ТДП / Марченко_Высшая математика
.pdfЕсли функции f1 (x), …, fn (x) интегрируемы в некотором промежутке, то функция f (x) = f1 (x) ± … ± fn (x) также интегрируема в том же промежутке, причем
∫(f1 (x) ± … ± fn (x))dx = ∫ f1 (x)dx ± … ± ∫ fn (x)dx .
Если числитель подынтегральной функции является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму абсолютной величины знаменателя:
∫ ff′((xx))dx = ∫dff ((xx)) = ∫duu = ln u +C = ln f (x) +C.
Пример. Найти интегралы:
|
|
|
1) ∫ |
x7 |
+ x5 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) ∫ |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ∫ |
7x +1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x dx ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4) |
∫tg |
2 |
xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
6) ∫ |
dx |
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 6x +13 |
|
|
2x − x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Данные интегралы сводятся к табличным путем тож- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дественного преобразования подынтегрального выражения: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) |
разделим числитель на знаменатель почленно и воспользу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
емся свойством линейности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x7 |
+ x5 −1 |
= ∫ |
x7 |
|
|
|
|
∫dx − |
∫x |
−5 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx + |
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
+ x + |
|
|
|
+C ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2) |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 4)− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+C; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx = |
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = x − 2arctg |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
∫x |
2 |
|
+ 4 |
∫ |
|
x |
+ 4 |
|
∫ |
|
x |
2 |
+ 4 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
7x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
x |
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3) |
∫ 3 |
x dx = |
|
∫ |
|
|
|
dx + |
∫ |
|
dx = |
|
3 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
3 |
|
+C = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3x (ln 7 −ln 3) |
|
3x ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫tg |
2 |
|
|
|
|
∫ (1 + tg |
2 |
x)−1 dx = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4) |
|
|
xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 dx = tgx − x + C ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +3 |
+C ; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
5) |
|
|
|
= |
2 arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 + 6x +13 |
(x +3)2 + 4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
111
6) ∫ |
dx |
|
= ∫ |
dx |
|
= ∫ |
d (x −1) |
|
= arcsin (x −1)+ C. |
2x − x |
2 |
1 − (x −1) |
2 |
1 − (x −1) |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Произвольная постоянная записывается при этом не каждый раз при нахождении интеграла от суммы, а лишь один раз, когда исчезает знак последнего интеграла в сумме.
Замена переменной в неопределенном интеграле
Метод замены переменной состоит в преобразовании интеграла ∫ f (x)dx в другой интеграл ∫g (u)du , метод интегрирова-
ния которого известен, с последующим возращением к исходной переменной.
Существуют две разновидности замены переменной в неопределенном интеграле: вынесение (и внесение) множителя из-под знака (под знак) дифференциала.
Теорема (интегрирование подстановкой – вынесение множителя из-под знака дифференциала). Пусть функция y = f (x) непрерывна на интервале Х, а функция x = ϕ(t ) (со множеством значений Х) непрерывно дифференцируема на интервале Т и имеет
непрерывно |
дифференцируемую |
обратную функцию |
t = ψ(x) |
|
для x X . |
Пусть |
далее G(t ) |
– первообразная для |
функции |
|
′ |
на Т. Тогда f |
(x) интегрируема на Х, причем |
|
g (t)= f (ϕ(t))ϕ (t) |
∫ f (x)dx = G(ψ(x))+ C .
Теорема (внесение множителя под знак дифференциала). Пусть функция x = ϕ(t ) со множеством значений Х имеет непрерывную производную на интервале Т, а функция y = f (x) непрерывна и имеет первообразную F (x) на Х. Тогда функция g (t)= f (ϕ(t))ϕ′(t) интегрируема на Т, причем
∫g (t )dt = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t ))+ C .
Этот тип замены переменной, по существу, повторяет свойство инвариантности формул интегрирования.
Обе разновидности замены переменной ( x = ϕ(t ), ϕ(t )= x ) удобно проиллюстрировать на следующей схеме:
112
интегрирование подстановкой (вынесениемножителя)
∫ f (x)dx |
x = ϕ(t) |
′ |
(t )dt =∫ |
g |
( |
t |
) |
dt = |
= |
= ∫ f (ϕ(t))ϕ |
|
|
|
||||
|
x = ϕ(t) t = ψ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
=G(t)+ C =G(ψ(x))+ C.
