MathCad_Дятко_Кишкурно

Рассмотрим примеры некоторых операций с матрицами и векторами. Для формирования матричных операторов удобно использовать

панель инструментов Matrix. Произведение матриц:

Произведение матрицы на вектор:

31

Скалярное произведение векторов:

2

7

Сумма элементов вектора:

Выделение из матрицы и второго столбца и второй строки:

Максимальный и минимальный элемент матрицы:

Число элементов вектора:

k length(V) k 3

Номер последнего элемента вектора:

Создание единичной матрицы:

32

Создание диагональной матрицы из элементов вектора:

1 0 0

0 0 9

Вычисление следа (сумы диагональных элементов) квадратной матрицы:

Sp tr(A) Sp 16

Рассмотрим построение графика функции, когда ее рассчитанные значения и значения ее аргумента предварительно записаны в массивы.

Для выполнения поэлементных операций над элементами векторов или матриц в пакете Mathcad существует оператор векторизации, который предписывает Mathcad применять операторы и функции к каждому элементу массива поочередно. Так если V – вектор, то sin(V) – недопустимое выражение. Но если использовать оператор векторизации, Mathcad вычисляет синус каждого элемента вектора V, а результат – новый вектор, чьи элементы – синусы элементов V.

Для применения оператора векторизации к некоторому выражению необходимо:

33

установить в нужном месте документа шаблон оператора векторизации (нажать комбинацию клавиш <Ctr>+<–> или воспользовать-

ся палитрой символов ); заполнить шаблон необходимым выражением. Например:

3.2.Решение уравнений и систем уравнений

3.2.1.Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Запишем ее в матричном виде:

AX B ,

bn

34

x1

xn

Из курса линейной алгебры известно, что решение рассматриваемой системы уравнений имеет вид:

X A 1 B

Ниже приведен пример решения системы линейных уравнений:

в пакете Mathcad.

В Mathcad имеется встроенная функция lsolve(A,B), которая служит для решения системы линейных уравнений. Далее приведен пример решения рассматриваемой системы с помощью этой функции.

1 X lsolve(A B) X 2 3

root( f ( x), x,a,b) , где f ( x) – функция, определенная где-либо в рабо-

чем документе, или выражение, которое возвращает скалярное значение, x – имя переменной, относительно которой ищется решение уравнения.

Функция root( f ( x), x) требует дополнительного задания началь-

ного значения (guess value) переменной x. Для этого нужно просто предварительно присвоить x некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение на-

чального значения требует априорной информации о примерной локализации корня.

Если функция f ( x) имеет несколько корней, то найденное значе-

ние корня будет зависеть от начального приближения для переменной x. Будет найдено такое значение корня, в окрестности которого задано начальное приближение.

Рассмотрим пример. Пусть необходимо найти все корни уравнения e xcos( x) 0,5 на отрезке 1,5; 1,5 .

Ниже приведен пример решения этого уравнения с применением функции root( f ( x), x) . Для локализации корней используется по-

строение графика функции на заданном интервале.

36

Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал a, b , внутри которого корень заведомо находится. В этом

случае следует использовать функцию root( f ( x), x,a,b) с четырьмя

аргументами, а присваивать начальное значение x не нужно, как показано ниже.

При использовании функции root( f ( x), x,a,b) необходимо помнить следующее:

внутри интервала a, b не должно находиться более одного корня. Иначе будет заранее неизвестно, какой именно из корней найден;

значения функций f (a)и f (b) должны иметь разный знак, иначе

будет выдано сообщение об ошибке.

Для нахождения корней полинома, т. е. для решения уравнения

3.2.3. Системы нелинейных уравнений

Пусть необходимо решить систему уравнений

Процедура решения в пакете Mathcad имеет следующий вид: задаются начальные значения для всех переменных системы:

x1 : x10 x2 : x20

.............

xn : xn0

Given – ключевое слово; записываются уравнения системы:

находится решение системы уравнений в виде вектора значений соответствующих переменных.

V : Find (x1 , x2 ,..., xn )

Здесь V : Find( x1, x2 ,...,xn ) – функция, которая возвращает ре-

шение системы уравнений в виде вектора значений соответствующих переменных, если оно существует.

38

Находим первое решение:

Проверка найденного решения:

Находим второе решение:

Проверка найденного решения:

3.3.Дифференциальные уравнения и системы

3.3.1.Дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка

40