Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Криворожский национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1_1-1_180.doc

Скачиваний:

272

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

6.21 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Тіло кинуте вертикально вгору з початковою швидкістю = 4 м/с. Коли воно досягло верхньої точки польоту з того ж початкового пункту, з тією ж початковою швидкістю вертикально вгору кинуте друге тіло. На якій відстані h від початкового пункту зустрінуться тіла? Опір повітря не враховувати.

Рис. 1

Дано

= = = 4 м/с.

= ?

.1.

Розв’язок.

Запишемо рівняння кінематики для першого і другого тіла, врахувавши, що перше тіло рухаючись до зустрічі з т. А не мало початкової швидкості:

(1)

Оскільки висота , то можна додати рівняння системи (1) і знайти час руху тіл до зустрічі:

. (2)

Підставляємо отриманий з (2) час у друге рівняння системи (1) і отримаємо розрахункову формулу:

= (3)

Зробимо підстановку заданих величин у вираз (3) і отримаємо відповідь:

Матеріальна точка рухається прямолінійно з прискоренням а =5 м/с². Визначити, на скільки шлях, пройдений точкою в n секунду, буде більше шляху, пройденого в n-1 секунду. Прийняти = 0.

1.2.

Дано

а = 5 м/с²

= 0

= ?

Розв’язок.

Рис. 1

апишемо рівняння кінематики руху для матеріальної точки в задані проміжки часу с урахуванням, що

= 0:

. (1)

Як видно з рис. 1, шлях, пройдений точкою за n та за секунди дорівнює:

(2)

Для отримання розрахункової формули, знаходимо різницю між першим і другим рівнянням системи (2):

= (3)

Зробимо підстановку заданих величин у вираз (3) і отримаємо відповідь:

Дві автомашини рухаються по дорогах, кут між якими  = 60°. Швидкість автомашин = 54 км/г і = 72 км/г. З якою швидкістю віддаляються машини одна від одної ?

1.3.

Дано

 = 60°

= 54 км/г

= 72 км/г

= ?

Розв’язок.

Рис. 1

к видно з рис. 1, швидкість з якою віддаляються машини одна від одної дорівнює:

. (1)

Цю різницю векторів знаходимо за формулою теореми косинусів:

. (2)

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (2) і отримаємо відповідь:

Матеріальна точка рухається прямолінійно з початковою швидкістю = 10 м/с і постійним прискоренням а = - 5 м/с². Визначити, у скільки разів шлях S, пройдений матеріальною точкою, буде перевищувати модуль її переміщення r через t = 5 с., після початку відліку часу.

1.4.

Дано

V₀=10 м/с

а = - 5 м/с²

t = 5 с

= ?

Розв’язок.

Рис. 1

к видно з рис. 1, в точці А матеріальна точка починає рух у зворотному напрямі. Визначимо скільки часу вона рухалась с початку координат до цієї точки. Для цього запишемо як змінюється швидкість її руху:

. (1)

Звідки дістаємо

. (2)

Тоді шлях дорівнює

. (3)

Переміщення знайдемо за формулою:

. (4)

Тоді розрахункова формула має вигляд

. (5)

Зробимо підстановку заданих величин у вираз (5) і отримаємо відповідь:

Велосипедист їхав з одного пункту в інший. Першу третину шляху він проїхав з швидкістю = 18 км/год. У подальшому половину часу, що залишився він їхав з швидкістю = 22 км/год, після чого до кінцевого пункту він йшов пішки з швидкістю = 5 км/год. Визначить середню швидкість велосипедиста.

Рис. 1

.5.

Дано

= 18 км/год

= 22 км/год

= 5 км/год

= ?

Розв’язок.

