2.6. Виртуальная работа силы. Идеальные связи

Виртуальной работой силы называется работа силы на любом виртуальном перемещении точки ее приложения:

 1*) А() = . (2.17)

Для вычисления виртуальной работы можно применять известные формулы для элементарной работы силы, подставляя вместо элементарного возможного виртуальноеперемещение точки.

При использовании декартовых координат

 1**) А() =F_x x + F_y y + F_z z. (2.18)

Например, виртуальная работа горизонтальной силы, приложенной к стержнюАВ(рис.2.7) в точке С, равнаА() =F_x  x_с .Так как

F_x =  F, x_с = BC cos иx_с=  BC sin , то

А() =F BC sin  .

Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси l =Oz приложена сила, момент которой относительно этой оси равенМ_l=Oz,то

 2*)А() =М_l=Oz  , (2.19)

где  виртуальный угол поворота тела вокруг осиl =Oz .

 3*) А() =F_ s, (2.20)

. где F_ - проекция силы на направление касательной, s– вариация траекторной координаты точки приложения силы при траекторном способе задания ее движения.

4*) А () =F_v S, (2.21)

, где F_v - проекция силы на направление скорости точки приложения силы,S– вариация перемещения точки приложения силы.

Виртуальная работа потенциальных сил изохронной вариации силового потенциала А =Uили со знаком минус вариации потенциальной энергии системыА =П.

Установив понятие виртуальной работы силы , можно расширить классификацию связей, разделяя их на идеальныеинеидеальные.

Связи называются идеальными, если равна нулю сумма виртуальных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы ( из занимаемого в данный момент времени положения).

Для идеальных связей (2.22)

или

Полагая связи идеальными, можно решить задачу динамики несвободной системы. Эта задача состоит в том, что для данной системы с заданными активными силами и начальными условиями нужно найти уравнения движения и реакции связей.

Например, если материальная точка движется по гладкой поверхности, уравнение которойf (x, y, z) = 0 ,то нормальная реакция

f , где  неопределенный множитель Лагранжа [ ].

Уравнения связи совместно с дифференциальными уравнениями движения точки образуют замкнутую систему уравнений. Эта система уравнений позволяет определить как уравнения движения точки, так и множитель Лагранжа, а значит, и нормальную реакцию связи

(2.23)

Примеры идеальных связей

1. Гладкая поверхность (плоскость)для материальной точки. В этом случае А() ==cos(,) = 0 ,

так как вектор расположен вдоль нормали к поверхности и, следовательно ортогонален векторувиртуального перемещения точки.

2. Нерастяжимая нить. Реакция нитисила ее натяженияортогональна виртуальному перемещению точки ее приложения. Поэтому= 0.

3. Цилиндрические и сферические шарниры, если поверхности соприкасающихся тел считаются идеально гладкими. Если твердое тело при помощи шарнира прикреплено к неподвижной опоре (рис.2.8), то реакция приложена к неподвижной

Рис.2,8 точке. Поэтому виртуальное перемещение такой точки равно нулю иА() == 0 и др.

4. Твердая шероховатая поверхность для цилиндрического катка при качении без скольжения. Контакт катка с поверхностью происходит по линии. Поэтому реакцией связи является система сил, распределенных вдоль линии контакта. Виртуальная работа сил реакции равна нулю так как они приложены к неподвижным в каждый момент времени точкам С_МЦС сечений катка (рис.2.1).