![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3. Үзіліссіз функциялар. Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеті.
- •5. Дифференциалданатын функциялардың негізгі қасиеттері. Бір айнымалы функция үшін Тейлор формуласы.
- •6. Функцияның интегралдануының қажетті және жеткілікті шарттары. Анықталған интегралдың орта мәні туралы теоремалар.
- •7. Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдар. Меншіксіз интегралдардың жинақтылығының жеткілікті шарттары.
- •10. Сандық қатарлар. Абсолют және шартты жинақты қатарлар. Қатар жинақтылығының жеткілікті шарттары.
- •11. Функционалдық тізбектер және қатарлар. Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті белгілері.
- •13. Қос интегралдаудың негізгі қасиеттері. Қос интегралдауда және үш еселі интегралдауда айнымалыны ауыстыру.
- •14 Бірінші және екінші текті қисық сызықты интегралдар.
10. Сандық қатарлар. Абсолют және шартты жинақты қатарлар. Қатар жинақтылығының жеткілікті шарттары.
Айталық
сан тізбегі берілсін. Егер тізбектін
мүшелерін «+» белгісімен тіркестіріп
жазсақ, онда
(1,1)түріндегі сан қатары деп
аталатын өрнекті аламыз. Оны қысқаша
былай белгілейді:
сандарын
қатардың мүшелері деп, ал кез келген
нөмірлі
мүшесін қатардың жалпы мүшесі немесе
–мүшесі
деп атайды. Қатар мүшесінің белгілі
нөмері
бойынша, бұл мүшені жазу ережесі
белгілі болса, онда қатарды берілген
дейді. Қатардың алғашқы
мүшелерінің қосындысын қатардың
-дербес
қосындысы дейді. Оны былай белгілейді:
Ал, қатардың мүшелерінің саны шексіз болғандықтан, оның дербес қосындылары деребес қосындылардың шексіз тізбегін құрайды:
Қатар
қосылғыштардың шексіз жиындарынан
құрылатын болғандықтан, оларды тізбектей
біртіндеп қосу арқылы қатар қосындысын
анықтау мүмкін емес. Сондықтан, қатар
қосындысының анықтамасын келтірейік.
Егер
дербес қосындысындағы қосылғыштар
санын арттырсақ, онда мынандай үш
жағдайдың біріне тірелеміз:
1.
Дербес қосынды
-нің
қосылғыштары санын шектеусіз
арттырғанда, ол белгілі бір шекке
ұмтылады, яғни
болады. Бұл жағдайда, қатарды жиынақты
деп, ал
санын оның қосындысы деп атайды.
Сонымен
2. Дербес қосындыдағы қосылғыштар саны шектеусіз артқанда
немесе
болады. Бұл жағдайда,
қатарды жинақсыз /шашыранды/ дейді. Шашыранды қатардың қосындысы болмайды.
3.
Дербес қосындыдағы қосылғыштар саны
шектеусіз артқанда, дербес қосынды
ешқандай шекке ұмтылмайды. Бұл жағдайдан
да қатарды жинақсыз болады дейді
және қатардың қосындысы болмайды.
Сонымен, тек жинақты қатардың ғана
қосындысы болады екен:
Абсолютті
жинақталған қатардың жинақталуы.
сандық
қатары берілсін. Егер осы қатардың әр
мүшесін оның абсолютті шамасына
алмастырғанда пайда болатын теріс емес
қатары
абсолютті жинақталады дейді.
Теорема. Абсолютті жинақталатын қатар жинақталады.
Дәлелденуі
Теорема шарты бойынша
қатары жинақталады,демек, Коши критерийі
бойынша әр
саны үшін
болған
сайын
болатындай
саны табылады.Дәл осындай кез келген
p мен q
,
демек, тағы да Коши критерийі бойынша
,
қатары жинақталады.Теорема дәлелденді.
Жинақты
қатарлардың қасиеттері.1-теорема.
Егер
(1,1)қатары жинақты және қосынды
болса, онда
(1,3)(с-берілген сан) қатары да
жинақты және оның қосындысы
болады.Дәлелдеу.
Айталық (1,1) қатардың
-дербес
қосындысы
,
ал (1,3) қатардың
-дербес
қосындысын
дейік. Сонда
боладлы. Бұдан
Сонымен,
(1,3) қатар жинақты және оның қосындысы
болады екен.
2-теорема.
Егер
(1,1)және
(1,4) қатарлары жинақты және олардың
қосындылары сәйкес
және
болса, онда
(1,5)қатары да жинақты және оның
қосындысы
+
болады.
Дәлелдеуі:
(1,1),(1,4) және (1,5) қатарларының дербес
қосындыларын сәйкес
және
деп белгілейік. Сонда
Енді
шекке көшсек
болады. Сонымен, (1,5) қатары жинақты екен. (1,5) қатарын (1,1) мен (1,4) қатарларының қосындысы дейді.
Ескерту. Осы сияқты (1,1) және (1,4) қатарлары жинақты болғанда,
(1,6)
қатары да жинақты және оның қосындысы
-
-ке
тең болатынын дәлелдеуге болады.
(1,6) қатарды (1,1) мен (1,4) қатарларының
айырымы дейді. Сонымен жинақты қатарды
бір санға көбейтуге, шекті қосындылар
тәрізді қатарларды мүшелеп қосуға
және азайтуға болады екен.
(1,6)қатарын (1,1) қатарының
-қалдық
мүшесі деп атайды. Ол (1,1) қатардан,
оның алғашқы
мүшелрін шығарып тастаудан алынады.
3-теорема. Егер қатар жинақты болса, онда оның кез келген қалдығы да жинақты болады. Егер қатардың қандай бір қалдығы жинақты болса, ол қатар да жинақты болады.
Дәлелдеу:
Айталық
қатары жинақты және қосындысы
яғни
болсын. Бұл қатардың шығарылып
тасталған мүшелерінің қосындысын
,
ал алғашқы
мүшелерінің қосындысын
дейік. Сонда
(1,7). Мұндағы
саны
-ге
тәуелді емес белгілі бір сан. (1,7)
теңдігінен
яғни
(1,6) қатардың дербес қосындысының
тізбегі
-ның
шегі бар болады. Сондықтан (1,6) қатары
жинақты. Енді айталық (1,6) қатары
жтнақты және оның қосындысы
болсын дейік, яғнт
дейік. Сонда (1,7) ден
Бұл (1,1) қатардың жинақты болатынын дәлелдейді.
Жинақты болудың қажетті шарты. Қатараларды қарстыруда мынандай екі мәселе туады:
1) қатардың жинақты, не жинақсыз болатынын анықтау, және 2)қатар жинақты болған жағдайда, оның қосындысын табу.
4-теорема.
Егер
қатары жинақты болса, онда оның
жалпы мүшесі
нөмірі шектеусіз өскенде нолге
ұмтылады, яғни
Дәлелдеу.Айталық
қатары жинақты және оның қосындысы
болсын. Оның
және
дербес қосындыларын қарастырайық.
Бұлардан
Сондықтан,
Өйткені
және
.
Мұнда
-да
.
Сонымен,
екен.
Салдар. (Қатардың жинақсыз болуының жеткілікті шарты.)
Егер
қатардың жалпы мүшесі
нөмірі шектеусіз артқанда нөлге
ұмтылмайтын болса, онда қатар жинақсыз
болады.
Шынында, егер қатарды жинақты десек, онда алдыңғы теоремаға сәйкес қатардың жалпы мүшесі нолге ұмтылған болар еді. Бірақ, бұл шартқа қайшы. Сондықтан, қатар жинақсыз.