Середня швидкість руху велосипедиста визначаємо за формулою:

. (1)

Час можна визначити з формули:

, (2)

де - середня швидкість на останніх двох ділянках руху велосипедиста, на які він витратив однаковий час, тому маємо

. (3)

Робимо підстановку (3) у вираз (2)

. (4)

Підставляємо час з виразу (4) у вираз (1) і отримаємо розрахункову формулу:

= (5)

Зробимо підстановку заданих величин у системі СИ у вираз (5) і отримаємо відповідь:

Тіло кинуте під кутом  = 30° до горизонту з швидкістю = 30 м/с. Якими будуть нормальне і тангенціальне прискорення тіла через час t = 1 с після початку руху ?

1.6.

Дано

 = 30°

= 30 м/с

t = 1 с

= ? = ?

Рис. 1

Розв’язок.

Повне прискорення пов’язане з тангенціальним і нормальним прискореннями виразом:

. (1)

При криволінійному русі тангенціальне прискорення визначається формулою:

, (2)

тобто похідна від швидкості модуль якої, як видно з рис. 1, дорівнює

. (3)

Тоді отримаємо модуль прискорення

(4)

Отримане прискорення підставляємо в формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку прискорення :

(5)

Отримані такі відповіді:

Матеріальна точка рухається по колу з постійною кутовою швидкістю  = /6 рад/с. У скільки разів шлях s, пройдений точкою за час t = 4 с, буде більшим модуля її переміщення r? Прийняти, що в початковий момент часу радіус-вектор r, що задає положення точки, був повернутий, відносно початкового положення, на кут ₀= /3 рад.

Рис. 1

.7.

Дано

 = /6 рад/с

t = 4 с

₀= /3 рад

= ?

Розв’язок.

З формули кутової швидкості, при обертальному русі, знаходимо кут повороту радіус-вектор r, що задає положення точки:

. (1)

Тоді шлях s, пройдений точкою за час t, визначимо як довжину дуги кола АВ:

. (2)

Модуль переміщення визначимо за формулою теореми косинусів:

. (3)

Для отримання розрахункової формули, ділимо вираз (2) на вираз (3):

= (4)

Зробимо підстановку заданих величин у вираз (4) і отримаємо відповідь:

Матеріальна точка рухається в площині Х-У згідно з рівняннями X = A₁+B₁t+C₁t² і Y = A₂+B₂t+C₂t², де B₁ = 7 м/с, C₁ = - 2 м/c², B₂ = - 1 м/с, С₂ = 0,2 м/с². Знайти модулі швидкості та прискорення точки в момент часу t = 5 с.

1.8.

Дано

X = A₁+B₁t+C₁t²

Y = A₂+B₂t+C₂t²

B₁ = 7 м/с

C₁ = - 2 м/c²

B₂ = - 1 м/с

С₂ = 0,2 м/с²

t = 5 с

= ? = ?

Розв’язок.

Оскільки швидкість є похідною від переміщення по часу:

, (1)

то модуль швидкості

. (2)

Так як прискорення є перша похідна від проекції швидкості по часу, або друга похідна від переміщення по часу:

, (3)

то модуль прискорення

. (4)

Згідно з формулами (1) і (3) беремо похідні та підставляємо їх у формули (2) та (4) і отримаємо відповіді:

= =

Залежність пройденого тілом шляху S від часу t дається рівнянням, S=А+Bt+Ct²+Dt³, де С=0,14 м/с² і D=0,01 м/с³. Через який час t після початку руху тіло буде мати прискорення а = 1 м/с²? Знайти середнє прискорення тіла за цей проміжок часу.

1.9.

Дано

S=А+Bt+Ct²+Dt³

С=0,14 м/с²

D=0,01 м/с³

а = 1 м/с²

t = ? = ?

Розв’язок.

Так як прискорення є перша похідна від проекції швидкості по часу, або друга похідна від переміщення по часу:

, (1)

з відкіля знаходимо час:

. (2)

Середнє прискорення визначається формулою:

, (3)

але в нашому випадку, коли прискорення змінюється лінійно (див. формулу (1)), то можна застосувати іншу формулу:

, (4)

де прискорення в початковий момент часу дорівнює

. (5)

З виразу (2) отримаємо першу відповідь, а з виразів (5) і (4) – другу:

t = =

На скільки переміститься відносно берега човен довжиною L = 3,5 м і масою m₁ = 200 кг, якщо стоячи на кормі людина масою m₂= 80 кг переміститься на ніс човна? Вважати човен розташованим перпендикулярно берегу.

