3.2. Углы Эйлера.

Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы

В тех случаях, когда угловая скорость вращения в одном направлении значительно больше угловых скоростей вращения в двух других направлениях ( генераторы, моторы, турбины, гироскопы), для определения положения тела в качестве трех независимых параметра выбирают три угла Эйлера: угол прецессии , угол нутации  , и угол ротации ( собственного вращения)  .Название этих углов заимствованы из астрономии.

Чтобы задать эти углы, рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки О. Пусть даны некоторая система отсчета и связанная с ней неподвижная система координат0XYZ, относительно которой движется твердое тело, и связанная с твердым телом система координат0xyz, которая движется относительно первой (рис.3.5). Это означает, что первая и вторая системы координат имеют общее началоO, а углы, образуемые осями0xyzс осями0XYZ, изменяются, т.е. система0XYZ

поворачивается вместе с твердым телом вокруг неподвижной точки 0 (рис.3.5).

На рис.3.5 видно, что плоскость 0XY(изображена в виде заштрихованного овала) пересекает плоскость0xy(изображена белым овалом) по некоторой прямой0z⁽¹⁾ =0z⁽²⁾ =OE, образующей уголс неподвижной осью0Zи уголс подвижной осью0z, которая называетсялинией узлов 0Ес единичным ортом . Кроме того, плоскость0xyобразует с плоскостью0XYугол , равный углу между осями 0Yи 0y.

Рис.3.5,а

Неподвижная ось ОY, вокруг которой поворачивается твердое тело наугол прецессии , называется осью прецессиис единичным ортом.

Изменение угла нутации сопровождается вращением твердого тела вокруглинии узлов0z⁽¹⁾ =0z⁽²⁾ =OE, называемойосью нутации.

Наконец, угол ротации (собственного вращения) характеризует вращение тела вокруг осиOy=Oy⁽²⁾, называемойосью ротации (собственного вращения)с единичным ортом.

Рис. 3.5,б

На рис 3.5,а3.5,б показаны все углы положительными, т.е. против хода часовой стрелки, если смотреть на поворот тела с положительных направлений осей вращенияOY, OE и Oyсоответственно.

Если заданы уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О, а именно:угол прецессии=,угол нутации =и угол ротации (собственного вращения ) =,то положение твердого тела полностью определяется положением подвижной связанной с твердым телом системы координат0xyz относительно неподвижной системы координат0XYZдля любого момента времени..

3.3.Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы

Для любой точки Мтела с координатамиx, y, z в подвижной системе координатОxyz, жестко связанной с ним, и с ее же координатамиX, Y ,Zв неподвижной системе координат0XYZв соответствии с (3.10), взаимосвязь проекций вектора точкина оси двух систем координат [X]_Ни [x]_Пимеет вид:

(3.14)

или в матричном виде

или (3.15)

где =, =,

= углы Эйлера ;

Рис.3.6  матрица,

транспонированная к матрице направляющих косинусов , задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы OXYZ (с базисом [X]_Н ) к осям подвижной системы Оxyz (с базисом [x]_П), неизменно связанной с телом. Транспонированная матрица получается путем замены в матрице

Рис.3.7

строк на столбцы. Выражение получается в результате рассмотрения формул преобразований координат при переходе от одной системы к другой: [X]_Н)  [x]⁽¹⁾ [x]⁽²⁾  [x]_П , из которых две системы [x] ⁽¹⁾ и [x] ^{(2) -} промежуточные.

1. Переход от осей системы [X]_Нк осям системы [x] ⁽¹⁾ осуществляется поворотом на уголпрецессии вокруг неподвижной осиOY прецессии системы [X]_Н(рис.3.63.8,а).

2. Переход от осей системы [x] ⁽¹⁾к осям системы [x] ⁽²⁾ осуществляется поворотом наугол нутации вокруг осисистемы [x] ⁽¹⁾ (рис.3.63.8,б).

