4.4. Пример 4.2 решения расчетной работы №1 (рис.4.4). Тема: вращение твердого тела вокруг неподвижной точки

случай регулярной прецессии

Конус 1 с углом 2при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2при вершине в направлении, указанном стрелкой. Высота конусаOC = h. вращательное ускорение центраСоснования конуса.

Определить:1. Угол нутации, угловую скорость нутации, прецессии, ротациии мгновенную угловую скорость.

2. Угловое ускорение конуса .

3. Скорости точек АиВ ,.

4. Ускорения точек А,В, С,,(найти осе стремительноеи вращательноеускорения точкиС).

Решение: Введем неподвижную систему координат OXYZс началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1 совпадает с образующей ОА.

1. Угол нутации:

2. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращенияи центр которой лежит на, с другой стороны,  окружность, плоскость которой перпендикулярна осиОY оси прецессии и центр которой лежит на этой оси.

Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку

,

где кратчайшее расстояние от точкиСдо мгновенной оси

м, то

1/с =const.

Учитывая заданное направление вектора , , отложим от точкиО вдоль мгновенной оси=ОА вектортак, чтобы видеть с его конца вращение конуса вокруг этой осив направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки.

С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

,

где кратчайшее расстояние от точкиСдо осиОY равно

м.

3.Отсюда находим модуль угловой скорости прецессии:

[ 1/с]

Направление вектора определяется в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случаепротив часовой стрелки, поэтомуOYоси прецессии.

Рис.4.4

4.Векторное равенство , где линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величину угловой скорости ротации, а именно: (); линией действия вектораявляется мгновенная ось вращения; линией действия вектора OY является ось прецессииOY, линией действия вектораявляется ось ротацииOy. Таким образом, модуль угловой скорости ротации равен

1/с =const.

5. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением, т.е. вектор OZ,так как с конца осиOZ поворот векторак векторукажется против хода часовой стрелки; модуль углового ускорения определяется как

1/с² .

6. Скорости точек конуса 1:

Скорость точки А , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1.

Скорость точки В

, гдем,

м/с и вектор.

7. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.

Для точки Аконуса 1

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторыи, т.е. перпендикулярноОА в сторону .

Таким образом, м/с².

Для точки Вконуса1

Вектор направлен от точкиBк мгновенной оси вращения конуса 1.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторыи, принадлежит плоскостиОXY, т.е. направлен перпендикулярноОB против .

Вектор направлен от точкиBк мгновенной оси вращения конуса 1.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторыи, т.е. направлен перпендикулярноОB в сторону.

Полное ускорение точки B найдем через его проекции на оси дополнительной системы координатBx₁y₁, лежащей в плоскости (BOA), как:

м/с².

Для точки Сконуса1

а)EMBED Equation.DSMT4

Направление вектора указано в условии (лежит в плоскости (ВОА), перпендикулярен ОС, направлен в сторону).

Вектор направлен из точки С к оси.

Значение результирующего вектора получим при помощи теоремы косинусов:

Ответ:

1. Угол нутации =/2; угловая скорость нутации=0;

прецессии =1/с; ротациирад/с; мгновенная угловая скорость=рад/с

2. Угловое ускорение конусарад/с²

3. Скорости точек АиВ = 0;=4 [ м/с].

4. Ускорения точек А,В, С= 11,56 [м/с² ];

= 35,44 [м/с²];

= 15,33 [м/с²].

5. Осестремительное ускорение точки С= 11,6 м/с².

6. Вращательное ускорение точки С= 5,78 м/с² .

Г л а в а 5

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 2 - ТЕМА:

Динамика несвободной механической системы с двумя степенями свободы

Цель усвоение алгоритма составления уравнений Лагранжа второго рода, т.е. правильность выбора обобщенных координат, представления кинетической энергии системы и виртуальной работы, определения обобщенных сил, вычисления производных кинетической энергии, составляющих левую часть уравнений Лагранжа; решение задачи на ПЭВМ, изучение характера движения системы и влияния параметров системы на ее движение.

5.1. Схемы конструкций и таблицы к ним с исходными данными ко второй расчетной работе №2 на тему: динамика несвободной механической системы с двумя степенями свободы

Схемы конструкций представлены на рис.5.1, исходные данные - в табл. 5.1.

Последняя цифразачетной книжки(шифр) являются основанием для выбора варианта задачи. Попоследней цифре шифра(ПЦШ) выбирается номер схемы и номер условий в соответствующей таблице.

Конкретно задача сформулирована в соответствии с номером рисунка схемы.

Рис.5.1

Схемы конструкций ко второй расчетной работе №2

на тему: динамика несвободной механической системы с двумя степенями свободы

Таблица 5.1 к расчетной работе № 2

Пара-метры	Схемы конструкций последняя цифра шифра (ПЦШ)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
кг	1	100	10	100	10	1	10	10	10	2
кг	1	10	1	10	1	3	5	5	5	3
кг							1	1	1	
кг							1			
		100	500	100		500	500	500	500	
				100						50
l, м	1		1		1	0,1			
R, м								0,2	0,2	
l2 , м						0,4				4
F, H		60	5	60	5	5	10	10	10	20
								0,1	0,1
		0,5		0,5
м						0,1				1
	1,0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
м/c	0,1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Здесь: массы;жесткость пружины;

крутильная жесткость пружины;l , l₂ длины;Rрадиус;Fсила; частота; коэффициент сопротив­ления качению;угол;

рекомендуемые значения начальных условий обобщенных координат и скоростей.

