ТДП / Марченко_Высшая математика
.pdfЗамечание. В случае бесконечной производной α = π2 , урав-
нение касательной имеет вид х = x0 , касательная к графику функции параллельна оси Oy.
Уравнение нормали к графику функции y = f (x) в точке x0
Нормалью к графику функции в точке x0 называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f ′(x0 )≠ 0 , то уравнение нормали имеет вид:
y = f (x0 )− f ′(1x0 )(x − x0 ).
y
f (x0)
x0 |
x |
Замечание. Если f ′(x )= 0 , |
то касательная параллельна оси Ох |
||||
|
|
0 |
х = x ; если f ′(x )= ±∞, то урав- |
||
и уравнение нормали имеет вид |
|||||
|
|
|
0 |
0 |
|
нение нормали имеет вид y = f (x0 ) . |
|
|
|||
Физический смысл производной |
|
|
|||
Если S = S (t ) |
– |
закон прямолинейного |
движения точки, |
то |
|
S′(t0 )=V (t0 ) |
– |
скорость движения в |
момент времени |
t0. |
|
S′′(t0 )=V ′(t0 ) – ускорение– скоростьизмененияскоростивточкеt0. |
Замечание. В общем случае производную функции можно интерпретировать как «скорость» изменения функции.
Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к графику
функции y = 3 x −3 + 2 в точке с абсциссой x0 |
= 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
−2 |
|
|
|
1 |
|
||
Решение. Найдемпроизводнуюфункции y′ |
= |
(x−3)3 |
= |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
3 |
|
|
33 |
|
x−3 2 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислим производную в точке x0 = 4: |
y′x (4)= |
|
1 |
|
|
= |
1 . |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
33 ( |
4 −3)2 |
3 |
|
|||||||
Вычислим значение функции в точке x = 4: y(4)= 3 4 −3 +2 =3. |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение касательной y = 3 + |
1 |
(x − 4) y |
= |
1 x + |
5 , |
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
уравнение нормали y =3 −3(x − 4) y =15 −3x.
71
Пример 2. В какой точке касательная к графику функции |
|||
y = ln |
( |
) |
= 0 ? |
|
x2 +1 параллельна прямой y − x +5 |
Решение. Найдем угловой коэффициент прямой:
y − x + 5 = 0 y = x − 5 kпр =1.
Так как касательная в искомой точке x0 параллельна данной прямой, то kкас (x0 )= kпр =1.
|
|
Угловойкоэффициенткасательнойвискомойточкеравен y′(x ): |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
+1 ′ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
′ |
x2 |
|
2x0 |
|
|
|
||||||||
|
у′ = (ln (x |
+1)) = |
|
) |
= |
2x |
, у′(x0 )= |
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
x2 +1 |
x2 +1 |
|
x2 |
+1 |
|
|||||||||||||
|
2x0 |
|
|
|
|
|
2x0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
−1 = 0 −x2 + 2x −1 = 0 |
(x |
|
−1)2 |
= 0 x =1. |
||||||||||||
|
x2 + |
1 |
x 2 +1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем значение функции в точке x0 =1: y(1)= ln (12 +1)= ln 2. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; ln 2 |
). |
|
|
|||
Таким образом, точка имеет координаты ( |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Дифференциал функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Определение дифференциала |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Если функция |
|
y = f (x) дифференцируема в точке x0, то ее |
||||||||||||||||||
приращение |
y = f (x0 + |
x)− f (x0 ) в этой точке представимо в |
|||||||||||||||||||
виде |
|
|
y = f ′(x0 ) |
x + ο( |
x) при |
x →0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Дифференциалом функции |
y = f (x) в точке |
x0 называется |
||||||||||||||||||
главная линейная относительно |
x часть приращения функции в |
этой точке, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначаемая dy (или df (x)): dy = f ′(x0 ) x .
Так как дифференциал независимой переменной x равен приращению этой переменной: dх = x′ x = x, то
dy = f ′(x0 )dx.
