ТДП / Марченко_Высшая математика
.pdfОкончание табл. 3.1
Этапы |
|
|
|
|
|
Пример для дроби |
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 (x2 |
+ 2x + 3) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. Приравняем |
числи- |
|
x2 +1 = A(x −1)(x2 + 2x +3)+ B (x2 + 2x +3)+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
тели получившихся дро- |
+(Cx + D)(x −1)2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
бей с одинаковыми зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
менателями, раскроем |
|
x2 +1 = A(x3 + x2 + x −3)+ B (x2 + 2x +3)+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
скобки и приведем по- |
+ C |
( |
x3 −2x2 + x |
) |
+ D |
( |
x2 |
−2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
добные члены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Приравнивая |
коэф- |
|
x3 |
|
|
|
0 = A + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
фициенты при |
одина- |
|
x2 |
|
1 = A + B − 2C + D |
|
|
|
3A + 2D =1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ковых степенях x, по- |
|
x |
0 = A + 2B + C − 2D |
|
|
|
|
B = D |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
лучаем систему |
урав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
нений для нахождения |
|
x0 |
|
1 = −3A + 3B + D |
|
|
−3A + 4D =1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
неопределенных |
коэф- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
B = 1 |
|
и |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
фициентов A, B, C, D. |
|
D = |
|
|
|
|
|
A = |
|
C = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решаем эту систему |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. Запишем разложение |
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ − |
1 |
x |
+ |
1 |
|
|
||||||
данной дроби на про- |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
3 |
|
9 |
3 |
|
|||||||||||||||||
стейшие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(x −1)2 (x2 + 2x +3) |
|
|
|
x |
−1 |
|
(x |
−1)2 |
|
x2 |
+ 2x +3 |
Для нахождения неопределенных коэффициентов A1, A2, ..., Lδ в равенстве (3.3) применяют также метод частных значений аргумента: после получения тождества (3.4) аргументу x придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов в формуле (обычно полагают вместо x значения действительных корней многочлена Qm (x)). Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие методом частных значений приведена в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие. Метод частных значений
Этапы |
|
|
Пример для дроби |
|
|
x2 |
+ x −1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x3 − x2 − 2x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Знаменатель дроби раз- |
|
x3 − x2 |
− 2x = x (x2 − x − 2) |
= x (x − 2)(x +1) |
|||||||||||
ложим на неприводимые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Запишем соответствующее |
|
x2 + x −1 |
= |
x2 + x −1 |
|
|
= |
A |
+ |
B |
+ |
C |
|||
разложение этой правильной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x3 − x2 |
− 2x |
x(x − 2)(x +1) |
x |
x − 2 |
x +1 |
|||||||||
дроби на простейшие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121
Окончание табл. 3.2
Этапы |
Пример для дроби |
x2 |
+ x −1 |
||
x3 |
− x2 − 2x |
||||
|
|
3. Правую часть |
получив- |
x |
|
+ x −1 |
|
|
( |
|
)( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|||||
|
2 |
|
|
= |
A x −2 x +1 + Bx x +1 +Cx x −2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
шегося равенства приведем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x3 − x2 −2x |
|
|
|
|
x(x −2)(x +1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
к общему знаменателю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Приравняем |
|
числители |
x2 + x −1 = A(x −2)(x +1)+ Bx(x +1)+Cx(x −2) |
|||||||||||||||||||||||||||
получившихся дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Для определения коэф- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = 0 |
|
|
|
−1 = A(−2) |
|
A = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
фициентов A, B, C придаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
неизвестной x частные зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
чения, например значения, |
x = 2 |
|
4 + 2 −1 = B 2 |
3 |
|
B = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
совпадающие |
с |
действи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
тельными корнями знаме- |
x = −1 |
1−1−1 = C (−1)(−3) |
C = − |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
нателя дроби |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Запишем |
разложение |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
данной дроби на простей- |
x |
2 |
+ x −1 |
= |
|
− |
+ |
− |
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
шие |
|
|
x3 − x2 −2x |
|
|
x |
|
x −2 |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (3) справедлива для любого конечного числа линейных и квадратичных множителей, входящих в разложение знаменателя правильной дроби, и называется разложением правильной
рациональной дроби Pn ((x)) на сумму простейших дробей с веще-
Qm x
ственными коэффициентами.
Алгоритм интегрирования рациональной функции
1.Представляем рациональную функцию в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции (если она неправильная). Для этого числитель делим на знаменатель (например, «уголком»).
