Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТДП / Марченко_Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

130

Добавлен:

09.03.2016

Размер:

4.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Виды уравнения прямой l в пространстве

Таблица 5.7

Данные, определяющие прямую

Уравнения прямой l

Две пересекающиеся плоскости

A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0,

–

прямая как

A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0

пересечение двух плоскостей

Точка

M1 (x1 ; y1 ; z1 ) l

и вектор

x − x1

y − y1

z − z1

–

каноническое

Gs = {m; n;

p} || l – направляющий

вектор прямой

уравнение прямой

Точка

M1 (x1 ;

y1 ;

z1 ) l

на-

x = x

+ mt,

правляющий

вектор

прямой

y = y + nt,

– параметрическое уравне-

Gs = {m; n; p}|| l

+ pt

z = z1

ние прямой, t R

Две точки

x − x1

y − y1

z − z1

– уравнение

M1 (x1 ;

y1 ; z1 ) l ,

− x

− y

− z

M2 (x2 ; y2 ;

z2 ) l

прямой по двум заданным точкам

Пусть две прямые l1 и l2

заданы каноническими уравнениями:

l :

x − x1

y − y1

z − z1

x − x2

y − y2

z − z2

l || sG

={m ; n ; p

};

|| s ={m ; n ; p

Рассмотрим их взаимное расположение (табл. 5.8).

Таблица 5.8

Взаимное расположение прямых l1 и l2 в пространстве

Расположение

Условия

Прямые параллельны (или

совпадают)

l1 || l2

s1 || s2

s sG

Прямые перпендикулярны

l l

m m

+ n n

+ p p

= 0

Расположены под углом ϕ

sG sG

< ϕ <

cos ϕ =

, ϕ = s s

Отметим, что в последних двух случаях часто дополнительно

требуется, чтобы прямые l1 и l2

лежали в одной плоскости.

191

Пусть заданы плоскость Q общим уравнением и прямая l каноническим уравнением:

Q : Ax + By + Cz + D = 0,

l :

x − x1

y − y1

z − z1

nG ={A; B;C} Q;

s ={m; n; p}|| l.

Рассмотрим их взаимное расположение (табл. 5.9).

Взаимное расположение прямой и плоскости

Таблица 5.9

Расположение

Условия

l параллельна плоскости Q (лежит в

l || Q s n

Am + Bn + Cp = 0

плоскости)

Прямая l перпендикулярна плоскости Q

l Q s || n

= p

Прямая l образует с плоскостью Q

G G

угол ϕ sG nG ?

sin ϕ = cos(s

Пример 1. Найти: а) уравнение прямой l1 , проходящей через

точки M1(2; 3; − 4)

и M 2 (5; 3; 0) ;

б) уравнение прямой l2 , прохо-

дящей через точку M0 (−1;5;0) параллельно прямой

l1 .

Решение.

а) воспользуемся уравнением прямой, проходящей через

две точки

x − x1

− y1

z − z1

. Здесь (x ; y ; z )

–

координаты

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

точки M1, а (x2 ; y2 ; z2 )

– точки M2 . Получим:

x − 2

y −3

z + 4

, или

x − 2

y −3

z + 4

5 − 2 3 −3 0 + 4

Вектор sG ={3; 0; 4} – направляющий вектор прямой l ;

x −x

z −z

y − y

б) воспользуемся каноническим уравнением

прямой. Здесь (x0 ; y0 ; z0 ) – координаты точки M0 , а {m; n; p} –

координаты направляющего											вектора прямой l2 . Так как l1 \|\| l2 ,
а sG			\|\| l , то sG \|\| l						2	и можно взять {m; n; p} ={3; 0; 4}. Получим l		2	:
1			1			1
	x +	1		=	y −5	=	z	.
3
			0			4
192

	Так как в дроби					y −5	в знаменателе стоит 0, нужно и числи-
						0

тель приравнять к нулю. Получим:
y −5		= 0,				y = 5,
			z
x +1					или
		=		,	4x −3z + 4 = 0.
			4
3

Мы получили прямую как линию пересечения двух плоскостей. Пример 2. Заданы плоскость Q уравнением 2x − y + 2z +5 = 0 и точка M1(1; −3; 4) . Найти уравнение прямой, проходящей через

M1 перпендикулярно плоскости Q , и координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью Q .

