![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3. Үзіліссіз функциялар. Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеті.
- •5. Дифференциалданатын функциялардың негізгі қасиеттері. Бір айнымалы функция үшін Тейлор формуласы.
- •6. Функцияның интегралдануының қажетті және жеткілікті шарттары. Анықталған интегралдың орта мәні туралы теоремалар.
- •7. Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдар. Меншіксіз интегралдардың жинақтылығының жеткілікті шарттары.
- •10. Сандық қатарлар. Абсолют және шартты жинақты қатарлар. Қатар жинақтылығының жеткілікті шарттары.
- •11. Функционалдық тізбектер және қатарлар. Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті белгілері.
- •13. Қос интегралдаудың негізгі қасиеттері. Қос интегралдауда және үш еселі интегралдауда айнымалыны ауыстыру.
- •14 Бірінші және екінші текті қисық сызықты интегралдар.
5. Дифференциалданатын функциялардың негізгі қасиеттері. Бір айнымалы функция үшін Тейлор формуласы.
Y=f(x) ∆y=f(x0+∆x)-f(x0)
Lim{∆x→0}∆y/∆x=fꞌ(x0) lim{∆x→0}α(∆x)=0
∆y/∆x=fꞌ(x0)+α(∆x)
∆y=A∆x+α(∆x)*∆x
Анықтама:Функцияның өсімшесінің (∆y) ∆xқарағандағысызықты,еңбастыбөлігінсолфункцияның дифференциалы депатайды.
Dy=A*∆x=fꞌ(x)*∆x
yꞌ,dy/dx ∆x=dx
y=x
dy=dx=1*∆x
∆y͌≈dy
F(x0+x)-f(x0)≈fꞌ(x0)*∆x
F(x0+∆x) ≈f(x0)+fꞌ(x0)*x
Мысалы:arctg 1,05=?
y=arctgx
x0=1 yꞌ=1/1+x2
∆ x=0,05 fꞌ(x0)=0,5
f(x0)=π/4
arctg1,05≈3,14/4+0,5*0,05=0,785+0,025=0,810
6. Функцияның интегралдануының қажетті және жеткілікті шарттары. Анықталған интегралдың орта мәні туралы теоремалар.
Анықталған
интегралдың анықтамасы.
сегментінде анықталған
функциясы берілсін. Осы сегментті
қалауымызша алынған
нүктелерімен
бөлікке бөліп, әр
бөлік сегменттен кез келген
нүктесін алып, Риман қосындысы немесе
интегралдық қосынды деп аталатын мынадай
қосынды жасайық:
.
Бұл
қосындының мәні, жалпы алғанда,
сегментін бөлу тәсілінен де,
нүктелеріне де тәуелді. Бөлік сегменттердің
ұзындықтарының ең үлкенін
,
яғни
деп белгілейік.
Анықтама.
Егер интегралдық қосынды
-ның
нөлге ұмтылғанда (барлық бөлік
сегменттердің ұзындықтары
нөлге ұмтылғанда)
сегментін бөлу тәсілінен тәуелсіз және
әр бөлік сегменттен
нүктесін таңдап алудан тәуелсіз шекті
(тиянақты) шегі бар болса, осы шекті
функциясының
-дан
-ға
дейінгі немесе
сегментіндегі анықталған интегралы
деп,атайды да оны
деп белгілейді.
.
Мұндағы
-
интеграл астындағы функция,
-
интеграл астындағы өрнек,
саны –интегралдың төменгі,
саны – интегралдың жоғарғы шегі, ал
айнымалысы – интегралдау айнымалысы
деп аталады.
Берілген анықтамадан жоғарғы, төменгі шектер тұрақты сандар болса, анықталған интеграл тұрақты санға тең болатынын байқаймыз, себебі ол айнымалы қосындының шегі.
Риман
бойынша
кесіндісінде интегралдагатын барлық
функциялар жиынын
арқылы белгілейді.
1-теорема.
(қажетті шарт )
кесіндісінде анықталған
функциясының осы кесіндіде Риман
бойынша интегралдануы үшін оның осы
кесіндіде шектеулі болуы қажет.