2.Раскладываем знаменатель полученной правильной рациональной функции на неприводимые множители (линейные и квадратичные, не имеющие действительных корней).
3.Записываем теоретическое разложение полученной правильной рациональной функции на простейшие.
4.Находим неопределенные коэффициенты.
5. Интегрируем рациональную функцию, представленную в виде суммы многочлена и простейших рациональных функций, по стандартным правилам интегрирования.
122
Пример 1. Найти ∫ 2x +3 dx .
(x − 2)(x +5)
Решение. Подынтегральная дробь правильная. Записываем теоретическое разложение подынтегральной дроби на простейшие:
2x + 3 |
= |
A |
|
+ |
B |
= |
A(x − 2)+ B(x + 5) |
. |
(x + 5)(x − 2) |
x + |
5 |
x − 2 |
|
||||
|
|
|
(x + 5)(x − 2) |
Приравниваем числители: 2x + 3 = A(x − 2)+ B(x + 5). Придавая x частные значения, равные корням знаменателя, получаем:
x = −5 |
|
−7 = A (−7), |
|
A =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x = 2 |
|
7 = 7B , |
|
|
|
|
B =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Таким образом, |
|
|
2x + 3 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
|
. Имеем: |
|
|||||||||||||||||||||
|
(x − 2)(x +5) |
x + 5 |
x − 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x +3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= ln |
x − 2 |
+ |
|||||
∫(x − 2)(x + |
5) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫x − |
|
|
|
∫x + |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x +5 |
|
x |
− 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
+ ln |
|
x + 5 |
|
+ C = ln |
|
(x − 2)(x + 5) |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Пример 2. Найти ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(x |
2 |
− 4x + 4)(x |
2 |
− 4x + 5) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Подынтегральная дробь правильная, раскладываем ее на простейшие:
1 |
= |
A |
+ |
B |
+ |
Cx + D . |
|
(x − 2)2 (x2 − 4x + 5) |
x − 2 |
(x − 2)2 |
x2 − 4x + 5 |
|
Приравниваем числители:
1 = A(x − 2)(x2 − 4x + 5)+ B(x2 − 4x + 5)+ (Cx + D)(x − 2)2
или
1 = A(x3 − 6x2 +13x −10)+ B(x2 − 4x + 5)+ C (x3 − 4x2 + 4x)+ +D(x2 − 4x + 4).
Так как знаменатель дроби имеет один действительный корень x = 2, то находим B:
1 = B(4 −8 + 5) B =1 .
Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
123
|
|
|
|
x2 |
|
0 = −6A + B − 4C + D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
0 =13A − 4B + 4C − 4D 0 = −11A −12C = 0 |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x0 |
1 = −10A + 5B + 4D |
|
|
|
|
1 = 3A + B + 4C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C = 0 |
|
D = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Разложение дроби на простейшие имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(x − 2)2 (x2 − 4x +5) |
|
(x − 2)2 |
|
x2 − 4x +5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Интегрируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|||||||
|
(x |
2 |
− |
4x + 4)(x |
2 |
− 4x |
+5) |
|
|
(x − |
2) |
2 |
|
x |
2 |
− 4x + 5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
∫ |
(x − 2)−2 |
d (x − 2) |
− |
∫ |
|
|
d (x + 2) |
|
= |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)2 + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 +4 x+5=x2 +2 2 x+4+1=(x+2)2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
= − |
|
|
1 |
|
−arctg (x + 2)+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Метод рационализации: интегрирование функций, рацио- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нально зависящих от тригонометрических |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Рациональной функцией R(u; v) |
|
двух переменных u и v на- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
зывается отношение |
|
|
P(u; v) |
|
многочленов P(u; v) |
|
и Q(u; v) двух |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Q(u; v) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменных u и v .
Согласно методу рационализации, ищется подходящая замена переменных, которая приводит рассматриваемый интеграл к интегралу от рациональных функций. О таких заменах говорят, что они рационализуют интеграл.
Рассмотрим интеграл ∫R(sin x; cos x)dx . Он рационализуется
с помощью так называемой универсальной тригонометрической
подстановки
t = tg 2x .
