого ненулевого

комплексного числа

z r(cosα isin α) существует и

имеет n различных значений, которые находятся по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α πk

 

α πk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wk n z n

r(cosα i sin β) n r cos

 

i sin

 

,

( 8 )

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k , , , ...,n .

Учитывая, что модули всех корней одинаковы и равны nr , а аргументы отличаются на слагаемые, кратные nπ , легко дать им геометрическую

интерпретацию: все корни n -й степени из данного ненулевого комплексного

числа расположены на окружности радиуса nr с центром в начале координат и делят эту окружность на n равных частей (т.е. находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в эту окружность).

Пример. Вычислить 3 i .

Имеем

i cos

3

i sin

3

. По формуле ( 8 ) получаем, что

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wk

 

 

 

π / πk

i sin

π / πk

k

π i sin

k

π ,

 

 

cos

 

 

 

 

= cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k , , .

Отсюда

w cos

π

i sin

π

i ,

w cos π

i sin π

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w cos π

i sin π

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Корни n-й степени из единицы. Поскольку (cos isin ) , из формулы (8 ) получаем, что все корни n-й степени из 1 имеют вид

e n

 

cos

2 k

i sin

2 k

, k 0,1, 2, ..., n 1

(9)

1

 

 

k

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

Действительные значения корня n-й степени из 1 получаются из формулы

(9) при значениях k 0 и

n

, если

n – четное число, и только при k 0 , если

2

 

 

 

n – нечетное число.

 

 

 

На комплексной плоскости корни n-й степени из 1 расположены на окружности единичного радиуса с центром в начале координат и делят эту окружность на n равных частей. Понятно, что одной из точек деления служит число 1. Отсюда следует, что те корни, которые не являются действительными, расположены симметрично относительно действительной оси, т.е. попарно сопряжены.

Пример. Вычислить 41 .

По формуле (9) имеем

e 4

 

 

cos

2 k

i sin

2 k

cos

k

i sin

k

, k 0,1,2,3.

 

1

 

 

 

 

 

k

4

 

 

4

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Придавая значения k 0,1,2,3 , получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e cos0 isin 0 1,

e cos

i sin i ,

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2 cos isin 1,

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

e

cos

3

 

i sin

3

i .Таким

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

2

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

образом, 4 1 {1, 1,i, i}

 

-1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-i

Пример. Вычислить 31 . По формуле (9) имеем

ek 31 cos 23k i sin 23k , k 0,1, 2 . Отсюда e0 cos0 isin 0 1,

e1 cos 23 i sin 23 12 i 23 , e2 cos 43 i sin 43 12 i 23 .

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 1,

e

1

i

3

,

e

1

i

3

 

0

1

2

 

2

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кубические корни из 1.

Значение корней n-й степени из 1 подчеркивает следующая

Теорема Все корни n-й степени из комплексного числа z можно получить умножением одного из них w на все корни n-й степени из 1.

Пусть e0 ,e1,...,en 1 – корни n-й степени из 1. Рассмотрим комплексные числа

w0 we0 , w1 we1,...,wn 1 wen 1 .

 

 

 

(10)

Каждое из этих чисел является корнем n-й степени из z

( wn

=

(we

)n

 

i

 

i

 

= wnein z 1 z ), их n и все они попарно различны. Следовательно, в (10) содержатся все корни n-й степени из z .

Пример. Вычислить 416 .

Одним из значений 416 является число w 2 . Учитывая теорему 5 и пример 3, заключаем, что 2, 2,2i, 2i – все корни 4-й степени из числа 16.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.