2w

Nx w

2w

Ny w

Nx

Ny

dxdy

x2

x x

2

y

y

y

y

x

y

x y

2w

S w

2w

S w

S

S

dxdy .

x y

y x

x y

x y

грузку q. После преобразований получим уравнение равновесия:

Q

Qy

2w

2w

И

x

Nx

2S

Ny

q.

(15)

x

y

x2

x y

y2

Д

Уравнения равновесия, связывающие изгибающие, крутящие

моменты и поперечные силы, имеют вид

M

H

H

А

x

Qx ;

Qy

.

(16)

x

y

x

y

Подставим формулы (16) для поперечных сил Qx , Qy в уравне-

и

ние (15), которое примет вид

2M

x

2

2H

2My

N

x

2w

2S

2w

N

y

2w

q .

(17)

2

2

2

x

x y

б2

x y

y

y

x

1.3. Физические уравнения

СогласноСзакону Гука деформации срединной поверхности оп-

ределяем по внутренним усилиям:

S

x0

1

Nx Ny ;

y0

1

Ny Nx ; 0

.

(18)

E

E

G

2w

2w

2w

2w

M

x

D

; M

y

D

;

2

2

2

2

x

y

y

x

H (1 )D

2w

.

(19)

x y

Nx

2

,

Ny

2

,

S

2

,

(20)

y2

x2

x y

2w 2

И

1 4

2w

2w

2

2 0;

E

x

y

x y

2 2w

Д

4

2 2w

2 2w

D w

2

2

2

2

2

q.

(21)

y

x

x y x y

x

y

А

Эти уравнения известны в теории упругости как уравнения Кар-

мана. Искомые функции

б

должны удовлетворять еще и гра-

w

и

ничным условиям.

и

С

1.5. Граничные условия

для жестко защемленной кромки:

w 0;

w

0;

для шарнирно опертой кромки:

x

2w

w 0;

0.

x2

ограниченном

прямоугольном

участке

0

a1 a2

a x

равномерно

распределенной

нагрузки.

b1

Пластина опирается своими кромками на

b2

q

абсолютно жесткие в своей плоскости

диафрагмы и абсолютно гибкие из нее,

y b

чему соответствуют

граничные

условия

И

Рис. 3

(рис. 3):

Д

2w

w 0;

0;

Nx 0; v 0

(x 0,

x a );

x2

А

2w

w 0;

0;

Ny

0; u 0

(y 0,

y b).

y2

б

Нагрузка q

действует при a1 x a2 и b1

y b2 . Решение

и

системы уравнений (13) ищем в двойных тригонометрических рядах:

const

w w

sinm x sinn y ;

ij

sini x sin j y .

(22)

mn

b

a

b

m,n

Сa

i,j

уравнения в (21) на sin

i x

sin

j y

, второго на

sin

m x

sin

n y

с

a

a

b

b

1

i2

j2

2

4

T

(i 1 I ; j 1 J ) ;

2

2

ij

2 2

2 w Aijw 0

(23)

b

E a

a b

i2

j

2 2

4

T

4q

D

2

wmn 2 2 2

Bmnw

6 qmqn

b

2

a

a b

(m 1 M ;n 1 N ),

(24)

где qm

2

sinm 0 sinm c

;qn

2

sinn 0 sinn c ; 0

a1 a2

;

m

n

2a

0

b1 b2

, c

a2

a1

, c

b2 b1

. Векторы (матрицы-столбцы)

2b

2a

2b

строк и столько же столбцов. Матрица

Bmn – прямоугольная, имеет

I J строк и M N столбцов. Элемент матрицы Aij

на пересечении

строки с номером

k (m 1) N n

и

столбца

с

номером

А

И

k1 (m1 1) N n1 вычисляется так:

Aij(k,k1) mnC m,m1,i C n,n1,j m1n1

б

2 .

(25)

m

2S mД,m ,i S n,n ,j n

и

1

1

1

Элемент матрицы Bmn

с индексами k (i 1) I j ,

k1 (m1 1) N n1:

2S i,m ,m S j,n ,n m2

B

mn

(k,k ) j

1

1

1

1

2 . (26)

2ijC i,m ,m C j,n ,n m n

i2S i,m ,m S j,n ,n n

1

1

1 1

1

1

1

В (25) и (26) обозначены определенные интегралы:

2k(i

2

j

2

k

2

)

C(i,j,k)Сcosi cos j sink d

4i

2

j

2

(i

2

j

2

k

2 2

0

)

(i j k 2m ; m 1,2,3 );

(27)

4ijk

S(i,j,k) sini sin j sink d

4i

2

j

2

(i

2

j

2

k

2 2

0

)

(i j k 2m ; m 1,2,3 ).

(28)