2
–теорема. (жеткілікті шарт)
кесіндісінде шектелген
функциясының осы интервалда интегралдануы
үшін кезкелген
саны табылып, параметрі
болатын
кесіндісінің кезкелген
бөліктеуі үшін
теңсіздігінің орындалуы жеткілікті.
Анықталған интегралдың орта мәні туралы теорема.
Егер
функциясы
сегментінде интегралданса және
үшін
теңсіздіктері орындалса, оның интегралы
теңдігін
қанағаттандырады,мұндағы
теңсіздігін қанағаттандыратын тұрақты
сан.
7. Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдар. Меншіксіз интегралдардың жинақтылығының жеткілікті шарттары.
Риман интегралы сегментте (тұйық шенелген аралықта) анықталған және шенелген функция үшін анықталған еді. Осыған орай, мұнда Риман интегралы, біріншіден, шенелмеген аралық, екіншіден, шенелмеген функция жағдайларына жалпыланады. Бұл жалпылаулар Риман интегралы анықтамасына негізделіп, шекке көшу арқылы жүргізіледі де, пайда болған интеграл меншіксізинтеграл деп аталады (әрине, онда бастапқы Риман интегралы меншікті интеграл деп аталуы тиісті де, солай аталады да).
Сөйтіп, Риман интегралының өзі де шек екендігін ескере отырып, меншіксіз интеграл қайталанған шектің тағы бір түрін құрайтының көреміз.
Егерде
нақты
мәнді шегі бар болса, онда
функциясы
аралығында
Риман бойынша интегралданады деп
санының өзін сол функцияныңменшіксізинтеграл
деп атап, оны
(1)
символымен
белгілейді. Бұл жағдайда «(1)
интегралы жинақталады» деп те атайды.
Сөйтіп,
(1) интегралының жинақталуынефункциясының
аралығында
интегралдануы
=
(2) шарты орындалуымен парапар.
Меншіксізинтегралдың қасиеттері:
аралығында
анықталған
функциясы
әр
сегментінде интегралданады деп алдын-ала
ұйғарамыз.
.
Егерде,
аралығында
анықталған
функциялары
үшін
меншіксіз
интегралды бар болса, онда әр
және
нақты
сандары үшін
функциясы
сол аралықта интегралданып,
(12)
теңдігі орындалады.
2.
меншіксіз
интегралы жинақталуы үшін оның әр қалдық
интегралы, яғни,
болғандағы
интегралыжинақталуы
қажетті де жеткілікті және олар
жинақталған жағдайда
(13)
теңдігі орындалады.(13)теңдігін меншіксіз интегралдың аддитивтік қасиеті деп те атайды.
Ескерту.Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдардар жоқ!!!!!
Көп айнымалыдан тәуелді функция. Көп айнымалыдан тәуелді функцияның шегі. Көп айнымалыдан тәуелді функция үшін Тейлор формуласы.
Көп айнымалылы функциялар үшін Тейлор формуласы.
f(x)
Eашық жиынында анықталып, f(x)
кірістіруін қанағаттандырсын, яғни Е
жиынының әрбір нүктесінде f(x) функциясының
реті s–тен аспайтын барлық мүмкін дербес
туындылары бар және үзіліссіз болсын.
a=(
және x=(
)
E
нүктелерін жалғайтын кесінді Е жиынында
толық жатсын, яғни
-
(i=1,2,…,n), h=(
)
үшін t
[0,1]
болғанда a+th==(
)
болсын. Онда [0,1] сегментінде
f(a+th)=f(
(1)
күрделі
функциясы анықталған болады. fболғандықтан
кірістіруі орындалады, яғни
бір айнымалы функциясы [0,1] сегментінде
s рет үзіліссіз дифференциалданады, сол
себептен (1) функциясы үшін
болғандағы
(
(2)-теңдігі орындалады. Сонымен бірге,(1)
бойынша
,
(2) теңдігінде
деп алып, бұл жағдайда
1
болатынын ескере отырып,
f(-f(
)=f(
=
+
(3)
теңдігіне
келеміз. Егер (3) теңдігінде
көмекші функциясынан бастапқы f
функциясына толық көшсек, онда солай
түрлендірілген (3) теңдігі көп айнымалылыТейлор
формуласы
деп аталады.