Решение. Вектор нормали n ={2; −1; 2} перпендикулярен плоскости Q и прямая l Q , следовательно, n || l и может быть

взят в качестве направляющего вектора для l . Запишем канонические уравнения прямой l и получим из них параметрическое уравнение:

x −1		y +3		z − 4		x = 2t +1,
x −1	=	y +3	=	z − 4	= t , или	y = −t −3,
	=	−1	=		= t , или	y = −t −3,
2		−1	2
						z = 2t + 4.

Чтобы найти точку пересечения M0 плоскости и прямой, выражения для x , y и z из параметрического уравнения прямой подставим в уравнение плоскости и найдем соответствующее значение параметра t :

2(2t +1) −(−t −3) + 2(2t + 4) +5 = 0 , 9t +18 = 0, t = −2.

Подставляя найденное значение параметра в параметрическое

уравнение прямой l , найдем координаты точки M0 : x0 = 2(−2) +1 = −3, y0 = 2 −3 = −1, z0 = −4 + 4 = 0,

т. е. M0 (−3; −1; 0) .

5.2. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. При каком значении a прямая y = ax +b а) параллельна; б) перпендикулярна прямой y = 5 −3x ?

2. Прямая y = 3x − 2 пересекает ось Ox под углом а) 45°;

б) 30°; в) 60°?

193

3.В какой точке и под каким углом пересекаются прямые

x= 4 , y = −3 ?

Какой

из

координатных осей

параллельна

плоскость

2x −3z + 4 = 0 ?

Какой из координатных плоскостей параллельна плоскость

3x + 4 = 0 ?

Какой

из

координатных

осей

перпендикулярна

прямая

x −3

z −1

−5

Какой из указанных векторов а) {−3; 1; 4}; б) {2; 3; −1} яв-

ляется направляющим для прямой x = 2 −3t,

y = 3 +t,

z = 4t −1?

Проходит

ли прямая

x −3

y + 2

z +1

через

точку

−6

M1(5; 8; −13) ?

9.Пересекается ли прямая 4x = y +2 2 = −z3 с осью Oy ?

10.Уравнение ax2 + 4 y2 = 9 является уравнением окружности при а) a = 4 ; б) a = 3 ; в) a = −4 ?

11.Уравнение 9x2 +by2 =8 является уравнением эллипса при а) b = 0 ; б) b = 9 ; в) b = 5?

12.Уравнение 8x2 −3y2 =16 является уравнением а) окружности; б) гиперболы; в) эллипса?

13. Уравнение ax2 + y2 −8x = 4 является уравнением парабо-

лы при а) a =1; б) a = 0 ; в) a = −4 ?

14.Уравнение 9x2 + 2x + 9 y2 = 8 является уравнением а) эллипса; б) окружности; в) гиперболы; г) параболы?

15.Уравнение 4x2 + by2 =8 является уравнением эллипса при

а) b = 4 ; б) b = 9 ; в) b = −9 ?

16. Можетлиэксцентриситетэллипсабытьравныма) 1,2; б) 0,6?

17. Гипербола задана каноническим уравнением

−

=1.

144

Уравнения ее

асимптот имеют вид а)

y = ±

12 x ; б) y = ±

x ;

x ; г) y = ±13 x ?

в) y = ±

194

18.Уравнение 8x2 −3y2 =16 является уравнением а) окружности; б) эллипса; в) гиперболы?

19.Уравнение ax2 + 4 y2 −8x + 9 y = 0 является уравнением параболы при а) a =1; б) a = 0; в) a = −1; г) a = 4 ?