1.10.

Дано

L = 3,5 м

m₁ = 200 кг

m₂ = 80 кг

а = 1 м/с²

= ?

Розв’язок. 1.

Розглянемо систему тіл «людина + човен». На кожному елементарному проміжку часу приріст імпульсу цієї системи дорівнює сумарному імпульсу діючих на систему зовнішніх сил: тобто сил тяжіння і сили нормальної реакції

. (1)

Швидкості визначаються в лабораторній системі відліку. Сума сил тяжіння і нормальної реакції дорівнює нулю. Тоді імпульс системи «людина + човен» у процесі руху залишається постійним, рівним своєму начальному значенню:

= 0. (2)

Оскільки задано переміщення людини в системі відліку, пов’язаною з човном, звернемося до правила додавання швидкостей

, (3)

де - швидкість людини відносно човна. Перейдемо в цій рівності до проекцій на горизонтальну ось, і отримаємо

. (4)

З урахуванням правила додавання швидкостей закон збереження імпульсу приймає вигляд:

, (5)

т. е. в момент часу від нуля до швидкість човна дорівнює

, (6)

Тоді елементарні переміщення човна відносно лабораторної системи відліку дорівнює

, (7)

і людини відносно човна дорівнює

, (8)

Пов’язані співвідношенням:

. (9)

Сумуючі елементарні переміщення за весь час руху і переходячи до абсолютнім величинам,

знаходимо переміщення системи «людина + човен»:

. (10)

Розв’язок. 2.

Розглянемо систему тіл «людина + човен» як замкнену. Згідно з законом збереження імпульсу, внутрішні сили замкненої системи тіл не можуть змінити положення центра мас системи. Тобто можна стверджувати, що при переміщенні людини по човну центр мас всієї системи не змінить свого положення, тобто залишиться на той же відстані від берега.

Рис. 1

ехай центр мас системи «людина-човен» перебуває на вертикалі, що проходить в початковий момент через точку

човна (рис. 1), а після переміщення човна - через іншу її точку

. Так як ця вертикаль нерухома щодо берега, то шукане переміщення

човна щодо берега дорівнює переміщенню човна відносно вертикалі. А це останнє легко визначити по переміщенню центру мас

човна. Як видно з рис. 1, в початковий момент точка

знаходиться на відстані

зліва від вертикалі, а після переходу людини - на відстані

праворуч від вертикалі. Отже, шукане переміщення човна дорівнює

. (11)

Для визначення и скористаємося тим, що результуючий момент сил, що діють на систему щодо горизонтальної осі, перпендикулярної поздовжньої осі човни, дорівнює нулю. Тому для початкового положення системи, яка знаходиться в рівновазі, запишемо рівність моментів сил тяжіння човна і людини відносно точки :

, (12)

Звідки

. (13)

Після переміщення човна моменти сил, відносно точки , складуть таке рівняння

, (14)

звідки

. (15)

Підставивши отримані вирази і в (11), знайдемо шукану величину

= (16)

З вежі висотою h = 25 м горизонтально кинуто камінь з швидкістю = 15 м/с. Який час t камінь буде рухатись? На якій відстані L від основи вежі він впаде на землю? З якою швидкістю він впаде на землю? Який кут  складе траєкторія каменя з горизонтом в точці його падіння на землю?

Рис. 1

.11.

Дано

h = 25 м

= 15 м/с

t = 1 с

= ? = ?

Розв’язок.

