Кравченко_Инж_геодезия_конспект_ лекций

41

Лекция 7. Понятие о геодезических измерениях и их точности.

1.Единицы мер, применяемые в геодезии.

2.Сущность и виды измерений.

3.Погрешности измерений, их классификация и свойства.

4.Числовые характеристики точности измерений.

1. Единицы мер, применяемые в геодезии.

Напомним, на первой лекции было сказано, что геодезия – наука, которая изучает форму и размеры Земли, геодезические приборы, способы измерений и т.д. Эти измерения называются геодезическими и выполняются с помощью геодезических приборов, предназначенных для измерения углов и расстояний (линий).

За единицу линейных измерений (расстояний, горизонтальных проложений, высот, превышений) в геодезии принимают метр, представляющий длину жезла-эталона, изготовленного из платиноиридиевого сплава в 1889 г., хранящегося в Международном бюро мер и весов в Париже. При измерении линий определяется сколько раз метровый жезл укладывается в длине этой линии. Измерение линий осуществляется при помощи различных приборов от самых простых – рулеток, лент, до сложных – светодальномеров.

Единицами для измерения углов являются градус, радианы, градианы . Градусная система. Градус - это 1/90 часть прямого угла, минута - это 1/60 часть

градуса, секунда - это 1/60 часть минуты, 1o = 60' = 3600"

Радианная система. Радиан - это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Полный угол в 360o содержит 2π радианов. Переход от радианной системы к градусной и обратно:

0 рад * 0 ; рад 0 / 0

/ рад * / ; рад / / /

// рад * // ; рад // / //

Значения переходного коэффициента ρ :

Градовая система.

Град - это 1/100 часть прямого угла, сантиград - это 1/100 часть града, сантисантиград - это 1/100 часть сантиграда, 1 град = 100 с = 10000 сс .

Измерение углов в градианах не нашло широкого распространения.

42

Для измерения углов на местности применяются угломерные приборы из которых основными являются теодолиты.

Единицей измерения площадей является гектар, равный 10000 м2.

2. Сущность и виды измерений.

Под измерением данной физической величины понимается процесс сравнения ее с другой физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения. Полученное именованное число называется результатом измерения.

Измерения различают на непосредственные (прямые), посредственные (косвенные), равноточные, неравноточные, необходимые, дополнительные (избыточные), зависимые и независимые.

Непосредственными называются измерения, при которых измеряемая величина непосредственно сравнивается с единицей меры, например, измерения линий лентой, углов транспортиром и т.д.

Посредственными или косвенными называются измерения, когда искомая величина находится путем измерения других величин, например, определение неприступных расстояний.

Под равноточными понимают измерения, полученные одним и тем же прибором (или различными приборами одного класса точности) одним и тем же или равноценными методами, одинаковым числом приемов и в одинаковых условиях. Пример: измерения углов теодолитами одинаковой точности. Если указанные условия не соблюдаются, то результаты измерений будут неравноточными, например, измерение углов теодолитами разной точности или одним теодолитом, но разным числом приемов.

Необходимыми считаются измерения, которые позволяют получить искомую величину только один раз. Если одна величина измерена п раз, то одно измерение будет необходимым, а остальные n–1- избыточными. Например, для определения всех сторон и углов в треугольнике необходимо знать не менее трех его элементов, в т.ч. хотя бы одну сторону. Если измерены все углы и стороны, то три величины будут избыточными.

Избыточные измерения нужны для контроля и повышения точности определения искомых величин, а также оценки точности искомых величин.

Зависимыми называют измерения, имеющие некоторые общие источники ошибок. Например, высоты точек А и В, полученные нивелированием от репера, будут зависимы, т.к. ошибки превышений в звене RA будут для них общими (рис. 1.1). Если проложить самостоятельные ходы до точек А и В, то их высоты будут независимыми

(рис. 1.2).

43

3. Погрешности измерений, их классификация и свойства.

Погрешностью результата измерения называется разность между результатом измерения и точным (истинным) значением измеряемой величины, т.е.

где ∆ – ошибка измерения (иcтинная ошибка); l – результат измерения;

x – точное значение величины. Такая погрешность ∆называется абсолютной.

Относительной погрешностью измерения называют отношение абсолютной погрешности к результату измерения. Относительная погрешность обычно выражается

аликвотной дробью.

1 . l n

Причинами возникновения погрешностей измерений являются неточности в изготовлении и юстировки приборов, влияние внешних условий, неточности выполнения операций наблюдателем, изменения самого объекта измерения и несовершенство метода измерений. В соответствии с источниками возникновения различают погрешности:

1)приборов;

2)внешние;

3)личные;

4)объекта;

5)метода измерений.