5.3.ПРАКТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ

1.Установить, проходит ли прямая 3x − 4 y −7 = 0 через точки

M (2; −1) , N(1; −1) , K(0; 2) .

2.Найти, при каком значении A прямая 3x + Ay −5 = 0 образует с осью Ox угол α =135°.

3.Найти уравнение прямой, проходящей через точки M1(3; 4)

иM2 (−8; 1) .

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку

M0 (5; −10)	а) перпендикулярно прямой y =	2 x −1; б) параллель-
		3

но прямой 4x +5 y + 7 = 0 ; в) параллельно Ox ; г) параллельно Oy .

Сделать рисунок.								x − 6 y =13,
5.	Найти	точку	пересечения двух				прямых
5x + 2 y =1 и острый угол между ними.						ABC	A(2;−1), B(0;−2),
6.	Даны	вершины	треугольника
C(12;3). Найти уравнения а) стороны BC ; б) медианы AM ; в) вы-
соты AD ; г) найти длину высоты AD .						прямыми: 6x −8y + 7 = 0 ,
7.	Найти	расстояние			между
−3x + 4 y +9 = 0 .
8.	Найти	уравнение		прямой,		проходящей		через точку
M (5;−3) а) параллельно;				б)	перпендикулярно прямой AB , если
A(−1; 4), B(7; 4).
9.	Найти	координаты			центра	и	радиус	окружности

а) x2 + y2 − 4x = 0 ; б) x2 + y2 + 3y = 4 ; в) x2 + y2 +10x − 2 y = 23 .

Сделать рисунок.

10. Найти точки пересечения окружности x2 + y2 −4x +2y −20 =0 и прямой x − y − 4 = 0 .

11. Задан эллипс каноническим уравнением x2 + y2 =1. Найти

25 16

его полуоси, фокусы, вершины, эксцентриситет. Сделать рисунок.

195

12. Составить канонические уравнения эллипса, фокусы которого лежат на оси Ox , если заданы

а) оси 2a =14 ; 2b =8;

б) полуось a =13 и фокус F(12; 0) ;

в) полуось b = 2 и точка на эллипсе M (2; 3) ;
г) ось 2a = 20 и эксцентриситет ε = 0,8 ;
д) ось 2b =16 и эксцентриситет ε = 0,6 .	x2		y2
13. Задана гипербола каноническим уравнением	x2	−	y2	=1.
13. Задана гипербола каноническим уравнением	36	−	64	=1.
	36		64

Найти ее полуоси, фокусы, вершины, асимптоты, эксцентриситет. Сделать рисунок.

14. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ox , если заданы

а) полуось a = 4 и фокус F(5; 0) ;

б) ось 2b =10 и фокус F(13; 0) ;
в) ось 2b = 24 и асимптоты y = ±12 x ;
5		1 x ;
г) расстояние между фокусами 2c =10 и асимптоты	y = ±	1 x ;
д) асимптоты y = ± 3x и точка на гиперболе M (2;	3) .	2
д) асимптоты y = ± 3x и точка на гиперболе M (2;	3) .

15.Задана параболауравнениема) y2 =8x; б) x2 =2y; в) y2 = −4x; г) x2 = −3y . Найти ее параметр, координаты фокуса, уравнение директрисы, сделать рисунок.

16.Найти ось симметрии и координаты вершины параболы

x2 + 4x −5 y + 3 = 0 . Сделать рисунок.

17.Найти точки пересечения параболы и прямой (сделать ри-

сунок):	а) x2 = 3 − y;	x − y +1 = 0;	б) y2 = 4x −3; 2x −3y −5 = 0.
18.	Найти точки	пересечения	плоскости 2x −3y + 4z −12 = 0
с осями координат. Сделать рисунок.
19.	Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

JJG

A(−1; 3; 6) перпендикулярно вектору AB , если B(1; 7; 5) .

20.Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1(2; −1; 1) , M 2 (5; 5; 4) , M3 (3; 2; −1) .

