3 Рівняння (5) отримаємо кутову швидкість:
. (6)
Для визначення маси стержня, скористуємося законом збереження моменту імпульсу для замкненої системи. Оскільки зовнішні сили, що діють у момент зіткнення кулі і стержня, а це сили тяжіння, направлені перпендикулярно їхньому руху то вони імпульси цих тіл не змінюють.
В початковий момент удару кутова швидкість стержня дорівнювала нулю, тому нулю дорівнював його момент імпульсу, а момент імпульсу кулі дорівнював
. (7)
В кінцевий момент удару стержень мав кутову швидкість, тому момент імпульсу стержня дорівнює:
, (8)
а момент імпульсу кули, яка має таку ж кутову швидкість, що і відповідні рочки стержня, дорівнює
. (9)
Застосуємо формулу закону збереження моменту імпульсу:
. (10)
З рівняння (10) отримаємо масу стержня
. (11)
Кутову швидкість з (6) підставляємо у (11) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:
= (12)
Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (12) і отримаємо відповідь:
=
-
На краю платформи у вигляді диска, що обертається за інерцію навколо вертикальної осі з частотою = 8 хв-1, стоїть людина масою m = 70 кг. Коли людина перейшла в центр платформи, вона стала обертатися з частотою = 10 хв-1. Визначити масу платформи. Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.
1.99.
Дано
=
8 хв-1 m
= 70 кг
=
10 хв-1
= ?
Для визначення маси платформи використаємо закон збереження моменту імпульсу в ізольованій механічній системі, який має вигляд:
. (1)
Для системи з двох тіл цей закон можна записати у вигляді:
, (2)
де - момент інерції людини, яку вважаємо матеріальною точкою; - кутова швидкість; - момент інерції лиска з людиною; - радіус диска.
У рівняння (2) підставляємо приведені значення моментів інерції
. (3)
З рівняння (3) отримуємо вираз для розрахунку маси платформи:
= (4)
Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:
=
-
Горизонтальна платформа масою m1 = 150 кг обертається навколо вертикальної осі, що проходить через центр платформи, з частотою = 8 хв-1. Людина масою m2 = 70 кг стоїть при цьому на краю платформи. З якою кутовою швидкістю почне обертатися платформа, якщо людина перейде від краю платформи до її центра? Вважати платформу однорідним диском, а людину - матеріальною точкою.
1.100.
Дано
m1
= 150 кг
=
8 хв-1 m2
=
70 кг
= ?
Для визначення кутової швидкості, з якою почне обертатися платформа, якщо людина перейде від краю платформи до її центра, використаємо закон збереження моменту імпульсу в ізольованій механічній системі, який має вигляд:
. (1)
Для системи з двох тіл цей закон можна записати у вигляді:
, (2)
де - момент інерції людини, яку вважаємо матеріальною точкою; - кутова швидкість; - момент інерції лиска з людиною; - радіус диска.
У рівняння (2) підставляємо приведені значення моментів інерції
. (3)
З рівняння (3) отримуємо вираз для розрахунку маси платформи:
. (4)
Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:
=
-
Однорідний стержень довжиною = 1 м і масою M = 0,7 кг підвішений на горизонтальній осі, що проходить через верхній кінець стержня. У точку, віддалену від осі обертання на = 2/3 абсолютно пружно ударяє куля масою m = 5 г, що летіла перпендикулярно стержню і його осі. Після удару стержень відхилився на кут = 600. Визначити швидкість кулі до удару.
1.101.
Дано
=
1 м M
= 0,7 кг
= 2/3
m
= 5 г
=
60°
= ?
Рис.
1.101
Зробимо малюнок.
Оскільки удар кулі був абсолютно непружним, то куля і відповідна точка стержня зразу після удару будуть рухатись з однаковою кутовою швидкістю . Тобто за малий проміжок часу куля надає стержню деяку кінетичну енергію:
, (1)
де момент інерції стержня відносно осі обертання згідно з формулою Штейнера дорівнює
. (2)
Завдяки цієї енергії, стержень без кулі (за умовою вона не застрягає в ньому) повертається на кут , причому його центр тяжіння піднімається на деяку висоту (див. рис. 1.101):
. (3)
При відхиленні стержень на кут він буде мати потенціальну енергію, яка дорівнює
. (4)
Згідно з законом збереження енергії, можна порівняти праві частини рівнянь (1) та (4) і отримати
. (5)