9 Көп айнымалыдан тәуелді функцияның локалды экстремумы. Локалды экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары. Шартты экстремум.
сандық
функциясы
ашық жиынында анықталсын. Егер ,
біріншіден,
нүктесі
жиынының ішкі нүктесі болса, екіншіден,
кірістіруі орындалатындай қайсыбір
оң саны мен әрбір
үшін
теңсіздігі орындалса, онда
нүктесін
функциясы
локальді максимум мәнін қабылдайтын
нүкте, не қысқаша
- локальді максимум нүктесі деп атайды.
Егер
теңсіздігі орындалса, онда
нүктесін
функциясы
локальді минимум мәнін қабылдайтын
нүкте, не қысқаша
- локальді минимум нүктесі деп атайды.
Экстремум
бар болуының қажетті шарты.
Егер
нүктесі
функциясы үшін локальді экстремум
нүктесі болып,
функциясының
нүктесінде барлық дербес туындылары
бар болса, онда сол дербес туындылары
міндетті түрде нольге тең болады,
яғни
(1)
Экстремумның жеткілікті шарттары (екі айнымалы жағдайы).
1
– теорема. Екі
айнымалы сандық
функциясы
нүктесінің қайсыбір
- маңайында анықталып, сол маңайда
дербес туындылары бар және үзіліссіз болып, сол нүктенің өзінде локальді экстремумның қажетті шарты орындалсын:
(2)
Мынадай белгілеулер енгізейік:
(3)
.
Онда 1) егер
болса, онда
локальді экстремум нүктесі болып,
болғанда локальді қатаң минимум,
болғанда локальді қатаң максимум
нүктесі болады;
егер
болса, онда
нүктесі локальді экстремум нүктесі
емес;
егер
болса, онда
нүктесі туралы нақты ештеңе айтуға
болмайды; ол локальді экстремум
нүктесі болуы да, болмауы да мүмкін.
Шартты
экстремум.
сандық
функциясы
жиынында анықталып,
жиыны берілсін. Егер: 1°.
нүктесі Е
жиынының ішкі нүктесі болса; 2°. а
нүктесі F
жиынында жатып, сол жиынның шектік
нүктесі болса, яғни
а
нүктесінің әрбір маңайында а-дан
өзге болатын F
жиынының нүктесі табылса; 3°. а
нүктесінің белгілі бір маңайы мен
F
жиынында жатқан әрбір
нүктесі
үшін
теңсіздігі
орындалса, яғни
(Vδ
(a)
болса, онда а нүктесінf функциясыныңF бойынша шартты максимум (шартты минимум) нүктесі деп атайды. Әдеттегідей, шартты максимум мен шартты минимум шартты экстремум деп аталады.
Шартты экстремумның кажетті шарты.
Диференцианалданатын f функциялары арқылы
ψ(x1,x2,...,xn) = f(x1,x2,...,xn,φ1(x1,x2,...,xn),..., φm (x1,x2,...,xn))
бойынша анықталған ψ(x1,x2,...,xn) күрделі функциясы да сол маңайда дифференциалданады. Сондықтан локальді экстремумның қажетті шарттын қолданып келесі теңдеуге келеміз:
(a1,a2,...,an)=0
,... ,
(a1,a2,...,am)=0
бұған байланыс теңдеудері беретін
F1 (a1,a2,...,an+m)=0, ... , Fm (a1,a2,...,an+m)=0 теңдеулерін қосып, саны n+m болатын a1,a2,...,an+m белгісіз айнымалыларын табу үшін n+m теңдеу алдық. Осы теңдеулер шартты экстремумның қажеттін шартын құрайды.
Шартты экстремумның жеткілікті шарты.
x1=a1,...,xn+m=an+m, λ1= λ(0)1, ... ,λm=λ(0)m сандары
=0,
... ,
=0;
=0,
... ,
=0 (1)
жүйесінің шешімін құрасын. Онда Ф(x)=f(x)+λ01F1(x)+...+λ0mFm(x) Лагранж функциясы үшін
(2)
жүйесі n айнымалылы Q квадраттық формасын анықтайды.