внесение множителя
∫g (t )dt = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt ϕ(t=)= x ∫ f (x)dx =
=F (x)+ C = F (ϕ(t ))+ C.
Предыдущие преобразования называются формулами замены переменной в неопределенном интеграле.
Формулы наиболее часто встречающихся дифференциалов
1. dx = a1 d (ax + b)= a1 d (ax). |
|
|
2. xdx = 12 d (x2 )= |
1 |
d (ax2 |
+ b). |
|||||||||||||||||||||||||
|
2a |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
d (a x |
|
|
||||||||
3. |
|
x dx = d (ln x)= d (ln (ax))= |
|
|
4. |
|
|
|
= 2d ( x )= |
|
+ b). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
a |
||||||||||||||||||||||||||
= |
1 d (aln x + b). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
6. ex dx = d (ex ) |
= 1 d |
(aex + b). |
||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
dx |
= −d . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||
7. cos xdx = d (sin x)= |
|
|
|
|
8. sin xdx = −d (cos x)= |
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
1 d (asin x +b). |
|
|
|
|
= − |
1 d (acos x +b). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
|
|
|
dx |
|
= d (tgx). |
|
|
|
|
10. |
|
dx |
|
= −d (ctgx). |
|
|
||||||||||||||
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
sin2 |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. |
|
|
dx |
|
|
= d (arctgx)= |
|
|
|
|
12. |
|
|
dx |
|
|
= d |
(arcsin x)= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|||||||||||||||||||
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= −d (arcctgx). |
|
|
|
|
|
|
= −d (arccos x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Пример. Найти интегралы методом замены переменной: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1) ∫ |
|
|
xdx |
; |
|
|
2) |
∫esin x cos xdx ; |
3) ∫ |
|
dx |
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
xln x ln x |
||||
|
|
4) ∫ |
|
|
dx |
; |
5) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
; |
6) ∫ |
|
16 − x2 dx . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x (7 + 3 |
x ) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
sin2 x + 4cos2 x |
|
113
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
d (4 |
− x |
|
) |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∫(4 |
− x2 )− |
d (4 − x2 )= |
||||||||||
1) ∫ |
|
|
= |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
4 − x |
2 |
|
|
|
4 − x |
2 |
|
|
2 |
||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
xdx= |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − 12 2(4 − x2 )2 |
|
+ C = − 4 − x2 + C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) ∫esin x cos xdx = ∫esin x d (sin x)= esin x cos xdx=d sin x
3) ∫ |
dx |
|
|
= |
∫ |
d (ln x) |
= ∫(ln x)− |
3 |
d |
|
|
2 |
|||||||
xln x ln x |
|
|
ln x ln x |
||||||
|
|
dx |
=d(ln x) |
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C ; |
|
|
|
(ln x)= |
−2 |
+ C ; |
|
ln x |
|||
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
dtgx |
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||
|
|
∫sin2 x + 4cos2 |
x |
∫cos2 x(tg2 x + |
4) |
|
|
|
∫(tg2 x + |
4) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
=dtgx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 arctg tgx +C |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
|
x =t6 , t = 6 x |
|
= ∫ |
|
|
|
6t5dt |
|
|
= 6∫ |
t5dt |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x (7 + 3 x ) |
|
dx = 6t5dt |
|
|
t6 (7 + 3 t6 |
) |
t3 ( |
7 +t2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t2dt |
|
|
|
|
(t |
2 |
+7)−7 |
|
|
t2 +7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= |
6∫ |
|
|
|
|
|
|
=6∫ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dt =6∫ |
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
dt =6 ∫dt −7∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
7 |
+t |
2 |
|
|
7 +t |
|
|
|
|
|
+7 |
7 |
+t |
2 |
( 7) |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+t |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
6 t |
− |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
+ C = 6 6 |
|
x − |
|
7arctg |
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 4sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6) ∫ |
|
16 − x2 dx = |
dx = 4costdt |
= ∫ |
|
16 −16sin2 t 4costdt = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = arcsin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 4∫ |
|
16(1 −sin2 t)costdt =16∫ |
|
|
cos2 t costdt =16∫cos2 tdt = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=16∫ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
(1 + cos 2t)dt =8(∫dt +∫cos 2tdt )=8 t + |
2 |
sin 2t +C = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
114
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=8 arcsin |
|
+ |
|
sin 2 arcsin |
|
+C , |
откуда, |
используя формулу |
|||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
sin (2arcsin a)= 2sin (arcsin a)cos(arcsin a)= 2a |
1 − a2 , |
при |
|
a = |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
получаем окончательный ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ 16 − x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
2 |
|
+C. |
||||
|
dx =8 arcsin |
|
+ |
|
|
1− |
|
|
|
+C =8 arcsin |
|
+ |
|
|
|
16 − x |
|
|
|||||||||||
|
4 |
4 |
|
16 |
4 |
16 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Метод интегрирования по частям основывается на формуле дифференцирования произведения двух функций.