По характеру действия на конечный результат погрешности делятся на грубые,

систематические и случайные.

Грубые погрешности (промахи) вызываются невнимательностью наблюдателя или неисправностью прибора. Они превосходят по абсолютной величине некоторый предел, установленный для данных условий измерений. Измерения, содержащие грубые ошибки, бракуются и заменяются новыми. Для выявления грубых ошибок производятся избыточные измерения (линии измеряют дважды, в треугольнике измеряют все три угла и т. п.).

Систематические погрешности подразделяются на постоянные, переменные и односторонне действующие.

Постоянные систематические ошибки при измерении одной и той же величины несколько раз, всякий раз появляются с одним знаком и одинаковые по величине. Например, ошибки за счет неточного центрирования теодолита при измерении углов несколькими приемами будут одинаковыми в каждом приеме.

Переменные систематические ошибки меняются от приема к приему, следуя определѐнному закону. Например, ошибки в направлениях, обусловленные эксцентриситетом алидады, или ошибками нанесения штрихов лимба теодолита.

44

Односторонне действующие систематические ошибки изменяются случайным образом, но сохраняют знак. Например, ошибка в длине линии из-за отклонения мерной ленты от створа.

Случайными называются погрешности, которые не связаны функциональной зависимостью с какими-либо факторами. Ни величину, ни знак случайной ошибки заранее предсказать нельзя. В последовательности появления погрешности тоже нет никакой закономерности. Однако если рассматривать их в большом количестве, то выявляются определенные статистические закономерности.

Случайные ошибки основного типа обладают следующими вероятными

свойствами:

1.По абсолютной величине ошибки не превосходят некоторого предела.

2.Положительные и отрицательные ошибки, равные по абсолютной величине, имеют равные вероятности, т.е. встречаются одинаково часто.

З. Чем больше ошибка по абсолютной величине, тем меньше ее вероятность появления.

4.Среднее арифметическое из значений случайных ошибок при неограниченном возрастании числа измерений одной и той же величины имеет пределом нуль, т. е. математическое ожидание ошибки равно нулю

вер.lim [ ] 0 .

n n

4.Числовые характеристики точности измерений.

Вкачестве числовой характеристики точности измерений обычно пользуются средней квадратической погрешностью, определяемой по формуле

где ∆1, ∆2, ..., ∆n – истинные ошибки измерений.

Оценку точности измерений характеризуют также предельной ошибкой,

где τ – коэффициент, значение которого принимают таким, чтобы была мала вероятность появления ошибки больше вероятной. Обычно для τ принимают значения

3, 2,5 или 2.

Если одна и та же величина измерена с одинаковой точностью несколько раз, то за окончательное значение измеренной величины берут среднее арифметическое,

Среднее арифметическое из результатов равноточных измерений обладает следующими свойствами.

1. С увеличением числа измерений n арифметическая средина имеет тенденцию стремиться к точному значению величины X.

Доказательство. Пусть сделано n измерений. Тогда

45

1=l1–X,

2=l2–X,

………..

n=ln–X.

Сложим и разделим на n. Получим

По свойству случайных ошибок

вер. limn [ ] 0. n

Следовательно, L стремится к Х.

2. Если среднее арифметическое образовано из результатов измерений свободных от систематических ошибок, то и само оно не содержит их.

Для нахождения средней квадратической погрешности среднего арифметического, которое запишем в виде

L [nl] 1n l1 1n l2 ... 1n ln ,

СКП среднего арифметического определяется по формуле:

mL2 M 2 n12 m12 n12 m22 ... n12 mn2.

Поскольку измерения равноточные

m1 = m2 = … = mn= m.

Следовательно

M 2 12 m2n m2 , n n

Таким образом, средняя квадратическая погрешность среднего арифметического из n равноточных измерений в n раз меньше погрешности одного измерения.

46

Лекция 8. Геометрическое нивелирование

1.Способы нивелирования.

2.Сущность геометрического нивелирования.

3.Влияние кривизны земли и рефракции на измеряемое превышение

4.Нивелиры. Устройство и оси.

1.Способы нивелирования.

Рельеф местности это совокупность неровностей поверхности земли; он является одной из важнейших характеристик местности. Знать рельеф - значит знать высоты всех точек местности. Высоту любой точки местности можно определить по топографической карте, однако, точность такого определения будет невысокой.