3. Переход от осей системы [x] ⁽²⁾к осям системы [x]_П ^-поворотом наугол ротации (собственного вращения ) вокруг осисистемы [x] ⁽²⁾.

Рис.3.8

Рассмотрев переход от системы ОXYZ ([X]_Н) к системеОxyz ([x]_П ), выполненный с помощью трех поворотов, получаем следующие формулы для преобразования координат:

1) поворот системы ОXYZвокруг второй из координатных осейОYнаугол прецессии, т.е. [X]_Н  [x]¹⁾, ОXYZ  , причем(рис.3.63.8,а).

Координаты систем координат 0XYZи 0x⁽¹⁾y⁽¹⁾z⁽¹⁾, как видно на рис.3.8,a, связаны соотношениями

X= x⁽¹⁾ cos  + 0 + z⁽¹⁾ sin  ,

Y = 0 + y⁽¹⁾ + 0 ,

Z=x⁽¹⁾sin+ 0 +z⁽¹⁾ cos,

или в матричной форме:

[X] ={_2} ^т[x⁽¹⁾], (3.16)

где матрица {_2} ^т=. (3.17)

описывает поворот вокруг второй оси 0Yна угол прецессии .

2) поворот системы вокруг третьей из координатных осейнаугол нутации , т.е. [x]¹⁾ [x]⁽²⁾ ,, при этом(рис.3.63.8,б).

Формулы преобразования координат, как видно на рис.3.8,.б, при этом таковы:

x⁽¹⁾ = x⁽²⁾ cos   y ⁽²⁾ sin  + 0 ,

y⁽¹⁾ = x⁽²⁾ sin  + y ⁽²⁾ cos  + 0 ,

z ⁽¹⁾= 0 + 0 +z ⁽¹⁾,

или в матричной форме:

[x⁽¹⁾] = {_3 } ^т[x⁽²⁾], (3.18)

где матрица {_3 } ^т=. (3.19)

описывает поворот вокруг оси 0z⁽¹⁾на угол нутации.

3) поворот системы вокруг второй из координатных осейнаугол ротации (собственного вращения ) ,т.е.. [x]⁽²⁾  [x]_П , (рис.3.63.8,а)Cxyz, поэтому формулы преобразования координат, как видно из рис.3.8,а, имеют вид:

x⁽²⁾ = x cos  + 0 + z sin  ,

y⁽²⁾ = 0 +y + 0 ,

z⁽²⁾=xsin+ 0 +z cos,

или в матричной форме:

[x⁽²⁾] = {_2 }^т[x], (3.20)

поворотная матрица { _2 }^т имеет вид матрицы (4.17){_2} ^т,

{_2} ^т=. (3.21)

Подставляя в соотношение (3.16) [X] ={_2} ^т[x⁽¹⁾] соотношение (3.18)[x⁽¹⁾] = = {_3 } ^т[x⁽²⁾], получаем промежуточные соотношения, которые могут понадобиться в дальнейшем, а именно:

[X] ={_2} ^т{_3} ^т[x⁽²⁾] или (3.22)

Промежуточная поворотная матрица {_2,3 }^тнаходится как произведение двух матриц поворота, а именно:

{ _2,3 }^т= {_2}^т{_3 } ^т= (3.23

==

Подставляя в соотношение (3.16) [X] ={_2} ^т[x⁽¹⁾] соотношение (3.18)[x⁽¹⁾] = = {_3 } ^т[x⁽²⁾], в котором [x⁽²⁾] представлено в виде (3.20)[x⁽²⁾]= {_2 }^т[x], получаем

[X] ={_2} ^т{_3} ^т{_2 }^т[x]. (3.24)

Сравнивая выражения (3.15) и (3.24), находим, что искомая поворотная матрицаявляется произведением трех матриц поворота (3.17), (3.19), (3.21), а именно:

{ _,, } ^т== {_2} ^т{_3 } ^т{_2 } ^т=

==

(3.25)

При заданном законе сферического движения выражения (3.15) и (3.25) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки тела.