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции y = f (x) в точке x0 равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке x0 , когда аргумент
получает приращение x.
y |
|
y |
dy |
|
x0 x0+ x x
72
Механический смысл дифференциала |
|
||
Если S = S (t ) – закон прямолинейного движения точки, где S – |
|||
длина пути; t – время, t [t0 ; t0 + t], |
то dS(t) = S′(t)dt =V (t)dt, |
||
гдеV (t) – мгновенная скорость в момент времени t. Следовательно, |
|||
замена приращения |
s(t0 )= s(t0 + |
t) − s(t0 ) дифференциалом |
|
dS(t0 ) = S′(t0 )(t −t0 ) |
означает замену неравномерного движения |
||
равномерным (на бесконечно малом промежутке |
[t0 ; t0 + t]) |
с постоянной скоростью V (t0 ) = S′(t0 ).
Формула для приближенных вычислений
При малых значениях приращения аргумента y ≈ dy . Поэтому для приближенных вычислений пользуются формулой
f (x) = f (x + x)≈ f (x |
)+ f ′(x |
) x. |
|
0 |
0 |
0 |
|
Это означает линеаризацию функции y = f (x), т. е. ее замену линейной по x функцией y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ), что геометрически соответствует замене участка кривой y = f (x), примыкающего к точке (x0 ; f (x0 )), отрезком касательной к кривой в этой точке.
Дифференциал сложной функции
dy = y′xdx = yu′ u′xdx = yu′du.
Таким образом, формула для дифференциала одна и та же, независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или нет. Это свойство называется инвариантностью формы
1-го дифференциала.
Дифференциалы высших порядков
Дифференциал от дифференциала функции y = f (x) называется дифференциалом второго порядка. Дифференциалом n-го по-
рядка называется дифференциал от дифференциала |
(n-1)-го по- |
||
рядка, n = 2, 3, ... . |
|
|
|
Если x является независимой переменной, то |
|
||
|
|
|
|
|
d 2 y = f ′′(x |
)dx2 , d n y = f (n) (x )dxn . |
|
|
0 |
0 |
|
Пример 1. Найти дифференциал функции y = 5tg x |
x . |
73
Решение. Воспользуемся формулой dy = y′xdx:
dy = (5 |
tg x |
′ |
|
|
(5 |
tg x |
′ |
x + 5 |
tg x |
( |
′ |
|
5 |
tg x |
|
|
′ |
||||||||||
|
|
x ) dx |
= |
|
) |
|
x ) |
dx = |
|
ln 5(tg x) |
x + |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
1 |
|
|
tg x |
|
|
x |
|
|
|
|
5tg x |
|
|
tg x 2x ln 5 + cos2 x |
|
||||||||||
+5 |
|
|
|
dx = |
5 |
|
|
ln 5 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
dx = 5 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||
2 |
|
|
|
cos |
2 |
x |
2 |
x |
|
2 x cos |
2 |
x |
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Пример 2. Найти |
приращение |
и |
дифференциал |
|
функции |
|||||||||||||||||||||
y = 2x − x2 |
в точке |
|
x =3 при |
|
x = 0,1. Найти абсолютную и отно- |
сительную погрешности при замене приращения функции дифференциалом.
Решение.
y(3)=6 −9 =−3, y(3,1)=6,2 −9,61=−3,41 y =−3,41−(−3)=−0,41;
dy =(2x − x2 )′dx =(2 − 2x)dx = 2(1− x)dx, в точке x =3 при x = 0,1
имеем dy = 2(1 −3)0,1 = −0,4.
Абсолютная погрешность
εабс = dy − y = −0,4 + 0,41 = 0,01.