Запишемо рівняння кінематики руху горизонтально кинутого каменю з швидкістю в проекціях на осі ОХ і :

(1)

або

(2)

Оскільки згідно з умовою відома висота вежі, то з другого рівняння системи (2) визначаємо час падіння каменя (опором повітря рухові каменя нехтуємо):

. (3)

З першого рівняння цієї системи визначаємо на якій відстані L від основи вежі камінь впаде на землю:

Повне прискорення пов’язане з тангенціальним і нормальним прискореннями виразом:

. (4)

Як видно з рис. 1, швидкість з якою він впаде на землю визначається за формулою теореми Піфагора:

, (5)

а кут , який складе траєкторія каменя з горизонтом в точці його падіння на землю дорівнює

. (6)

Підставляємо дані умови задачі у вирази (3), (4), (5) і (6) і отримуємо такі відповіді:

= = = =

Камінь, кинутий горизонтально, впав на землю через час t = 0,5 с на відстані L = 5 м по горизонталі від місця кидання. З якої висоти кинутий камінь? З якою швидкістю він впаде на землю? Який кут  складе траєкторія каменя з горизонтом в точці його падіння на землю?

Рис. 1

.12.

Дано

t = 0,5 с

L = 5 м

= ? = ?

= ?

Розв’язок.

Запишемо рівняння кінематики руху горизонтально кинутого каменю з швидкістю в проекціях на осі ОХ і :

(1)

або

(2)

З другого рівняння системи (2) визначаємо з якої висоти кинутий камінь:

. (3)

Оскільки згідно з умовою відома відстань , то з першого рівняння системи (2) визначаємо з якою горизонтальною швидкістю його кинуто:

. (4)

Як видно з рис. 1, швидкість з якою він впаде на землю визначається за формулою теореми Піфагора:

, (5)

а кут , який складе траєкторія каменя з горизонтом в точці його падіння на землю дорівнює

. (6)

Підставляємо дані умови задачі у вирази (3), (5) і (6) і отримуємо такі відповіді:

= = =

По краю платформи, що рівномірно обертається з кутовою швидкістю  = 1 рад/с, йде людина. Вона обходить платформу за час t = 9,9 с. Яке найбільше прискорення має людина у цьому випадку відносно землі? Радіус платформи R = 2 м.

Рис. 1

.13.

Дано

 = 1 рад/с

t = 9,9 с

R = 2 м

= ?

Розв’язок.

Швидкість людини відносно платформи дорівнює

. (1)

Швидкість людини відносно землі , за правилом додавання швидкостей, дорівнюватиме

. (2)

Тоді доцентрове прискорення людини відносно землі визначатиметься формулою

. (3)

Підставляємо в формулу (3) швидкість з формули (2) і отримаємо формулу для розрахунку :

= (4)

Для розрахунку відповіді у формулу (4) підставляємо задані в умові данні:

Точка рухається по колу радіусом R = 30 см з постійним кутовим прискоренням . Визначити тангенціальне прискорення точки, якщо відомо, що за час t = 4 с вона здійснила три оберти і в кінці третього оберту її нормальне прискорення дорівнювало = 2,7 м/с².

1.14.

Дано

R=30 см

= 3

t = 4 с

= 2,7 м/с²

= ?

Розв’язок.

Модуль тангенціального прискорення при криволінійному русі дорівнює

. (1)

Щоб визначити кутове прискорення, запишемо формулу нормального прискорення:

, (2)

з якої знаходимо виріз для кутової швидкості, яку мала точка вкінці третього оберту:

. (3)

Тоді можна записати рівняння кінематики руху точки, з урахуванням, що вона здійснила обертів:

(4)

звідки отримаємо систему рівнянь:

(5)

Виключаючи з системи (5) невідому початкову швидкість, отримаємо вираз для розрахунку кутового прискорення:

. (6)

Підставляємо отримане кутове прискорення з виразу (6) і отримаємо формулу для розрахунку тангенціального прискорення точки:

= (7)

Для розрахунку відповіді у формулу (7) підставляємо задані в умові данні, які виражені в одиницях системи СІ, і отримаємо:

Точка рухається по колу радіусом R = 4 м. Закон її руху описується рівнянням S =А - Bt², де А = 8 м, В = - 2 м/с². Визначити момент часу t, коли нормальне прискорення точки дорівнює 9 м/с². Знайти швидкість , тангенціальне і повне прискорення точки в цей же момент часу.