Формулировка задачи в соответствии с номером схемы:

Рис.5.1.0. Ползун 1 массой m₁ может скользить без трения по горизонтальной направляющей. К ползуну подвешен математический маятник 2 длинойl и массойm₂. Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.

Рис.5.1.1. Призма 1, имеющая массуm₁, скользит по гладкой горизонтальной плоскости, удерживаемая горизонтальной пружиной жесткостьюС₁. По наклонной грани призмы катится без скольжения однородный цилиндр 2, имеющий массу m₂. К его центру под угломк горизонту приложена сила , величина которой постоянна. Уголлинейно меняется со временем . Угол наклона призмы к горизонту. Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.

У к а з а н и я. 1.Обобщенная координата отсчитывается от положения призмы, при котором пружина не деформирована.

2. При задании величин F, m2, следует соблюдать условие

< _.

Рис.5.1.2. Ползун 1 массой m₁ скользит без трения по горизонтальной направляющей, будучи прикрепленным к основанию горизонтальной пружиной жесткостьюС₁. К ползуну подвешен математический маятник 2 длинойl и массойm₂ , к точкеB маятника приложена постоянная по величине сила, составляющая угол

с горизонтом. Угол линейно меняется со временем.

Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.

У к а з а н и е. Обобщенная координата отсчитывается от положения ползуна, при котором пружина не деформирована.

Рис.5.1.3. Призма 1, имеющая массу m₁, скользит по наклонной плоскости без трения, По наклонной грани призмы катится без скольжения однородный цилиндр 2, имеющий массу m₂, центр которого прикреплен к призме пружиной жесткостьюС₁. К центру диска 2 под угломк горизонту приложена сила, величина которой постоянна. Уголлинейно меняется со временем. Угол наклона призмы к горизонту . Пружина параллельна грани призмы. Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.

У к а з а н и я. 1.Обобщенная координата отсчитывается от положения центра диска, при котором пружина не деформирована.

2. При задании величин F,m₂, следует соблюдать условие

< .

Рис.5.1.4. Ползун 1 массой m₁ скользит без трения по горизонтальной направляющей. К ползуну подвешен математический маятник 2 длинойl и массойm₂, связанный с ползуном спиральной пружиной с крутильной жесткостьюС_.. При нижнем положении маятника пружина не деформирована. К точкеB маятника приложена постоянная по величине сила, составляющая уголс горизонтом . Уголлинейно меняется со временем.Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.

Рис.5.1.5. Груз 1 массой m₁ и пренебрежимо малых размеров может скользить без трения по стержню 2 достаточно большой длиныl₂ и массойm₂ , будучи удерживаемым пружиной жесткостьюС₁. Длина недеформированной пружиныl. К грузу приложена постоянная по величине сила, составляющая уголс горизонтом . Уголлинейно меняется со временем. Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.

Рис.5.1.6. Доска 1 массой m₁ может передвигаться на роликах 3, 4 массойm₃ = m₄ , катящихся без скольжения по горизонтальной плоскости. По доске 1 катится без скольжения цилиндр 2 массойm_{2 .} Доска удерживается горизонтальной пружиной жесткостьюС₁.

К оси цилиндра приложена постоянная по величине сила, составляющая уголс горизонтом. Уголлинейно меняется со временем. Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.

У к а з а н и я. 1.Обобщенная координата отсчитывается от положения края доски, при котором пружина не деформирована.

2. При задании величин F,m₂ следует соблюдать условие

< .

Рис.5.1.7. Тележка 1массойm₁ , имеющая два колеса 3, 4 массойm₃ = m₄ , может катиться без сопротивления по горизонтальной плоскости. При этом колеса катятся без скольжения. По тележке 1 катится без скольжения однородный диск 2 массойm₂, центр которого

соединен с тележкой горизонтальной пружиной жесткостью С₁.

К центру диска 2 приложена постоянная по величине сила , составляющая уголс горизонтом. Уголлинейно зависит от времени. Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.

У к а з а н и я. 1.Обобщенная координата отсчитывается от положения центра диска 2, при котором пружина не деформирована.

2.При задании величин F,m₂ следует соблюдать условие

< .

Рис.5.1.8. Тележка 1массойm₁ , имеющая два колеса 3, 4 массойm₃ = m₄ , может катиться без сопротивления по горизонтальной плоскости. При этом колеса катятся без скольжения. По тележке 1 катится без скольжения однородный диск 2 массойm₂, центр которого

соединен с неподвижным основанием горизонтальной пружиной жесткостью С₁. К центру диска 2 приложена постоянная по величине сила, составляющая уголс горизонтом. Уголлинейно зависит от времени. Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.

У к а з а н и я. 1.Обобщенная координата отсчитывается в системе координат, неизменно связанной с тележкой, причем так, что при = 0, = 0 пружина не деформирована.

2. При задании величин F,m₂ следует соблюдать условие

< .

Рис.5.1.9. Груз 1 массой m₁ и пренебрежимо малых размеров может скользить без трения по стержню 2 достаточно большой длиныl₂ и массойm₂ . Стержень удерживается спиральной пружиной крутильной жесткостьюС_ . В нижнем положении стержня пружина

не деформирована. К грузу приложена постоянная по величине сила, составляющая уголс горизонтом. Уголлинейно меняется со временем. Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.