Относительная погрешность
εотн |
= |
dy − |
y |
= |
|
−0, 4 + 0, 41 |
|
= |
0,01 ≈ 0,024 = 2, 4%. |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
−0,41 |
|
|
|
|
|
|
0, 41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 3. Вычислить приближенно cos 29°. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Решение. Перейдем к радианной мере угла: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
29° π |
|
|
( |
30 −1 π |
|
π |
|
|
π |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||||||||
cos 29° = cos |
|
|
|
|
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|
− |
|
|
. |
||||||
180° |
|
180 |
|
6 |
180 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Рассмотрим функцию y = cos x. Согласно формуле, |
||||||||||||||||||||||||
cos(x + x) |
≈ cos x |
|
+(cos x)′ |
|
|
|
|
x , где |
x |
= π, x |
= − |
π |
. |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
0 |
|
6 |
|
|
180 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
|
π |
|
|
π |
|
|
π |
′ |
|
|
|
|
|
||||||
cos |
|
− |
|
|
|
≈ cos |
|
+(cos x) |
|
6 |
180 |
6 |
|
||||||
|
|
|
|
|
π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
≈1,73 0,5 + 0,5 3,14 ≈ 0,87. 180
|
|
|
π |
|
|
3 |
|
π |
|
|
π |
|
||
|
− |
|
|
|
= |
|
+sin |
|
|
|
|
|
≈ |
|
180 |
2 |
6 |
180 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
74
|
Теоремы о дифференцируемых функциях |
|
|
|
|||||
|
Теорема Ролля. Пусть функция |
y = f (x) |
непрерывна |
||||||
на |
отрезке |
[a; b], |
дифференцируема |
на |
интервале |
(a; b) |
|||
и |
f (a) = f (b). |
Тогда существует хотя бы одна точка c (a; b) |
|||||||
такая, что f ′(c) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Геометрический смысл теоремы Ролля |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
На графике функции най- |
y |
C |
|
|
|
|||
дется хотя |
бы |
одна |
точка, |
|
|
|
|
||
|
|
|
y = f (x) |
||||||
в которой касательная к гра- |
f (a) = f (b) |
|
|||||||
фику функции |
параллельна |
|
x |
|
|||||
оси Ox. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
c |
|
b |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теорема Лагранжа. Пусть функция |
y = f (x) |
непрерывна |
||||||
на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале |
(a; b). Тогда |
||||||||
существует хотя бы одна точка c (a; b) такая, |
что |
f (b) − f (a) = |
Геометрический смысл теоремы Лагранжа
На графике функции найдется хотя бы одна точка С (с; f (с)), в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
y |
C |
B |
|
|
y = f (x)
A
x
a |
c |
b |
Теорема Коши. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [a; b], дифференцируемы на интервале (a; b) и g′(x) ≠ 0 на интервале (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка c (a; b) такая, что
f (b)− f (a) |
|
f ′(c) |
|
|
= |
|
. |
g (b)− g (a) |
g′(c) |
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределен-
ностей вида |
0 |
|
, |
∞ |
|
и других, сводящихся к ним. |
|
0 |
|
|
∞ |
|
|
75
|
Пусть функции f (x) и g (x) |
дифференцируемы в проколотой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окрестности точки a, lim f |
(x) = 0 и lim g (x) = 0 или lim f |
(x) = ∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и lim g (x) = ∞. Пусть g′(x) ≠ 0 в проколотой окрестности точки a. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(x) |
|
|
|
|
||||
Если существует (конечный или бесконечный) предел lim |
|
, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a g′(x) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f |
(x) |
= lim |
f |
′(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
g′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a g |
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Замечание. Правило справедливо и в случае, когда x →∞. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 1. Найти lim |
|
|
|
|
e2 x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ x2 |
−3x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Решение. Неопределенность ∞ . Используем правило Лопиталя: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
e |
2 x |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
( |
e2 x |
′ |
|
|
|
2e |
2 x |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
= lim |
|
|
|
) |
|
|
= lim |
|
= |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→+∞ |
x |
−3x + 7 |
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
2x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
(x 2 −3x + 7) |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
2e2 x |
′ |
|
|
|
4e |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
) |
= lim |
|
= +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→+∞ (2x −3)′ |
x→+∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Неопределенности |
вида [∞ 0], |
[∞ −∞], |
∞ |
|
, |
|
∞ |
0 |
|
, |
|
0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приводятся с помощью тождественных преобразований к неопре-
деленностям |
0 |
, |
∞ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. Найти lim ex ctg x − |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. В этом пределе неопределенность [∞ − ∞]. Восполь- |
|||||||||||||||||
зуемся тождеством ctg x = |
cos x |
и приведем выражение к общему |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