1.15.

Дано

R=4 см

S =А - Bt²

А = 8 м

В = - 2 м/с²

= 9 м/с².

= ? = ?

Розв’язок.

Щоб визначити момент часу t, коли нормальне прискорення точки дорівнює , запишемо формулу нормального прискорення:

, (1)

де модуль лінійної швидкості точки дорівнює

. (2)

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Час з виразу (3) підставимо у формулу (2) і отримаємо шукану швидкість:

. (4)

Тоді тангенціальне прискорення дорівнює:

. (5)

А повне прискорення точка, яка рухається по криволінійній траєкторії дорівнює

. (6)

Для розрахунку відповіді у формули (3), (4), (5) та (6) підставляємо задані в умові данні, які виражені в одиницях системи СІ, і отримаємо:

= = = =

Дано

X₁=A₁t+B₁t²+C₁

X₂ = A₂t+B₂t²+C₂t³

A₁=4 м/с, B₁=8 м/c², C₁ = - 16 м/с³,

A₂=2 м/с, B₂= - 4 м/c², C₂ = 1 м/с³.

= ? = ? = ?

ві матеріальні точки рухаються згідно з рівняннями X₁=A₁t+B₁t²+C₁t³ та X₂ = A₂t+B₂t²+C₂t³; де A₁=4 м/с, B₁=8 м/c², C₁ = - 16 м/с³, A₂=2 м/с, B₂= - 4 м/c², C₂ = 1 м/с³. У який момент часу t прискорення цих точок будуть однакові? Знайти швидкості

та

точок в цей момент.

1.16.

Розв’язок.

Щоб визначити момент часу t, коли прискорення цих точок будуть однакові, візьмемо першу і другу похідну від рівнянь руху точок по часу і отримаємо рівняння для зміни швидкості та прискорення з часом, замінивши в рівняннях сталі А, В, і С на їхні задані числові значення:

, (1)

та

. (2)

З рівнянь системи (2) при умові, що = , отримаємо шуканий час:

, = . (3)

Час з виразу (3) підставимо у формули системи (1) і отримаємо шукані швидкості:

= =

Камінь кинутий горизонтально з швидкістю = 10 м/с. Знайти радіус кривизни R траєкторії каменю через час t = 3 с після початку його руху.

Рис. 1

.17.

Дано

= 10 м/с

t = 3 с

= ?

Розв’язок.

Радіус кривизни R траєкторії каменю через час t визначаємо з формули нормального прискорення:

, (1)

де швидкість каменю знаходимо по формулі теореми Піфагора:

, (2)

а нормальне прискорення знайдемо з формули повного прискорення:

. (3)

Тангенціальне прискорення дорівнює

. (4)

Робимо підстановку тангенціального прискорення з виразу (4) у формулу (3)

. (5)

Значення швидкості з виразу (2) і прискорення з виразу (5) підставляємо у формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку радіусу кривизни траєкторії в даний за умовою час польоту каменю:

= (6)

Підставляємо дані умови задачі у вираз (6) і отримуємо таку відповідь:

М'яч кинутий з швидкістю = 10 м/с під кутом  = 40° до горизонту. На яку висоту h підніметься м'яч? На якій відстані L від місця кидання він впаде на землю? Який час t він буде в рухатись?

1.18.

Дано

 = 40°

= 10 м/с

= ? = ?

= ?

Рис. 1

Розв’язок.

