Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции  в точке  и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения  материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:

Как найти производную? Производная сложной функции и Простейшие задачи с производными.

Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически.

Но сначала освежим воспоминания: если функция  дифференцируема в точке  (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке  можно найти по следующей формуле:

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается: если в точке  существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси  и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция  с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением:  (ось ординат).

Если же производной  не существует (например, производной от  в точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной.

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль? Нормалью к графику функции  в точке  называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его в общем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор  и составляем уравнение нормали по точке  и направляющему вектору .

Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции  в точке  выражается следующим уравнением:

Особые случаи, когда  равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой  в точке, абсцисса которой равна .

В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)

Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Найдём производную: Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.

Теперь вычислим производную в точке :

Получено конечное число и это радует. Подставим  и  в формулу :

Перебросим  наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде: Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле: Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума:  – искомое уравнение.

Ответ:

Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки  должны удовлетворять каждому уравнению:

 – верное равенство.

 – верное равенство.

И, во-вторых, векторы нормали  должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения: , что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых.

! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная  и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!

Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради: Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция  задаёт верхнюю дугу эллипса.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции  в точке .

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Теперь разберём два особых случая:

1) Если производная в точке  равна нулю: , то уравнение касательной упростится: То есть, касательная будет параллельна оси .

Соответственно, нормаль будет проходить через точку  параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .

2) Если производная в точке  существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку  параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:

Всё просто:

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к параболе  в точке . Сделать чертёж.

Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.

Решение: составим уравнение касательной . В данном случае  

Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:

Таким образом:

Поскольку касательная параллельна оси  (Случай №1), то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:

Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:

Ответ: ,

В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.

Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :

Пример 4

Написать уравнение касательной и нормали к кривой  в точке .

Краткое решение и ответ в конце урока

Случай №2, в котором  на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению:

Пример 5

Найти уравнения касательной и нормали к графику функции  в точке

Решение: в критической точке знаменатель производной  обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные  с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по определению): Обе производные бесконечны, следовательно, в точке  существует общая вертикальная касательная: Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле: Для лучшего понимания задачи приведу чертёж: Ответ:

Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:

Пример 6

Найти уравнения касательной и нормали к кривой  в точке .

Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.

В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде  выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .

Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению: Получено верное равенство, значит, с точкой  всё в порядке.

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно:

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :

Вот так-то!

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ:

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно,  – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти уравнение нормали к линии  в точке

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность  центром в точке  радиуса  и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:

Пример 8

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции:

И вычислим её значение при  :

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:

Уравнение нормали:

Ответ:

В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:

Пример 9

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)

Спасибо за внимание и успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле: В данном случае: Таким образом: Уравнение нормали составим по формуле : Ответ:

Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле: В данной задаче: Таким образом: В точке  касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали: Ответ:

Пример 7: Решение: в данной задаче: . Найдём производную: Или: Подставим в выражение производной : Искомое уравнение нормали: Ответ:

Пример 9: Решение: в данном случае: Найдём производную и вычислим её значение при : Уравнение нормали: Ответ:

Взято с сайта http://www.mathprofi.ru