1 / Алгебра и геометрия / Методички / pdf / Геометрия / Geometry

1. Если в уравнении коэффициент b ≠ 0, то можно повернуть систему координат OXY на угол α такой, что в новой системе координат O’X’Y’ уравнение (1) не будет содержать член с произведением x’y’.

Действительно, согласно формулам поворота x = x’cosα – y’sinα, y = y’sinα + y’cosα.. Подставляя значения x и y в (1) легко подсчитать, что коэффициент при x’y’ примет вид

-2acosα sinα + b²cos²α - b²sin²α + 2csinα cosα.

Упрощая, получаем

-asin2α + bcos2α + csin2α = 0,

(a - c)sin2α = bcos2α, т.е.

ctg2α = a b−c ,

Таким образом, в дальнейшем предполагаем, что уравнение КВП

имеет вид

ax2+bху+су2+dx+еу+f=0.

(2)

2. Если в уравнении (2) а ≠ 0 и d ≠ 0, либо с ≠ 0 и е ≠ 0, то, осуществляя параллельный перенос системы координат ОХУ, получаем уравнение КВП, не содержащее член с х, соответственно у.

Действительно, пусть а ≠ 0, d ≠ 0. Выделим полный квадрат при переменной х в (2).

Тогда уравнение примет вид

ax'2 +cy'2 +ey'2 + f '= 0

41

где f '= f −d 2 4a . Если же с ≠ 0 и е ≠ 0, то аналогичным образом

исключаем в полученном уравнении член с у.

Итак можно считать, что КВП представляется одним из трёх видов уравнений:

ах² + by² + c = 0; ах² + by + c = 0; аy² + bх + c = 0.

Рассмотрим случаи: 1) с ≠ 0. Тогда

Если – (а/с) › 0 и – (b/c) › 0, то это уравнение эллипса.

Если – (a/c) ‹ 0 b – (b/c) ‹ 0, то получаем пустое множество точек на плоскости.

Если – (a/c) › 0 и – (b/c) ‹ 0, то уравнение гиперболы. Аналогичным образом получам гиперболу вытянутую вдоль оси

ОУ.

2) с = 0. Тогда ах² + by² = 0;

Если a и b – разных знаков, то всегда можно считать, что а › 0, b ‹ 0.

Уравнение будет задавать две пересекающиеся прямые ax ± by =

0

Если же a и b одного знака, то уравнению удовлетворяет единственная точка О (0,0).

Вывод: любая кривая второго порядка является эллипсом, гиперболой, параболой, парой пересекающихся прямых, парой параллельных прямых, прямой, точкой или пустым множеством.

Укажем еще один способ классификации КВП.

Свойства определителей второго и третьего порядков

Будем рассматривать в дальнейшем только определители 3-го порядка. Для определителей 2-го порядка все свойства аналогичны.

1.Определитель не изменится, если его строки поменять местами

ссоответствующими столбцами (операция транспонирования), т.е.

42

Действительно,

∆=а1b2с3+b1с2а3+с1а2b3—с1b2а3—а1с2b3—b1a2c3. (*)

∆'=а1b2с3+c1a2b3+b1с2а3+с1b2а3+а1с2b3+b1а2с3 . (**)

Сравнивая равенства (*) и (**), получаем, что ∆=∆'.

2.При перестановке 2-х строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство проводится проверкой.

3.Если определитель имеет 2 одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, определитель ∆, очевидно не изменится. С другой стороны, по свойству 2 он изменит знак на противоположный. Следовательно, ∆= -∆, т.е. ∆=О.

4.При умножении любой строки (столбца) определителя ∆ на некоторое число λ, определитель умножается на это число, то есть, например,

Доказательство следует из того факта, что вычисляя определитель ∆ по правилу треугольника, получим, что каждое слагаемое содержит множитель ∆. Вынося этот множитель за скобку, получим в скобке определитель ∆.

5. Если элементы 2-х строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Пусть

43

7. (Основное). Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число, то величина определителя не изменится.

Итак, например,

Доказательство следует из последовательного свойств 6 и 5.

8. (О разложении определителя по элементам i-й строки или j-го столбца).

a11 a12 a13 ∆ = a21 a22 a23 a31 a32 a33

Тогда минором элемента aij определителя ∆ называется определитель Mij полученный из данного, вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент аij.

Имеет место следующее равенство:

∆=(-1)i+1ai1Mi1+(-1)i+2ai2Mi2+(-1)i+3ai3Mi3 (*)

(разложение по элементам i

45