1 / Алгебра и геометрия / Методички / pdf / Геометрия / Geometry

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

А.Д. Ходалевич Р.В. Бородич В.Н. Рыжик

«Аналитическая геометрия »

Тексты лекций

Гомель, 2004

УДК 514 (078) ББК 22.151 Я73 Х 69

Рецензенты: Семенчук В.Н. – профессор, доктор физикоматематических наук кафедра высшей математики учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».

Рекомендован к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» 24 марта 2004 года, протокол № 7

Ходалевич А.Д.

Х 69 Аналитическая геометрия: Тексты лекций. /А.Д.Ходалевич,

Р.В.Бородич, В.Н. Рыжик. − Гомель: УО «ГГУ им. Ф.Скорины»; 2004 − 65с.

Дается краткое изложение курса лекций по аналитической геометрии для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика»

УДК 514 (078) ББК 22.151 Я73 Х 69

©А.Д. Ходалевич, Р.В. Бородич, В.Н. Рыжик, 2004

©Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины», 2004

2

СОДЕРЖАНИЕ

1.Векторы и координаты………………………………….…4

2.Прямая на плоскости………………………………………20

3.Плоскость…………………………………………………...25

4.Прямая в пространстве. Взаимное расположение

прямой и плоскости в пространстве…………………………29

5.Кривые второго порядка…………………………………...33

6.Поверхности второго порядка……………………………..56

Литература………………………………………………….….64

3

Аналитическая геометрия - это раздел математики, в котором геометрические объекты изучаются с помощью алгебраических методов, в основе которых лежит понятие координат.

ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

Понятие вектора

Пусть А – произвольное непустое множество. Декартовым

кваратом А называется множество

A2 ={(a,b) | a,b A}

Бинарным отношением на А называется любое подмножество ϕ

множества A2.

Отношением эквивалентности на А называется такое бинарное отношение ϕ на А, которое удовлетворяет следующим условиям:

2)если (a ,b) ϕ, то (b,a ) ϕ (симметричность);

3)если (a ,b) ϕ,(b,c) ϕ, то (a ,c) ϕ (транзитивность).

Теорема. Любое отношение эквивалентности на множестве А определяет разбиение этого множества на попарно непересекающиеся классы (классы эквивалентности). Обратно, любое разбиение множества А на попарно непересекающиеся классы определяет отношение эквивалентности на А.

Направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая концом. Обозначается AB .

Пусть заданы направленные отрезки AB и CD , не лежащие на двух различных параллельных прямых, и плоскость α , проходящая через точки В и D. Тогда плоскостьα разбивает все пространство на два полупространства. Если при этом точки B и D лежат в одном

(обозначается AB ↑↓ CD ).

Если направленные отрезки AB и CD лежат на одной прямой, то они одинаково (противоположно) направлены, если существует такой

третий направленный отрезок EF , который одинаково направлен с

4

каждым из направленных отрезков AB и CD (противоположно направлен в точности с одним из направленных отрезков AB или

CD ).

Абсолютной величиной или модулем (длиной) направленного отрезка ar называется длина этого направленного отрезка и обозначается |ar|.

Два направленных отрезка a и b называются равными, если a = b и a ↑↑ b , при этом пишут a =b ,

Теорема. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.

Тогда вектором называется абстрактный объект, совпадающий с некоторым классом эквивалентности.

Таким образом, каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением (изображением) данного вектора, а неравные направленные отрезки считаются представлением разных векторов. Поэтому в дальнейшем вектор изображается точно так, как и соответствующий ему направленный отрезок.

Векторы a и b называются коллинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны одной и той же прямой

(обозначается a ||b ).

Три и более векторов называются компланарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.

Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает

с его концом (обозначается 0). Направление нулевого вектора не определено.

Линейные операции над векторами.

Определение. Суммой a +b векторов a и b называется вектор,

проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совпадают. Приведенное определение сложения векторов называется

правилом треугольника. Векторы a и b можно складывать, пользуясь

правилом параллелограмма.

5

Если имеется n векторов A0 A1, A1 A2 ,..., An−2 An−1, An−1 An , то их сумма определяется как вектор A0 An .

Определение. Разностью векторов a и b называется такой

вектор c =a -b , что выполняется равенство c +b =a .

Легко показать, что для любого вектора a , существует такой

По определению, произведение произвольного вектора a на число

0 есть нулевой вектор, т.е. 0a =0.

Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:

1) сложение векторов коммутативно:

7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел:

(α+β)a =αa +βa , a , α, β R;

8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:

α(a +b )=αa +αb , a ,b , α R;

Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1) – 8), называется линейным, или

векторным пространством, и обозначается R3 ( R2 ).

Теорема (необходимое и достатаочное условие коллинеарности

двух векторов). Для того чтобы векторы a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ, удовлетворяющее условию:

b = λa .

Проекции.

Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.

Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α и обозначим точку пересечения плоскости α' c осью l через А1. Тогда точка А1 называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если α l, то проекция называется

прямоугольной, или ортогональной.

Пусть теперь задан вектор AB . Возьмем проекции А1 и В1 точек А и В на ось l относительно плоскости α.

Тогда вектор A1B1 называется проекцией вектора AB на ось l

относительно плоскости α. Величиной проекции вектора AB на ось l

относительно плоскости α называется число, равное:

7

а) | A1B1 |, если направление вектора A1B1 совпадает с направлением оси l;

б) - | A1B1 |, если направление A1B1 противоположно направлено

оси l.

Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора AB на ось l

будем обозначать Прl AB , а для ортогональной проекции использовать

обозначение прl AB .

Пусть α - некоторая плоскость и l – прямая, такая, что l не параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямую l1 || l и обозначим точку пересечения прямой l1 с плоскостью α через А1. Точка А1 называется

проекцией точки А на плоскость α относительно прямой l.

Если прямая l α, то проекция называется прямоугольной, или

ортогональной.

Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.

Из определения следует, что 0≤α≤π. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать

Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:

1)прl a =| a | cos(a ^' l);

2)Прl λa = λПрl a, λ R;

3)Прl (ar +b) = Прl ar + Прlb .

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов

a иb называется число (которое обозначается a b ), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

8

a .

Теорема. Скалярное произведение двух векторов обладает

rrсвойствами:

1)a b =b a (коммутативность);

2)λ (ra b ) = (λa )b , λ R;

3)a (b +c ) =a b + a c (дистрибутивность).следующими

Из определения следует, что

Tеорема (необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов). Два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Векторное произведение двух векторов.

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a ,b ,c называется правой, если при приведении их к общему началу

поворот от вектора a к вектору b по кратчайшему пути виден с конца вектора c против часовой стрелки. Если же такой поворот

осуществляется по часовой строже, то вектора a ,b ,cr образуют левую тройку векторов.

9

Определение. Векторным произведением двух векторов a и b

называется вектор cr, обозначаемый a ×b и удовлетворяющий

r:

1)|c |=|a | |b | sin (a ^,b );

2)cr ar, c b ;r

3)векторы a ,b ,c образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения.

1)(Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух r и b коллинеарны тогда и только тогда, когдавекторовследующим

ar×b =0.

2) (геометрический смысл векторного произведения) число |a ×b |

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов a ,b ,c

называется число, равное (a ×b )c и обозначается a b c .

10