Тогда sin x = |
|
|
2t |
, cos x = |
1 −t2 |
, dx = |
2dt |
. |
||
1 |
+t2 |
1 |
+t2 |
1+t2 |
||||||
|
|
|
|
124
Таким образом,
|
|
|
|
∫ |
R |
(sin x; cos x)dx = |
|
R |
|
|
|
2t |
|
|
; |
|
|
1 − t |
2 |
2 |
|
|
|
|
dt = |
∫ |
R |
(t )dt , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
x |
=t ∫ |
|
|
1 |
+ t |
|
|
|
|
1 + t |
|
|
1 + t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где R(t ) – рациональная функция переменной t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
С помощью указанного приема удобно находить интегралы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вида ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
acos x +bsin x |
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 1. Найти интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
+ cos x + 4sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Используя универсальную тригонометрическую |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подстановку tg |
|
x |
|
= t, |
при этом sin x = |
|
2t |
|
, |
cos x |
= 1 −t2 , dx = |
|
|
2dt |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 +t2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +t2 |
|
|
|
|
|
|
1+t2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4 + cos x + 4sin x |
4 + |
1 |
|
|
−t2 |
+ |
|
4 2t |
|
|
|
4 |
+ 4t2 +1 −t2 +8t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+t2 |
1 + t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
8 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
t |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
t + |
|
= t |
+ |
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫ |
3t |
2 |
+8t + |
5 |
|
3 |
∫ |
2 |
|
8 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
+ 3 t |
+ |
3 |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t + |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
tg |
+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
3 |
|
3 |
|
+C =ln |
|
+C =ln |
2 |
+C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
4 2 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
t + |
|
4 |
|
+ |
1 |
t + |
5 |
tg |
|
|
x |
+ |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t + |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Метод |
интегрирования |
функций R(sin x; cos x) |
с |
|
помощью |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
универсальной подстановки |
u = tg |
x |
|
|
всегда приводит к интегри- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рованию рациональной функции, но именно в силу своей общности он часто является не наилучшим.
На практике применяют и другие, более эффективные в конкретных случаях подстановки. В частности,
1)если функция R(sin x; cos x) нечетна относительна sin x , т. е. R(−u; v)=−R(u; v), топодстановка cos x =t рационализируетинтеграл;
2)если функция R(sin x; cos x) нечетна относительна cos x , т. е. R(u; −v)=−R(u; v), топодстановка sin x =t рационализируетинтеграл;
125
3) если функция R(sin x; cos x) удовлетворяет свойству R(−u; − v) = R(u; v), то применима подстановка tgx = t , при этом
sin x = |
|
t |
, cos x = |
|
1 |
, dx = |
|
|
dt |
; |
|
+t2 |
|
+t2 |
1 |
+t2 |
|||||
1 |
1 |
|
|
такаяжеподстановкаприменяется, еслиинтегралимеетвид ∫R(tgx)dx.
|
|
Пример 2. Найти интеграл ∫ |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 + cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Поскольку подынтегральная функция не меняется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при замене cos x на |
( |
−cos x), то используем подстановку tg x = t , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при этом cos2 x = |
1 |
|
|
, |
dx = |
|
|
dt |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 + t2 |
|
1 + t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
dt |
|
|
|
= ∫ |
|
dt |
|
|
= ∫ |
dt |
|
= |
|||||||||
4 |
+ |
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
+ |
4t |
2 |
+ |
1 |
4t |
2 + |
5 |
(2t) |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(1+t2 ) |
4 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+5 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
d(2t) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2tgx |
+C . |
|
|
|
||||||||||||
= |
2 ∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
arctg |
|
|
+C = |
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(2t )2 +( |
5 )2 |
|
2 |
|
5 |
|
5 |
2 |
5 |
5 |
|
|
|
|
Пример 3. Найти ∫tg3 xdx .
