1.3 Задание №2

1.3.1  Методика обработки прямых измерений с многократными наблюдениями

В измерительной практике для повышения качества измерений часто обращаются к измерениям с многократными наблюдениями, т.е. к повторению одним и тем же оператором однократных наблюдений в одинаковых условиях с использованием одного и того же средства измерения. В результате соответствующей обработки полученных данных удается уменьшить влияние случайной составляющей погрешности на результат измерений. При этом могут быть использованы различные процедуры обработки результатов наблюдений. Ниже описана стандартная методика обработки результатов прямых измерений с многократными, независимыми наблюдениями и основные положения по оцениванию погрешностей результатов измерений. Эта методика соответствует рекомендациям действующего  ГОСТ 8.207-76 «Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений».

         В соответствии с методикой обработку ряда наблюдений следует выполнять в следующей последовательности:

а) исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;

б) вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

в) вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдения;

г) вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов измерения;

д) проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;

е) вычислить доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения;

ж) вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения;

з) вычислить доверительные границы погрешности результата измерения;

и) представить результат измерения в соответствии с установленными требованиями.

При выполнении этой последовательности действий руководствуются следующими правилами:

- проверку гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению проводят с уровнем значимости , выбираемым в диапазоне от 0.02 до 0.1;

- при определении доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность Р принимают равной 0.95;

- в тех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности Р=0.95, допускается указывать границы для Р=0.99.

1.3.1.1                     Исключение систематических погрешностей

Исключение систематических погрешностей из результатов наблюдений проводится либо расчетным путем, либо по результатам поверки. После исключения систематических погрешностей все дальнейшие вычисления проводятся для исправленного ряда наблюдений.

1.3.1.2                     Вычисление среднего арифметического ряда наблюдений

Среднее арифметическое ряда наблюдений (результатов наблюдений) рассчитывают по формуле

 

                                      ,                                       (1.2)

 

где  - i-й  исправленный результат наблюдения;

 - среднее арифметическое исправленного ряда наблюдений;

 - число результатов наблюдений.

1.3.1.3                     Вычисление оценки среднего квадратического отклонения ряда наблюдений

Среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений  рассчитывают по формуле

 

                                    .                             (1.3)

 

Среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений  является основной характеристикой размера случайных погрешностей результатов наблюдений.

1.3.1.4                     Вычисление оценки среднего квадратического отклонения результата измерения

Для расчета среднего квадратического отклонения результата измерения   используется формула

                                            .                                  (1.4)

Среднее квадратическое отклонение результата измерения   является основной характеристикой размера случайных погрешностей результата измерений.

1.3.1.5                     Проверка гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению

Чтобы установить, принадлежат (или не принадлежат) результаты наблюдений тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляется с помощью критериев согласия.

В случае проверки принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению предпочтительным  при числе результатов  является один из критериев Пирсона или Мизеса-Смирнова. В работе используется критерий Пирсона.

При числе результатов наблюдений  производят приближенную проверку их принадлежности  к нормальному распределению путем оценки коэффициента асимметрии и эксцесса.

При  гипотеза о принадлежности результатов к какому-либо распределению не проверяется. Если при этом имеется априорная информация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение распределения результатов от нормального закона, для обработки результатов наблюдений используется распределение Стьюдента.

Для проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала построить гистограмму.

Построение гистограммы включает в себя следующие этапы:

а) исправленные результаты наблюдений располагаются в порядке возрастания    где  ;

б) вычисляется диапазон изменения значений результатов наблюдений                      

                                     ;

в) весь этот диапазон разбивается на   интервалов одинаковой длины (оценить необходимое количество интервалов можно по правилу   с последующим округлением в большую сторону до ближайшего целого нечетного числа). Обычно  лежит в диапазоне от 7 до 15;

г) определяется ширина интервала       ;

 

д) определяются границы интервалов так, чтобы верхняя граница j–го интервала , а его нижняя граница совпала с верхней границей (j-1)–го интервала  ;

е) для каждого j–го интервала (j=1,2, ...,r) вычисляются числа - частота попадания результата наблюдений в интервал;

ж) строится гистограмма: по оси  в порядке возрастания номеров откладываются интервалы , по оси  откладываются -частота попадания результатов наблюдений в j–ый интервал; таким образом на каждом интервале  строится прямоугольник, высота которого пропорциональна  .