знаменателю: |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ex cos x |
|
|
|
|
ex cos x −1 |
|
||||||
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
lim e |
|
ctg x − |
|
|
|
=[∞ − ∞]= lim |
sin x |
− |
|
|
= lim |
sin x |
. |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
x→0 |
|
|
sin x |
|
|
x→0 |
|
sin x |
x→0 |
|
Применяем правило Лопиталя:
lim ex cos x −1 = |
|
0 |
|
= lim |
(ex cos x −1)′ |
= lim ex cos x −ex sin x = |
1−0 |
|
=1. |
|||
x→0 |
sin x |
|
x→0 |
′ |
x→0 |
cos x |
|
1 |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
(sin x) |
|
|
|
|
76
Пример 3. Найти lim (x3 ln2 x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
В данном пределе неопределенность вида [0 ∞]. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Преобразуем ее в неопределенность ∞ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ln x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 x |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
(ln2 x)′ |
|
|
|
|
|
|
|
2ln x |
|
||||||||||||||||
lim x |
3 |
|
|
2 |
x =[0 |
∞] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ln |
|
= lim |
|
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= lim |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
−3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
x→+0 1 ′ |
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
x→+0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
x3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Опять получили неопределенность |
. Применяем правило Лопи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ln x |
= −2 lim (ln x)′ |
|
|
|
−2 lim |
|
|
|
|
|
2 lim x3 = 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
таля еще раз: lim |
= |
|
|
x |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
3 |
x→+0 |
|
1 |
|
′ |
|
|
|
3 |
|
x→+0 −3 |
|
|
|
9 x→+0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Неопределенности вида |
|
∞ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
встречаются в сте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
, |
∞ |
|
, |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пенно-показательных функциях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Схема вычисления предела lim f (x)v(x) приведена в табл. 2.5. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)v(x) |
|
|
|
Таблица 2.5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема вычисления предела lim f |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Этапы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример для предела |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (sin x)x |
= 00 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
v(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
x→0 ( |
|
|
( |
|
|
)) |
|
|
|
|||||||||
1. Логарифмируем |
|
|
выражение |
lim ln |
|
sin x |
x = lim |
x ln |
|
|
sin x |
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) |
|
|
и находим предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (sin x) |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim ln f (x) |
v(x) |
= lim v (x)ln f (x) = |
|
= lim |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= [∞ 0] |
= lim |
ln f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v (x) |
|
|
|
|
|
v (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
lim ln f (x)v(x) = lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Получаем при этом неопределен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ность вида ∞ |
|
или |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77
Окончание табл. 2.5
Этапы |
|
|
|
|
|
Пример для предела |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim (sin x)x = |
00 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Применяем правило Лопиталя. |
|
ln(sin x) |
|
|
|
|
|
(ln(sin x))′ |
|
|
|
|
cos x |
|
|
||||||||
Еслипределсуществуетиравен K, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
=lim |
=lim sin x |
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
то lim f (x)v(x) = eK |
x→0 |
1 |
|
|
x→0 |
|
1 |
′ |
|
|
x→0 |
−1 |
|
|
|||||||||
x→a |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
=lim −cos x x2 |
=−lim |
|
x2 |
= |
|
0 |
=−lim |
(x2 )′ |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
(tg x) |
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
sin x |
|
|
|
|
x→0 |
tg x |
|
0 |
x→0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||||||||||
|
=−lim |
|
2x |
|
=−lim |
2xcos2 |
x |
) |
=0. |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Так как предел равен 0, то искомый предел |
||||||||||||||||||||||
|
lim (sin x)x |
= e0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1.2.Вопросы для самоконтроля
1.Дайте определение производной функции в точке.
2.В чем заключается метод логарифмического дифференцирования? Когда он применяется?
3.Верно ли утверждение: если функция непрерывна в точке, то она имеет производную в этой точке?
4.Каков геометрический и механический смысл производной?
5.Каков геометрический смысл дифференциала?
6.В чем состоит инвариантность формы 1-го дифференциала?
7.Дифференциал функции в некоторой точке равен нулю при любом приращении аргумента. Что значит это геометрически?
8.Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?