21.Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (2; −3; 4) параллельно а) плоскости 5x − y + 2z −16 = 0; б) плос-

кости Oxy ; в) плоскости Oyz ; г) плоскости Oxz .

196

22.

Найти

расстояние

от

точки

M0 (3; − 4; 1)

до плоскости

3x −6 y + 2z −14 = 0 .

2x −λy +5z −1 = 0 и

23.

Найти,

при каком

плоскости

λx +3λy + z +9 = 0 будут перпендикулярны.

24.

Найти

уравнения

прямой,

проходящей

через

точки

M1(2; −3; 1) и M2 (0; 4; 5) .

прямой,

проходящей

через

точку

25.

Найти

уравнения

M0 (−4; 0; 5) а) параллельно прямой

x +1

− 4

z +9

; б) перпен-

−11

дикулярно плоскости 3x − 6 y + 7z −12 = 0 .

26.Найти, при каких α и β прямые, заданные уравнениями xα−1 = y−+23 = z−−37 и x =3t +1, y =βt, z = 6t −3, будут параллельны.

27.Найти точку пересечения прямой x 4+1 = y−−23 = 5z и плос-

+5y − z +1 =0.кости

28. Даны вершины треугольной призмы

C1(−1; 2; −3) , A2 (−2; 3; 4) .

Найти:

а) уравнение ребра A1B1 ;

б) уравнение ребра A2 B2 ;

в) уравнения плоскостей оснований A1B1C1

и A2 B2C2 ;

г) уравнение высоты A2O1 ;

д) длину высоты A2O1 ;

е) координаты точки O1 ;

ж) угол ϕ между ребрами A1 A2 и A1B1 .

A1(1; −2; 3), B1(1; 4; −5),

C2	B2
A2
C1
O1	B1
A1

Минимум для аудиторной работы

1; 2; 5; 6; 8; 9. в); 12. б), в), д); 13; 14. а), в), г); 15; 16; 17. б); 18; 19; 20; 21; 23; 24; 25; 27; 28. а), г), е), ж).

5.4. ОТВЕТЫ

1. Проходит через точку N. 2. А = 3. 3. 3x −11y +35 = 0 .

4. а) 3x + 2 y +5 = 0; б) 4x +5y +30 = 0; в) y = −10; г) x =5. 5. (1; –2),

arctg 327 . 6. а) 5x −12y −24 =0; б) 3x −8y −14 =0; в) 12x +5y −19 =0;

197

г) AD =

. 7. 2,5. 8. а) y = −3; б) x = 5. 9. а) (2; 0);

R = 2; б)

0; −

;

R = 5

;

в) (–5; 1);

R = 7 .

10.

(−1; −5),

(6;

2).

11. a = 5,

b = 4,

F1 (−3; 0),

F2 (3; 0) ,

A1(−5; 0), A2 (5; 0) ,

B1 (0; − 4),

B2 (0; 4),

ε = 0,6 .

12. а)

=1;

=1; б)

в)

;

г)

169

100

д)

=1.

13. a = 6,

b =8,

F (−10; 0),

F (10; 0) ,

A (−6; 0),

100

A (6; 0) ;

y = ±

x ;

ε =

14. а)

−

=1;

б)

−

=1;

144

в)

−

=1; г)

−

=1;

д)

−

=1.

15. а)

p = 4,

F(2; 0),

144

x = −2;

б)

p =1, F

y = −

1 ; в) p = 2,

F(−1; 0),

x =1;

г) p = 3 ,

−

y =

16. x

= −2; (−2; −0,2).

17. а) (–2; –1),

(1; 2);

б) (1; –1), (13; 7). 18. (6; 0; 0); (0; –4; 0); (0; 0; 3). 19. 2x + 4 y − z − 4 = 0.

20.

7x −3y − z −16 = 0 . 21. а) 5x − y + 2z − 21 = 0 ; б) z = 4 ; в) x = 2;

г) y = −3 .

22. d = 3 .

23. λ = −1,

λ =

5 .