Высоту точки на местности определяют по превышению этой точки относительно другой точки, высота которой известна. Процесс измерения превышения одной точки относительно другой называется нивелированием. Начальной точкой счета высот в нашей стране является нуль Кронштадтского футштока (горизонтальная черта на медной пластине, прикрепленной к устою одного из мостов Кронштадта). От этого нуля идут ходы нивелирования, пункты которых имеют Балтийской системе высот. Затем от этих пунктов с известными высотами прокладывают новые нивелирные ходы и так далее, пока не получится довольно густая сеть, каждая точка которой имеет известную высоту. Эта сеть называется государственной сетью нивелирования; она покрывает всю территорию страны.

Высоты всех пунктов нивелирных сетей собраны в списки - "Каталоги высот".Эти списки непрерывно пополняются, издаются новые каталоги по новым нивелирным ходам. Для нахождения высоты любой точки местности в Балтийской системе высот нужно измерить ее превышение относительно какого-либо пункта, высота которого известна и есть в каталоге. Иногда высоты точек определяют в условной системе высот, если поблизости нет пунктов государственной нивелирной сети. Вследствие того, что измерение превышений выполняют различными приборами и разными способами, различают:

•геометрическое нивелирование (нивелирование горизонтальным лучом),

•тригонометрическое нивелирование (нивелирование наклонным лучом),

•барометрическое нивелирование (выполняют с помощью барометров, действие которых основано на известной зависимости между атмосферным давлением и высотой над уровнем моря),

•гидростатическое нивелирование (основано на свойстве свободной

поверхности жидкости в сообщающихся сосудах всегда находится на одинаковом уровне независимо от высоты точек, на которых установлены эти сосуды),

• и некоторые другие (стереофотограмметрическое, аэрорадионивелирование, механическое).

47

2. Сущность геометрического нивелирования.

Геометрическое нивелирование или нивелирование горизонтальным лучом выполняют специальным геодезическим прибором нивелиром. Отличительная особенность нивелира состоит в том, что визирная линия трубы во время работы приводится в горизонтальное положение. Нивелир представляет собой сочетание зрительной трубы либо с цилиндрическим уровнем, либо с компенсатором. И уровень, и компенсатор служат для приведения визирной оси зрительной трубы в горизонтальное положение.

Сущность геометрического нивелирования состоит в определении превышения одной точки над другой горизонтальным лучом нивелира по отсчетам по рейкам, отвесно устанавливаемых в точках, между которыми определяют превышение.

Различают два вида геометрического нивелирования: нивелирование из середины и нивелирование вперед.

При нивелировании из середины нивелир устанавливают посредине между точками А и В, а на точках А и В ставят рейки с делениями (рис 1).

При движении от точки А к точке В рейка в точке А называется задней, рейка в точке В - передней. Сначала наводят трубу на заднюю рейку и берут отсчет а, затем наводят трубу на переднюю рейку и берут отсчет b. Превышение точки В относительно точки А получают по формуле:

Если а > b, превышение положительное, если а < b -отрицательное. Высота точки В

Высота визирного луча над уровнем моря называется горизонтом прибора и обозначается ГП:

ГП = НА +а =НВ +b,

(3)

т.е. горизонт прибора равен высоте точки плюс высота прибора, или высоте точки, на которой стоит рейка, плюс отсчет на нее.

При нивелировании вперед нивелир устанавливают над точкой А так, чтобы окуляр трубы был на одной отвесной линии с точкой. На точку В ставят рейку. Измеряют

48

Высоту точки В можно вычислить через превышение по формуле (2) или через горизонт прибора:

НВ = ГП-b, , где ГП = НА+a

Т.е. высота точки равна горизонту прибора минус отсчет по рейке на этой точке.

Если точки А и В находятся на большом расстоянии одна от другой и превышение между ними нельзя измерить с одной установки нивелира, то на линии АВ намечают промежуточные точки 1. 2 ; и т.д. и измеряют превышение по частям (рис.3).

Рис.3

На первом участке А-1 берут отсчеты по задней рейке – а1 и по передней b1. Затем переносят нивелир в середину второго участка, а рейку с точки А переносят в точку 2; берут отсчеты по рейкам: по задней – а2 и по передней - b2. Эти действия повторяют до конца линии AB. Каждая установка прибора называется станцией. Точки, позволяющие связать горизонты прибора на соседних станциях называются связующими: на этих точках отсчеты берут два раза - сначала по передней рейке, а затем по задней.

Превышение на каждой установке нивелира, вычисляют по формуле (1), а превышение между точками А и В будет равно:

hAB = h = a - b

Высота точки В получится по формуле:

При последовательном нивелировании получается нивелирный ход.