9.Каков геометрический смысл теоремы Ролля?
|
10. Если, применяя правило Лопиталя, вы доказали, что |
||||
lim |
f ′(x) |
не существует, то что можно сказать о lim |
f (x) |
? |
|
|
g (x) |
||||
g′(x) |
|||||
x→a |
x→a |
|
78
|
|
|
|
2.1.3. Практический минимум |
|||||
|
Определение производной |
|
|
|
|
||||
|
Найти производную по определению: |
|
|||||||
1. |
y = 7 + 4x . |
2. |
y = cos3x . |
||||||
3. |
y = |
|
1 |
. |
4. |
y = |
2 |
. |
|
x2 |
+3 |
x −6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
y =8x + 4 −3x2 . |
6. |
y = sin 2x . |
Техника дифференцирования
Найти производную первого порядка, пользуясь таблицей и правилами дифференцирования:
7. y = sin xcos x.
9. y = arcsin xarccos x. 11. y = arcctgarctg xx − tg π3 .
|
y = |
4x |
x |
+ |
x2 |
||
13. |
|
x |
|
|
. |
||
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
3 |
x |
15. y = (2 − x2 )cos x + 2xsin x. 17. y = 5 x (4x3 − 2x2 +9).
19. |
y = |
|
2 |
+5x2 |
|
(3 |
x +8x). |
|||
|
|
|
||||||||
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21. |
y = |
|
cos x |
|
. |
|
||||
sin x + cos x |
|
|||||||||
23. y = |
|
ctg x |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2sin x |
|
|
|
8. |
y = |
xln x |
+ln 5. |
|
ex |
||||
|
|
|
10. y = x1010x.
12. |
y = 2x log2 x + log2 4. |
||||||
14. |
y = |
x4 + 6x |
|
. |
|||
x5 −3x2 + |
8 |
||||||
|
|
|
|||||
16. |
y = cos x ln x. |
|
|
||||
18. |
y = x11 tg x − |
x3 −ln8. |
|||||
20. |
y = |
x −3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 + 4 |
|
|
|
||
22. |
y = |
5x |
. |
|
|
||
6x5 +1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
24. |
y = 3 x4 arctg x − x3 ln x . |
Найти производную первого порядка, пользуясь таблицей, формулами производной сложной функции и правилами дифференцирования:
25. |
y = |
|
sin x. |
26. |
y = arccos 1 −3x. |
||
27. |
y = |
x −1 |
4 |
28. |
y = 1 + ln x. |
||
|
|
|
. |
||||
|
|||||||
|
|
x +1 |
|
|
|
79
x2
29.y = 5 3 x.
31. |
y = x 10arcsin 2 x. |
||
33. |
y = |
1 |
. |
|
|||
|
|
3 tg2 7x |
|
35. |
y = arctg2 ln (3x + 4). |
||
37. |
y =(arcsin 5x )3 . |
30. y = ln4 (sin x).
32. y = sin2 x sin x2.
34. y = sin2 x . 2cos x
36. y = arctg(x2 ) e3x .
=sin 7 x
38.y ln (2x).
39. |
y = |
x3 |
−8 |
. |
|
x |
+1 |
||||
|
|
|
|||
41. |
y = ln (cos 2x ). |
||||
43. |
y = arcctg(3x3 ). |
45. y = 1x esin x−x4 + x +ln x.
47. y =sin2 2x ctg 3x + tg π8 .
40. y = cos2 ln5(tg x).
42. y = tg xx . e
3x
44.y = 21+x.
46. y = 1 −35x2 .
48.y = 3 1+ tg x + 1 .
x
|
Найти производные указанных порядков: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
49. |
y = tg x, |
y′′′. |
|
50. |
y = |
2 |
|
, |
|
y(4). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
51. |
y = e |
x2 |
, |
y′′′. |
|
52. |
y = x |
3 |
ln x, |
y |
′′′ |
|
|||||||||
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||
53. |
y = sin2 |
x |
, y(4). |
54. |
y = |
|
|
|
3 |
|
|
, |
y(4). |
|
|||||||
2 |
|
|
2 −3x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
55. |
y = arcsin x, |
′′′ |
56. |
y = ln (x |
2 |
− |
5), |
′′′ |
|||||||||||||
y . |
|
y . |
|||||||||||||||||||
|
Производные функций, заданных параметрически |
||||||||||||||||||||
|
Найти y′x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x(t )= t ln t, |
|
58. |
x(t )= t, |
|
|
|
||||||||||||||
57. |
|
|
|
ln t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t. |
|
|
|
|||||
|
|
|
. |
|
|
y(t )= 3 |
|
|
|
||||||||||||
|
y(t )= |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80