Повне прискорення пов’язане з тангенціальним і нормальним прискореннями виразом:

. (1)

При криволінійному русі тангенціальне прискорення визначається формулою:

, (2)

тобто похідна від швидкості модуль якої, як видно з рис. 1, дорівнює

. (3)

Тоді отримаємо модуль прискорення

(4)

Отримане прискорення підставляємо в формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку прискорення :

(5)

Отримані такі відповіді:

Вісь з двома дисками, що розташовані на відстані L = 0,5 м один від одного, обертається з частотою n = 1600 об/хв. Куля, що летить вздовж осі, пробиває обидва диски; при цьому отвір від кулі у другому диску зміщений відносно отвору в першому диску на кут  = 12°. Знайти швидкість кулі.

Рис. 1

.19.

Дано

L = 0,5 м

n = 1600 об/хв.

=12°

= ?

Розв’язок.

Швидкість знаходимо за формулою:

. (1)

За час обидва диски повернуться на кут , який визначається за формулою:

. (2)

Звідки визначаємо час:

. (3)

Отриманий час з виразу (3) підставляємо в формулу (1) і отримаємо розрахункову формулу:

= (4)

У формулу (4) підставляємо данні умови виражені у системі СІ і отримаємо відповідь:

Знайти радіус R колеса, яке обертається, якщо відомо: лінійна швидкість точки, що знаходиться на ободі, у 2,5 рази більше лінійної швидкості точки, що знаходиться на відстані r = 5 см ближче до осі колеса.

Рис. 1

.20.

Дано

= 5 см

= ?

Розв’язок.

Кутову швидкість можна визначити за формулою:

. (1)

З виразу (1) отримаємо рівняння:

, (2)

Розв’язок якого дає вираз для розрахунку радіуса колеса:

= (3)

У формулу (3) підставляємо данні умови виражені у системі СІ і отримаємо відповідь:

Колесо, обертаючись с постійним прискоренням, досягло кутової швидкості  = 20 рад/с через 10 обертів після початку руху. Знайти кутове прискорення колеса.

1.21.

Дано

 = 20 рад/с

= 10

= ?

Розв’язок.

Кутову швидкість можна визначити за формулою (вважаємо, що початкова швидкість дорівнює нулю):

. (1)

З виразу (1) отримаємо рівняння:

. (2)

Кількість обертів визначаємо за формулою

. (3)

Звідки час дорівнює

. (4)

Визначений час з формули (4) підставляємо в вираз (2) і отримаємо розрахункову формулу:

= (5)

У формулу (5) підставляємо данні умови виражені у системі СІ і отримаємо відповідь:

Колесо, обертаючись з постійним прискоренням, через одну хвилину після початку обертання мало частоту = 720 об/хв. Знайти кутове прискорення і число обертів колеса за цей час.

1.22.

Дано

= 1 хв = 60 с

= 720 об/хв

= ? = ?

Розв’язок.

Кутову швидкість можна визначити за формулою (вважаємо, що початкова швидкість дорівнює нулю):

. (1)

З виразу (1) отримаємо рівняння:

. (2)

Кількість обертів визначаємо за формулою

. (3)

Дані умови підставляємо в вирази (2) та (3) і отримаємо відповіді:

= =

Колесо, яке обертається сповільнено з постійним прискоренням, за час t = 1 хв. зменшило свою частоту з n₁ = 300 об/хв. до n₂ = 180 об/хв. Знайти кутове прискорення і число обертів колеса за цей час.

1.23.

Дано

= 1 хв = 60 с

n₁ = 300 об/хв.

n₂ = 180 об/хв

= ? = ?

Розв’язок.

Кутове прискорення можна визначити за формулою:

. (1)

Кількість обертів визначаємо за формулою

. (2)

Дані умови підставляємо в вирази (1) та (2) і отримаємо відповіді:

= =

Вентилятор обертається з частотою n = 900 об/хв. Після вимкнення вентилятор, обертаючись сповільнено з постійним прискоренням, зробив до зупинки N =75 обертів. Який час t пройшов з моменту виключення вентилятора до повної його зупинки?

1.24.

Дано

n = 900 об/хв.

= 75 обертів

= ?

Розв’язок.