Решение. ∫tg3 xdx = |
|
tgx = t, x = arctgt |
|
= ∫ |
t3dt |
– подынтеграль- |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
|
|||||
|
dx = |
|
|
1 + t2 |
|||||
|
|
|
1 |
+t2 |
|
|
|
|
|
ная функция представляет собой неправильную дробь. Поэтому разделим числитель на знаменатель:
_ t3 |
|
|
|
|
|
|
t2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t3 |
|
= t − |
t |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
t3 +t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 +1 |
t2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (t2 |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
t2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
t |
− |
|
|
|
|
|
dt |
= |
|
tdt − |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
t |
|
− |
|||||||||||
∫t |
2 |
+1 |
∫ |
t |
2 |
+1 |
∫ |
∫t |
2 |
+ |
1 |
2 |
2 |
∫ |
t |
2 |
+1 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
ln (t |
2 |
+1)+C = |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
ln (tg |
2 |
x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
tg |
|
x − |
|
|
+ C = tg |
|
x |
+1 = |
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
cos |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
= |
1 tg2 x − |
1 ln |
|
1 |
|
|
+C = |
1 tg2 x + ln |
|
cos x |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
126
Для нахождения интегралов вида ∫sinm x cosn xdx , где m и n – целые числа, используются следующие приемы:
1)подстановка sin x = t , если n – нечетное число;
2)подстановка cos x = t , если m – нечетное число;
3) |
формулы понижения |
порядка: |
|
sin2 x = 1 (1 − cos 2x) |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, еслиm иn – четные числа; |
||||
cos2 x = 1 (1 + cos 2x) |
, |
|
sin xcos x = |
1 sin 2x |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4) |
подстановка |
|
, если m + n – |
четное отрицательное |
||||||
tgx =t |
||||||||||
число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти ∫sin5 xdx . |
|
|
|
|
|
Решение. Подынтегральная функция нечетна относительно sin x , поэтому применяем подстановку cos x = t , тогда sin xdx = −dt
и ∫sin5 xdx = ∫sin4 xsin xdx = ∫(sin2 x)2 sin xdx = ∫(1 − cos2 x)2 sin xdx =
= −∫(1 − t2 )2 dt = −∫ |
(1 − 2t2 + t4 )dt = −t + |
|
2 t3 − |
1 t5 |
+ C = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos3 |
|
|
|
1 cos5 x +C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= −cos x + |
x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример 5. Найти ∫cos4 xsin4 xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Под |
|
интегралом |
стоит |
|
|
произведение |
четных |
сте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x и |
cos x . Тогда |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||
пеней |
sin |
|
xcos |
|
|
x = |
|
|
sin 2x |
|
|
= |
|
sin |
|
2x |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
16 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫cos4 xsin4 xdx = |
|
∫sin4 2xdx = |
|
∫(sin2 2x)2 |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
|
(1 − cos 4x) |
|
dx = |
|
|
|
x |
− |
2 |
∫ |
cos 4xdx |
+ |
|
∫ |
(1 |
+ cos8x)dx |
= |
|||||||||||||||||||||||||
16 |
2 |
64 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
x |
− |
|
sin 4x |
+ |
|
|
x + |
|
|
sin8x |
+ C |
= |
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
sin 4x + |
|
|
|
sin8x |
+ C = |
|||||||||||||||||
64 |
|
4 |
2 |
16 |
64 |
2 |
2 |
16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
3x − sin 4x + |
|
1 sin8x |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При нахождении интегралов ∫sin(kx)cos(lx)dx, ∫cos(kx)cos(lx)dx, ∫sin (kx)sin (lx)dx используют формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
127
sin αcosβ = 12 (sin (α −β)+ sin (α + β)), cos αcosβ = 12 (cos(α −β)+ cos(α + β)), sin αsin β = 12 (cos(α −β)− cos(α + β)).
Пример 6. Найти ∫sin 5xcos3xdx .
Решение. ∫sin 5xcos3xdx = 12 ∫(sin 2x + sin8x)dx = 12 (∫sin 2xdx +
+∫sin8xdx)= |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
− |
|
cos 2x − |
|
cos8x |
+ C = − |
|
cos 2x − |
|
|
cos8x + C . |
||
2 |
2 |
8 |
4 |
16 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод рационализации: интегрирование простейших иррациональностей
|
|
|
ax + b n1 |
ax + b nk |
|
||||
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
mk |
|
1. Интегралы типа |
∫ |
R x; |
|
; ...; |
|
dx , где |
|||
|
|
cx + d |
cx + d |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 , ..., mk – целые; n1, ..., nk – натуральные; a, b, c, d |
– действи- |
||||||||
тельные числа, причем c2 + d 2 ≠ 0 , |
сводятся к интегралам от ра- |
циональной функции путем подстановки (заменой переменной):
|
|
|
|
|
|
|
ax +b |
=tν . |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
cx + d |
|
|
|
|
|
|
x = dtν −b |
и dx = |
ad −bc |
|
ν tν−1dt , |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(a −ctν )2 |
||||||||
|
|
|
|
a −ctν |
|
|
|
||||
где ν = НОК{n1 |
, ..., nk } – наименьшее общее кратное знаменате- |
||||||||||
лей дробей |
m1 |
, |
..., |
mk |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
x; ...; m x )dx , где подын- |
||
В частности, интегралы вида ∫R(x; k |
|||||||||||
тегральная |
функция R(x; k x; ...; |
m x ) – |
рациональная функция |
своих аргументов, рационализуются заменой переменной x =tν, dx = νtν−1dt ,
где ν = НОК{k, ..., m} .