3.Влияние кривизны земли и рефракции на измеряемое превышение

Рассмотрим схему геометрического нивелирования из середины с большей строгостью (рис.4).

Уровенные поверхности не являются плоскими, они сферические, поэтому рейки, установленные в точках А и В перпендикулярно уровенным поверхностям, будут непараллельны между собой. Визирная ось трубы нивелира, установленного между точками А и В, горизонтальна. Она пересекла бы рейки в точках С и D, если бы световой луч распространялся в атмосфере строго прямолинейно. Однако в реальной атмосфере луч света идет по некоторой кривой, которая называется рефракционной кривой. Под влиянием рефракции предмет виден несколько выше своего действительного положения.

49

Рис.4

В результате рефракции визирный луч будет занимать положение C'JD', и отсчеты по рейкам будут равны отрезкам:

а = АС и b =BD.

Для вывода формулы превышения понадобится еще линия MJN, изображающая уровенную поверхность точки J нивелира; она пересекает рейки в точках М и N.

Превышение точки В относительно точки А будет равно разности отрезков МА и

NB:

Далее из рис.4 следует

МА = АС/ - МС/ и NB = BD/ - ND/.

Отрезки МС/ и ND/ выражают влияние кривизны Земли на высоту точек; оно зависит

от расстояния S и радиуса кривизны R. Согласно формуле p=s2(2*R) найдем отрезки МС/ и ND/:

МС/ = p1 = S21 / 2*R, ND/ = S22 / 2*R;

здесь S1 - расстояние от нивелира до точки А; S2 - расстояние от нивелира до точки В.

Отрезки АС/ и BD/ также выразим через их части:

АС/ = АС + СС/ и BD/ = BD+ DD/,

где АСотсчет по задней рейке, АС = а; BD - отсчет по передней рейке, BD= b.

Отрезки CC и DD' выражают влияние рефракции. Рефракционную кривую принимают за дугу окружности радиуса R1. Установлено, что вблизи земной поверхности радиус рефракционной кривой колеблется от шести до семи земных радиусов. Отношение R/R1 называется коэффициентом вертикальной рефракции и обозначается буквой k; следовательно, R1=R/k. Значения k лежат в пределах 0.14 -0.16.

Для отрезков СС и DD получаем следующие выражения:

С'С = R1 = S21 / 2* R1 D'D = r2 = S22 / 2*R1

Подставив вместо R1 выражение R/k. окончательно получим: r1=(S21/2*R)*k=p1*k, r2=(S22/2*R)*k=p2*k.

Вернемся к формуле (8) и подставим в нее последовательно

50

h = ( АС/ - МС/ ) - ( BD/ - ND/ ),

h = ( АС + СС' – МС/ ) - ( BD + DD' – ND/ ),

Обозначим через f совместное влияние кривизны Земли и рефракции на отсчет по рейке:

Вывод: при нивелировании строго из середины влияние кривизны Земли и рефракции почти полностью исключается. Это первое теоретическое обоснование нивелирования из середины. Влияние рефракции может быть исключено не полностью, так как условия прохождения луча до задней и передней реек могут отличаться. Инструкция дает строгий допуск на неравенство расстояний до задней и передней реек: для нивелирования IV класса этот допуск равен 5м, а для нивелирования I класса - 0,5 м.

4.Нивелиры. Устройство и оси.

Взависимости от устройств, применяемых для приведения визирной оси зрительной трубы в горизонтальное положение, нивелиры изготавливают двух видов - с цилиндрическим уровнем на зрительной трубе (рис.5) и с компенсатором углов наклона, т.е. без цилиндрического уровня.

Нивелиры бывают трех классов точности:

геодезических изысканий с погрешностью измерения превышения 3 мм на 1 км хода; 3) технические (Н-10) - для топографических съемок и других видов

инженерных работ с ошибкой измерения превышений 10 мм на 1 км хода.

Число в названии нивелира означает среднюю квадратическую погрешность в мм нивелирования на 1 км двойного хода. Для обозначения нивелиров с компенсатором к цифре добавляется буква К. У нивелиров Н-3 и Н-10 допускается наличие горизонтального лимба; в этом случае в шифре нивелира добавляется буква Л, например, H-10Л.

Устройство нивелира с цилиндрическим уровнем Н-3 (рис. 5) Основные части нивелира:

1- зрительная труба состоит из объектива, окуляра сетки нитей; для получения резкого изображения предмета вращают кремальеру, перемещая тем самым внутри двояковогнутую линзу; для четкого изображения сетки нитей вращают окуляр; для предварительного визирования на предмет на трубе имеется мушка и целик;