Кількість обертів визначаємо за формулою

. (1)

Звідки час дорівнює

. (2)

Дані умови підставляємо в вираз (2) і отримаємо відповіді:

Вал обертається з частотою n = 180 об/хв. З деякого моменту вал почав обертатися рівноуповільнено з кутовим прискоренням = 3 рад/с². Через який час вал зупиниться? Знайти число обертів вала до зупинки.

1.25.

Дано

n = 180 об/хв.

= 3 рад/с²

= ? = ?

Розв’язок.

Кутове прискорення можна визначити за формулою:

. (1)

Звідки час дорівнює

. (2)

Кількість обертів визначаємо за формулою

. (3)

Дані умови підставляємо в вирази (2) та (3) і отримаємо відповіді:

= =

Точка рухається по колу радіусом = 20 см з постійним тангенціальним прискоренням =5 см/с². Через який час після початку руху нормальне прискорення точки буде дорівнювати тангенціальному?

1.26.

Дано

= 20 см

=5 см/с²

= ?

Розв’язок.

При криволінійному русі

, (1)

де — тангенціальне прискорення, яке дорівнює

, (2)

де — нормальне прискорення, —радіус кривизни траєкторії.

Згідно з умовою, при = , можна стверджувати, що

, (3)

звідки час дорівнює

, (4)

З рівняння (2) при умові, що , визначаємо швидкість:

, (5)

Підставляємо швидкість з (5) у вираз (4) і отримаємо розрахунковий вираз:

= (6)

Дані умови підставляємо в вираз (5) і отримаємо відповідь:

Точка рухається по колу радіусом R = 10 см з постійним тангенціальним прискоренням . Знайти нормальне прискорення точки через час t = 20 с після початку її руху, якщо відомо, що в кінці п'ятого оберту після початку руху, лінійна швидкість точки є = 10 см/с.

1.27.

Дано

= 10 см

t = 20 с

= 5 об.

= 10 см/с.

= ?

Розв’язок.

Тангенціальне прискорення дорівнює

. (1)

Лінійну швидкість в кінці часу знаходимо з формули:

. (2)

Згідно з умовою, при = , можна стверджувати, що

. (3)

Час за який точка виконала 5 обертів визначимо з формули для кількості обертів:

. (4)

Отриманий час з виразу (4) підставляємо в формулу (3)

. (5)

Отримане тангенціальне прискорення з (5) підставляємо у формулу (2)

. (6)

Отриману швидкість в кінці часу підставляємо в формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку нормального прискорення:

= (7)

Дані умови підставляємо в вираз (7) і отримаємо відповідь:

При горизонтальному польоті з швидкістю = 250 м/с снаряд масою m = 8 кг розірвався на дві частини. Велика частина масою m₁ = 6 кг отримала швидкість = 400 м/с в напрямку польоту снаряда. Визначити модуль і напрямок швидкості меншої частини снаряда.

1.28.

Дано

= 250 м/с

m = 8 кг

m₁ = 6 кг

= 400 м/с

= ?

Розв’язок.

У випадку відсутності зовнішніх сил (для замкненої системи) маємо закон збереження імпульсу:

, тобто (1)

Тобто імпульс системи матеріальних точок дорівнює сумі імпульсів її окремих точок. Запишемо формулу цього закону для не пружної взаємодії в проекціях на горизонтальний напрям:

. (2)

Звідки отримаємо вираз для розрахунку горизонтальної швидкості меншої частини снаряда

. (3)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

З возика, що вільно рухається по горизонтальному шляху з швидкістю = 3 м/с, у бік протилежний руху возика, стрибає людина. після цього швидкість возика змінилася і стала рівною = 4 м/с. Визначить горизонтальну складову швидкості людини при стрибку відносно возика. Маса возика m₁ = 210 кг, маса людини m₂ = 70 кг.

1.29.

Дано

= 3 м/с

m₁ = 210 кг

m₂ = 70 кг

= 4 м/с

= ?

