Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Комплексные числа шпаргалка

.pdf
Скачиваний:
141
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
197.58 Кб
Скачать

Комплексные числа

Комплексное число z = x + iy изображается в плоскости ХОУ точкой М с координатами (х, у) или вектором с координатами (х, у).

Длина r вектора z называется модулем числа z и обозначается z .

Угол между положительным направлением оси ОХ и вектором z называют аргументом комплексного числа и обозначают Arg z.

Он определяется с точностью до слагаемого, кратного 2 . Значение arg z аргумента z, удовлетворяющее условию 0 arg z 2 или

arg z называется главным.

 

Имеем Arg z arg z 2k ,

k 0, 1, 2,...

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

z r cos i sin z rei

Чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической (показательной) нужно:

1.Найти модуль к.ч. z = x + iy по формуле r x2 y2 .

2.Изобразить к.ч. z = x + iy на комплексной плоскости и определить аргумент из системы:

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме

1.

Умножение и деление.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z r

cos i sin

;

 

z

r cos

2

i sin

2

;

 

 

z

r ei 1 , z

2

r ei 2

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

r r e

i( 1 2 )

 

 

 

z

z

2

r r

cos

 

2

i sin

2

;

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1 2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

z1

 

 

r1

cos

 

2

i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

 

 

r1

 

 

i( 1 2 )

 

 

 

z2

 

 

 

r2

1

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

r

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2. Возведение в целую степень.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z r cos i sin ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z rei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn

 

rn cos n i sin n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

n

r

n

e

in

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Извлечение корня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z r cos i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z rei

 

 

 

 

 

 

 

 

Для любого натурального числа n корень n - й степени из любого ненулевого комплексного числа

 

 

z r cos i sin ( z rei ) существует и имеет n различных значений, которые находятся по

 

формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k

 

 

 

 

 

2 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k

wk n r

 

 

 

 

i sin

 

 

0,1, 2, ..., n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

, k

 

n z n re

 

 

 

 

 

n , k 0, 1, 2, ..., n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.