24.

x − 2

y +3

z −1

−2

x + 4

z −5

x + 4

−5

25.

а)

;

б)

26. α = −

3 , β = 4.

−6

−11

x −1

x + 2

27.

(7;

–1; 10).

28. а)

y + 2

−3

;

б)

y −3

z − 4

;

−8

в) x − 4 y −3z = 0,

x − 4 y −3z + 26 = 0;

г)

x + 2

y −3

z − 4

;

−4

−3

26 ; е)

′

д)

O1(−1; −1; 1) ; ж)

cos ϕ=

≈

0,3719,

ϕ ≈ 68°11 .

198

ЛИТЕРАТУРА

1.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – М.: Наука, 1985.

2.Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.:

Наука, 1984.

3.Бугров, Я. С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.: Наука, 1983.

4.Гусак, А. А. Высшая математика: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск: Тетрасистемс, 2003. – 2 т.

5.Высшая математика: типовая учебная программа для высших учебных заведений по химико-технологическим, лесотехническим, полиграфическим специальностям / сост. В. М. Марченко [и др.]. – Минск: БГТУ, 2009.

6.Ильин, В. А. Математический анализ / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. – М.: Наука, 1979.

7.Мантуров, О. В. Курс высшей математики / О. В. Мантуров, Н. М. Матвеев. – М.: Высш. шк., 1986.

8. Методическое пособие по курсу «Высшая математика»: в 5 ч. / сост.: Е. А. Островский, Л. И. Жилевич, М. З. Дубкова. – Минск: БТИ им. С. М. Кирова, 1986–1990. – 5 ч.

9.Методическое пособие по разделу «Математическое программирование» курса «Прикладная математика» для студентов специальности 0902 / сост. В. М. Марченко, В. И. Янович. – Минск: БТИ им. С. М. Кирова, 1987.

10.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: в 2 т. / Н. С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2005. – 2 т.

11.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис Пресс, 2003. – 2 ч.

12.Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы: учеб. пособие / под ред. М. И. Сканави. – М.: Высш. школа, 1978.

13.Трехуровневые задания по дисциплине «Высшая математика»: в 4 ч. / сост.: Ж. Н. Горбатович [и др.]. – Минск: БТИ им.

С. М. Кирова, 1988–1991. – 4 ч.

14.Шипачев, В. С. Высшая математика: учеб. для немат. специальностей вузов / В. С. Шипачев. – М.: Высш. шк., 2003.

199

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Асимптота 94

–вертикальная 94

–наклонная 94

–горизонтальная 95

Базис 167

Вектор 166 Векторное произведение 173

Вершина гиперболы 186

–параболы 186

–эллипса 185

Взаимное расположение плоскостей 189

–– прямой и плоскости 192

–– прямых 181, 191

Выпуклость функции 92

Гипербола 184 График функции 11

Действия над матрицами 152 Директриса параболы 184 Дифференциал 72 Дифференциалы высших порядков 73 Дифференцирование 64

–логарифмическое 69

Замена переменной в неопределенном интеграле 112

Интегрирование непосредственное 110

–по частям 115

–простейших иррациональностей 128

–рациональных функций 117

Каноническое уравнение гиперболы 186

–– параболы 186

–– эллипса 185 Квантор общности 7

–существования 7 Координаты вектора 168

Логическая символика 7

Матрица 151

–диагональная 152

–единичная 152

–квадратная 151

–невырожденная 155

–обратная 155

–транспонированная 152 Многочлен 22 Множество 5

–определения отображения 10

–значений отображения 10

Непрерывностьфункциивточке51

– – на отрезке 54

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ТДП

#
09.03.2016667.76 Кб97История мировой культуры.pdf
#
09.03.20164.57 Mб130Марченко_Высшая математика.pdf
#
09.03.20161.48 Mб34Матыс_Общая химия.pdf
#
09.03.2016434.47 Кб26пос 1.pdf
#
09.03.20163.52 Mб29Пустовалова_Информатика и компьютерная графика.pdf