Математикалық талдау

Бірінші және екінші текті қисық сызықты интегралдар. 14

Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдар. Меншіксіз интегралдардың жинақтылығының жеткілікті шарттары. 7

Дәрежелік қатарлар және олардың жинақталу облысы.Дәрежелік қатарлар мүшелеп интегралдау және мушелеп диффференциалдау. Функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу. 12

Дифференциалданатын функциялардың негізгі қасиеттері. Бір айнымалы функция үшін Тейлор формуласы.5

Көп айнымалыдан тәуелді функция. Көп айнымалыдан тәуелді функцияның шегі. Көп айнымалыдан тәуелді функция үшін Тейлор формуласы. 8

Көп айнымалыдан тәуелді функцияның локалды экстремумы. Локалды экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары. Шартты экстремум. 9

Қос интегралдаудың негізгі қасиеттері. Қос интегралдауда және үш еселі интегралдауда айнымалыны ауыстыру. 13

Сандық қатарлар. Абсолют және шартты жинақты қатарлар. Қатар жинақтылығының жеткілікті шарттары. 10

Тізбектер және оның шегі. Жинақты тізбектер және олардың қасиеттері.Тізбек жинақтылығының Коши критериі. 1

Үзіліссіз функциялар. Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеті.3

Функционалдық тізбектер және қатарлар. Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті белгілері. 11

Функция шегі.Функция шегінің бар болуының Коши критериі2

Функцияның интегралдануының қажетті және жеткілікті шарттары. Анықталған интегралдың орта мәні туралы теоремалар. 6

Функцияның үзіліс нүктелері және олардың классификациясы. 4

1.Тізбектер және оның шегі. Жинақты тізбектер және олардың қасиеттері.Тізбек жинақтылығының Коши критериі.

Натурал сандар жиынында анықталған функциясының мәндерін сан тізбегі немесе тізбек деп атайды.

Егертізбегіберілсе, онысимволыменбелгілейдінемесебылайжазады:

Анықтама 1. Егеркезкелгенүшінтеңсіздігіорындалса, ондатізбегінөспелідейді.

Анықтама 2. егеркезкелгенүшінтеңсіздігіорындалса, ондатізбегінкемімелідейді.

Анықтама 3. егеркезкелгенүшінтеңсіздігінқанағаттандыратындайоңсаны табылса, ондатізбегіншектелгендепатайды.

Анықтама.Егерәрбіралдын ала берілгенсанынасәйкеснатурал саны табылсажәнекезкелгеннөмірлеріүшінтеңсіздігіорындалса, ондасанынтізбегініңшегідепатайды. Жазылуы:немесеұмтылғандадепжазады.

Мысалы, тізбектіңшегін табу керек.

Шешімі. болады.

Анықтама.Шегі бар тізбектіжинақтыдеп, шегіжоқтізбектіжинақсыздепатайды. Егертізбектіңшегі бар болса, ондатізбекшектелгенболады. Жинақтытізбектіңбірғанашегі бар. Жоғары (төменгі) жағынаншектелгенөспелі (кемімелі) тізбектіңшегі бар.

Анықтама. Егертізбектіңшегінөльгетеңболса, ондамұндайтізбектішексіз аз депатайды.

Теорема 1. Екішексіз аз тізбектердіңқосындысышексіз аз болады.

Теорема 2. Шектелгентізбектіңшексіз аз тізбеккекөбейтіндісішексіз аз тізбекболады.

Анықтама. Егеркезкелгенсаны үшіннөмірітабылып, барлықүшінтеңсіздігіорындалса, ондатізбегіншексізүлкеншамадейдіжәнебылайжазады:.

Теорема 3. Егертізбегі,шексізүлкенболса, ондатізбегішексізаз жәнекерісіншетізбегішексіз аз болса, ондатізбегішексіз үлкен.

Теорема 4. Егержәнетізбектеріжинақтыболса, онда

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Егер, онда

Жиіқолданылатыншектер

–біріншітамашашек.

-екіншітамашашек.

тізбегіүшінтеңсіздігіорындалады. Сондықтанжоғарыданшенелгенөспелітізбек.

шегі бар болады. саныныңжуықмәніболатыныдәлелденген. Бұл сан Непер саны депаталады.

2.Функция шегі.Функция шегінің бар болуының Коши критериі.

P мен q әріптерінің әрқайсысы c(c-нақты сан) , c+0,c-0, ∞,+∞ және -∞ символдарының бірі, f функциясы X нақты сандар жиынында анықталып, p сол жиынның шектік нүктесі болсын. Егер әрбір ε оң саны үшін f функциясының p- ның белгілі бір ойылған δ(ε)- маңайында қабылдайтын міндердің бәрі де q- дің маңайында жатса, онда x p – ға ұмтылғанда f(x) функциясының шегі бар және q- ға тең дейді де , немесесимволдармен белгіленеді.

Бұл жағдайды басқаша

деп те атайды.

Дәлірек p=a, p=a+0, p=a-0 болғанда -ді f функциясының a нүктесіндегі сәйкес жай (екі жақты) , оң жақты және сол жақты шегі деп, ал q=b, q=b+0, q=b-0 болғанда f функциясы сәйкес b-ға, b-ға жоғарыдан, b-ға төменнен ұмтылады дейді.