128
Пример 1. Найти интеграл ∫ |
dx |
|
|
. |
x + 2 |
3 |
x |
||
|
|
|
Решение. Подынтегральная функция искомого интеграла записана как функция корней второй и третьей степеней, наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Тогда данный интеграл
может быть рационализован с помощью замены 6 |
x =t . Имеем: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
6 |
x =t, x =t6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6t5 |
|
|
|
|
|
6t3 |
|
|
t3 |
|
+8 −8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
= |
|
dx =6t |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
dt = ∫ |
|
|
dt =6∫ |
|
|
|
t + 2 |
|
|
dt = |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + 23 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
t3 + 2t2 |
t + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =t3 , 3 |
|
|
x =t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 6∫(t + 2)(t2 |
|
−2t + 4)dt −48 |
|
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
= 6∫(t2 −2t + 4)dt −48∫ |
d (t + 2) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
+ |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=6t3 |
−12t2 |
t + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
+24t −48ln |
|
t +2 |
|
+C =2 |
|
|
x −63 x +246 x −48ln(6 x +2)+C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Пример 2. Найти ∫ |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Выполним замену переменной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x −1 |
= t, |
x = |
, |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 − t2 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
4t |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Тогда исходный интеграл примет вид |
|
|
|
x −1 |
dx = |
|
|
t |
|
|
|
|
|
dt. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подынтегральная дробь правильная, раскладываем ее на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
простейшие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4t2 |
|
|
|
= |
|
|
A |
|
|
+ |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
C |
|
|
+ |
|
|
D |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(1−t )2 (1+t )2 |
|
1 |
−t |
|
|
(1 |
−t)2 |
|
1 |
+t |
(1 |
+t)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Приравниваем числители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4t2 |
= A(1−t )(1+t )2 + B(1+t )2 +C (1+t )(1−t )2 + D(1−t )2 |
|
или |
|
|
|
|
|
4t2 =t3 (−A+C)+t2 (−A+B −C +D)+t(A+2B −C −2D)+(A+B −C + D).
Так как знаменатель дроби имеет два действительных корня t = 1, t = –1, то находим B и D:
при t = 1 4 = 4B B = 1, при t = –1 4 = 4D D = 1.
129
Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся
методом неопределенных коэффициентов: |
t3 |
|
|
0 =− A + C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t2 |
|
|
4 = −A + B −C + D |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = C = –1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
) |
dt + ∫ |
|
|
|
|
dt − ∫ |
|
|
dt + ∫ |
|
|
|
|
= ln |
t −1 |
+ |
|
|
−ln |
1+t |
− |
|
||||||||||||||||||||||||
1−t |
(1−t )2 |
|
1+t |
(1+t )2 |
|
1−t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1−t |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
x −1 |
|
|
|
2 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C = ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
+C = ln |
|
+ |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
+ |
x +1 |
+C = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
+t |
1+t |
|
1 |
−t2 |
|
1+ |
x −1 |
|
1− |
x −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +1 − x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
x2 −1 + ln |
|
|
+C |
= x2 |
−1 −ln |
x + x2 −1 |
+ C . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x +1 + |
|
|
x −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 + bx + c )dx, где a, b, c – дей- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2. Интегралы типа ∫R(x; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ствительные числа, причем a ≠ 0 , |
R(u; v) |
– рациональная функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменных u, v. Подстановка x + |
|
b |
= u |
позволяет выделить пол- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ный квадрат под знаком корня. В результате исходный интеграл преобразуется к одному из следующих трех типов, которые с помощью дальнейших подстановок сводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций:
∫R(x; ax2 + bx + c )dx = x + 2ba = u =
∫ (
R u;
= ∫R(u;∫R(u;
a2 |
− u2 |
)du = |
|
|
|
u = asin t |
|
= ∫R(sin t; cost )dt =... , |
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
a2 |
+ u2 |
)du = |
|
u = atgt |
|
|
= ∫R(sin t; cost )dt =... , |
|||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
u2 |
− a2 |
)du = |
|
u = |
a |
|
|
= ∫R(sin t; cost )dt =... . |
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
sin t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти ∫x2 25dx− x2 .
130