Теорема. Пусть на промежутке X функции u (x) и v(x) не-
прерывно дифференцируемы. Тогда интегралы |
∫v(x)u′(x)dx и |
|||
∫u (x)v′(x)dx существуют на X и |
|
|
||
∫u (x)v′(x)dx = u (x)v(x)− ∫v(x)u′(x)dx . |
(3.1) |
|||
Так как u′(x)dx = du, v′(x)dx = dv , то (3.1) |
можно |
записать |
||
в виде |
|
|
||
|
∫u dv = u v − ∫v du. |
|
|
(3.2) |
Это равенство называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Практическое применение интегрирования по частям заключается в том, что подынтегральное выражение f (x)dx представ-
ляется некоторым образом в виде произведения двух множителей u и dv (последний обязательно содержит dx ) и заменяется двумя интегрированиями: 1) при отыскании v из выражения dv ; 2) при нахождении интеграла от v du .
Метод интегрирования по частям удобно применять для вычисления интегралов следующих стандартных типов:
1) ∫Pn (x)emx dx, ∫Pn (x)amx dx, ∫Pn (x)cos(mx)dx, ∫Pn (x)sin (mx)dx,
где m R, Pn (x) – многочлен степени n относительно переменной x (в качестве u берем многочлен u = Pn (x));
115
2)∫Pn (x)ln (mx)dx , ∫Pn (x)arccos(mx)dx , ∫Pn (x)arcsin (mx)dx ,
∫Pn (x)arctg (mx)dx , ∫Pn (x)arcctg (mx)dx (здесь dv = Pn (x)dx);
3) ∫emx cos(αx)dx , ∫emx sin (αx)dx , |
где α |
(дважды интег- |
рируем по частям, полагая u = emx ; |
повторное |
интегрирование |
по частям приводит к линейному уравнению, содержащему ис-
ходный интеграл, решая которое, находим интеграл). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Иногда для получения результата нужно последовательно не- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сколько раз применить интегрирование по частям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример. Вычислить неопределенные интегралы методом ин- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тегрирования по частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) ∫( |
2x +5)cos |
|
x |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
2) ∫x2e−5 xdx ; |
|
|
|
3) ∫arctg3xdx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1) ∫( |
2x +5)cos |
x |
dx = |
|
|
u = 2x +5 |
|
|
|
du = 2dx |
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
v = ∫cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = cos |
|
dx |
|
|
dx = |
3sin |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= 3(2x + 5)sin |
x |
− ∫3sin |
|
x |
|
2dx = 3(2x + 5)sin |
x |
− 6∫sin |
x |
dx = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 3(2x + 5)sin |
|
|
x |
+18cos |
|
x |
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2) ∫x2e−5 x dx = |
|
u = x2 , |
|
|
|
|
|
du = 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dv = e−5 x dx, |
v = ∫e−5 x dx = −1 e−5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −x2 1 e−5 x |
+ ∫ |
|
|
|
1 e−5 x 2xdx = −1 x2e−5 x + |
2 |
∫xe−5 xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
u = x, |
|
|
|
|
du =dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
=− |
1 x2e−5x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5x |
dx =− |
|
−5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
dv =e |
|
dx, v =∫e |
5 |
e |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
−5 x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−5 x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
−5 x |
|
2 |
|
1 |
|
−5 x |
|
1 |
|
|
|
−5 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
+ |
|
|
|
−x |
|
e |
|
+ |
∫5 |
e |
|
|
|
|
|
dx |
= − |
|
x |
e |
|
|
|
+ |
|
− |
|
xe |
|
|
|
− |
|
|
|
e |
|
|
+ C |
= |
|||||||||||||||||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
25 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= −125e−5 x (25x2 |
|
+10x + 2)+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
116