По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках этого закона (для нормального закона такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия). После этого используют критерий согласия для проверки гипотезы.

Критерий согласия Пирсона имеет вид

 

                                       ,                                  (1.5)

 

где величина  характеризует меру отклонения результатов наблюдений от теоретически предсказанных;

 - частота попадания результатов наблюдений в –ый интервал;

      - теоретические значения вероятности попадания результатов в - интервал, которые вычисляются по формуле

 

                                                ,                              (1.6)

где  - функция Лапласа,      ;        .

Таблица значений функции Лапласа для некоторых   приведена в Приложении Б (таблица Б1).

После вычисления значения  для заданной доверительной вероятности Р и числа степеней свободы   (где - количество разрядов разбиения; - число параметров, необходимых для определения теоретической функции распределения, равное для нормального закона распределения двум), по таблицам  распределения находят критическое значение критерия согласия . В технической практике обычно задаются Р=0,95, что соответствует вероятности 0,05 совершить ошибку первого рода, т.е. опровергнуть правильную гипотезу. Значения приведены в Приложении Б (таблица Б2).

Если  < , принимают гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожиданием и дисперсией, оценки которых получены по формулам  (1.2) и (1.3). В противном случае (  ) гипотеза отвергается.

1.3.1.6                     Вычисление доверительных границ случайной погрешности результата измерения

          Доверительные границы  (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле

                                                                                                (1.7)

где  - квантиль распределения Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности Р и числа наблюдений . Значения величины  при Р=0,95 и 0,99 приведены в Приложении Б (таблица Б3).

 

1.3.1.7                     Вычисление границ неисключенной систематической погрешности результата измерения

Неисключенная систематическая погрешность результата измерения образуется из составляющих, которыми могут быть неисключенные систематические погрешности метода, средств измерений и т.п. За границы составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы основных и дополнительных погрешностей средств измерений. При суммировании составляющие неисключенной систематической погрешности рассматриваются как случайные величины с равномерными законами распределения. Границы неисключенной систематической погрешности  результата измерения рассчитываются по формуле

 

                                           ,                                              (1.8)

 

где - граница -ой неисключенной систематической погрешности;

       - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р=0,95 полагают =1,1).

1.3.1.8                     Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения

Доверительная граница погрешности результата измерения устанавливается в зависимости от соотношения  .

Если  <0,8 , то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата измерения  (формула 1.7).

Если >8, то случайной погрешностью пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата измерения  (формула 1.8).

Если 0,88, то доверительные границы погрешности результата измерения вычисляются по формуле

 

                                         ,                                                 (1.9)

где - коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и неисключенной систематической погрешности;

     - оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Коэффициент  рассчитывается по формуле

                                           .                                      (1.10)

 

Оценка  осуществляется по формуле

                                        .                                      (1.11)

 

1.3.1.9                     Представление результата измерений

Результат измерения записывается в виде

                                                 ,   Р,                                           (1.12)

где  - собственно результат измерения; - доверительные границы погрешности результата измерения;  Р – доверительная вероятность.

Эта форма представления результата измерений принята в качестве основной при оценке точности измерений в АСУ ТП энергетики.

При окончательном оформлении результатов измерений необходимо придерживаться следующих правил:

- значение  указывается двумя значащими цифрами, если первая из них 1 или 2, и одной цифрой – если первая цифра 3 и более; остальные цифры отбрасываются, и значение  округляется по правилам арифметического округления;

- числовое значение результата  измерения    должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности ; остальные цифры отбрасываются, и значение  округляется по правилам арифметического округления;

- округление производят только в окончательном ответе, предварительные вычисления можно делать с одним–двумя лишними   знаками.

1.3.2      Варианты заданий

В соответствии с приведенной выше методикой  (п.1.3.1) провести обработку ряда наблюдений.

Варианты индивидуальных заданий приведены в Приложении Б, таблица Б4.