Шектің анықтамасы кванторлар тілінде былай жазылады:

Коши критерийі.

f функциясы X жиынында анықталып, a нақты саны сол жиынның шектік нүктесі болсын. Онда f функциясының a нүктесінде нақты мәнді шегі бар болуы үшін, әрбір ε оң саны бойынша X жиынынан алынған 0және 0теңсіздіктерін қанағаттандыратын кез келгенx,y сандары үшін теңсіздігі орындалатындай δ оң саны табылуы қажетті және жеткілікті.

Кванторлар тілінде бұл теорема былай жазылады:

f- тің а нүктесінде нақты ()()()

мәнді шегі бар

:ε. (1)

(1)- нің оң жағында жазылған шарт Коши шарты деп аталады.

Сонымен Коши критерийін былай айтуға болады: функциясының а нүктесінде нақты мәнді шегі бар болуы үшін сол нүктеде Коши шарты орындалуы қажетті және жеткілікті.

3. Үзіліссіз функциялар. Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеті.

Үзіліссіздіктің анықтамасы жөнінде жалпы ескертулер жасайық.

1.Үзіліссіздіктің анықтамасы келесі екі шарттың орындалуын талап етеді: біріншіден, x x₀-ге ұмтылғанда f(x)-тің y₀ нақты санына шегі бар, екіншіден y₀ саны f функциясының x₀ нүктесінде қабылдайтын мәні болатын f(x₀) санына тең.

2.Үзіліссіздік-локальді ұғым.

3. Жалпы жағдайда функцияның әрбір жеке алынған нүктеге сәйкес мәнінің қалған нүктелерде қабылдайтын мәндерімен ешқандай байланысы жок. Мысалаы:

f(x)=

сәйкестігі функция болады. Сонымен бірге ноль нүктесінде мәні басқа мәндермен ешқандай байланысы жоқ,себебі =f(0) санына нақты болуынан өзге шарт қойылмаған.

Ал үзіліссіз функция үшін жағдай мүлде басқа: нүктесінде f функциясы үзіліссіз болса, онда f(а) саны f функциясының а-ның «қасындағы» нүктелерде қабылдайтын мәндері арқылы табылады. Дәл айтқанда f(а) санышегіне тең, ал сол шектің анықтамасында f функциясының а нүктесінде қабылданатын мәні қатыспайды,тіпті бар болуы да қажетті емес.

4.болғандықтан үзіліссіздіктің анықтамасындағы 1- теңдікті былай дажазуға болады.

5Үзіліссіздіктің x→f(x) →түріндегі анықтамасын үзіліссіздіктің x→символының екі жағын даережесін қолданғанда , сондағы ұмтылу сақталатынын белгілейді деп түсінуге болатынын көрсетеді.

Үзіліссіз функциялар шарттарды қанағаттандырады,сондықтан аталған теоремалардан салдар ретінде үзіліссіз функциялардың келесі маңызды қасиеттері шығады:

1-теорема. Әрбір функцияның үзіліссіздік нүктесі локальді шенелу нүктесі болды.

2-теорема. Егер f функциясы үзіліссіз болып, сол нүктеде қабылданған) мәні оң (теріс) болса, ондабелгілі бір маңайындамәндері де оң (теріс) болады.

Салдар. Егер функциясыүзіліссіз болып,оның белгілі бір ойылған маңайындағы барлық нүктелерде қабылданатын мәні нольге тең болса не-дің кез келген ойылған маңайында оң және теріс таңбалы мәндерді қатар қабылдаса, онда)=0 болады.

4.Функцияның үзіліс нүктелері және олардың классификациясы.

Егер нүктесі f функциясының анықталу жиынында жатып, f сол нүктеде үзіліссіз болмаса,онда нүктесі f-тіңүзіліс нүктесі немесе нүктесінде үзіледі дейді. Үзіліссіздік жағдайындағыдай, үзіліс нүктесінің (үзілістіктің) әртүрлі өзара эквивалентті анықтамалары бар.

Егер белгілі бір оң саны мен кез келгеноң саны үшін

теңсіздіктері орындалатын саны табылса өрнегі жазылғандықтан, алдын аласаны f-тің анықталу жиынында жатады деп ұйғарамыз, немесе егер белгілі оң саны үшіншарттарын қанағаттандыратынтізбегі бар болса, онда f функциясынүктесінде үзіледінемесеүзіліс нүктесі дейді.

Егер f функциясы нүктесінде үзілісті болып, сол нүктеде оның сол және оң жақты нақты мәнді шектері бар болса, онда f функциясынүктесінде жай немесебірінші түрдегі үзілісті дейді. Бірінші түрдегі үзіліс тек мына төрт жағдайдың бірінде ғана мүмкін:

f()=f ()

f()=f (),

f()

f(0)

Егер f функциясы нүктесінде үзілісті болып, бірақ үзіліс бірінші түрдегі үзіліс болмаса, дәл айтқанда,нүктесінде f-тің кемінде бір біржақты нақты мәнді шегі болмаса, онда f функциясынүктесінде күрделі немесеекінші түрдегі үзілісті дейді. cаны f функциясыныңнүктесіндегісекірмесі деп аталады, өзара тең оң және сол жақты нақты шектері бар болғанда, яғни секірме ноль болатын, жағдайдың бір ерекшелігі бар: f функциясын бір ғана нүктесінде өзгертіп, сол нүктеде үзіліссіз болатынфункцияға айналдыруға болады=f(x),eгерболса,=f (), x=егер болса

сондықтан, кейде секірмесі нольге тең болатын үзілісті жөнделетін үзіліс деп атайды.