Розв’язок.

У випадку відсутності зовнішніх сил (для замкненої системи) маємо закон збереження імпульсу:

, тобто (1)

. (2)

Звідки отримаємо вираз для розрахунку горизонтальної швидкості людини відносно візка

. (3)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

Гармата, що жорстко закріплена на залізничній платформі, зробила постріл вздовж полотна залізниці під кутом  = 30° до лінії горизонту. Визначити швидкість відкоту платформи, якщо снаряд вилітає з швидкістю = 480 м/c. Маса платформи з гарматою і снарядами m₂ = 18 т, маса одного снаряда m₁ = 60 кг.

1.30.

Дано

 = 30°

= 480 м/c

m₂ = 18 т

m₁ = 60 кг

= ?

Розв’язок.

У випадку відсутності зовнішніх сил (для замкненої системи) маємо закон збереження імпульсу:

, тобто (1)

Тобто імпульс системи матеріальних точок дорівнює сумі імпульсів її окремих точок. Запишемо формулу цього закону для не пружної взаємодії в проекціях на осі координат, пов’язаній з землею:

. (2)

Звідки отримаємо вираз для розрахунку горизонтальної швидкості відкоту платформи

. (3)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

Яку силу F треба прикласти до вагона, що стоїть на рейках, щоб він став рухатися рівноприскорено і за час t =30 с пройшов шлях S = 11 м ? Маса вагона m = 16 т. Під час руху на вагон діє сила тертя F_тp, що дорівнює 0,05 сили його ваги.

1.31.

Дано

t =30 с

S = 11 м

m = 16 т

= ?

Розв’язок.

Якщо на тіло діють декілька сил, то основне рівняння динаміки у векторній формі має вигляд

. (1)

У нашому випадку формула (1) приймає вигляд

. (2)

Звідки отримаємо вираз для розрахунку сили

. (3)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

Снаряд, що летів з швидкістю = 400 м/с, у верхній точці траєкторії розірвався на два осколки. Менший осколок, маса якого становить 40 % від маси снаряда, полетів в протилежному напрямку з швидкістю = 150 м/с. Визначить швидкість більшого осколку.

1.32.

Дано

= 400 м/с

= 150 м/c

m₂ = 0,6 кг

m₁ = 0,4 кг

= ?

Розв’язок.

У випадку відсутності зовнішніх сил (для замкненої системи) маємо закон збереження імпульсу:

, тобто (1)

. (2)

Звідки отримаємо вираз для розрахунку горизонтальної швидкості більшого осколку

. (3)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

Який кут з горизонтом складає поверхня бензину в баку автомобіля, що рухається з прискоренням а = 2,44 м/с²?

Рис. 1.33

.33.

Дано

а = 2,44 м/с²

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Як видно з малюнку, рівнодійна сил тяжіння і інерції (сила ) перпендикулярна до поверхні рідин. Тоді кут , який складає з горизонтом поверхня бензину в баку автомобіля, дорівнює

. (1)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (2) і отримаємо відповідь:

= =

Куля на нитці підвішена до стелі трамвайного вагона. Вагон гальмується, і його швидкість за час t = 3 с рівномірно зменшується від = 18 км/год до = 6 км/год. На який кут відхилиться при цьому нитка з кулею?

Рис. 1.34

.34.

Дано

а = 2,44 м/с²

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Як видно з малюнку, рівнодійна сил тяжіння і інерції (сила ) направлена вздовж нитки. Тоді кут , на який відхилиться при цьому нитка з кулею дорівнює

. (1)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (2) і отримаємо відповідь:

Вагон гальмується, і його швидкість за час t = 3,3 с рівномірно зменшується від = 47,5 км/год до = 30 км/год. Яким повинен бути граничний коефіцієнт тертя k між чемоданом і полицею, щоб чемодан при гальмуванні не почав ковзати по полиці?

1.35.

Рис. 1.35

Дано

t = 3,3 с

= 47,5 км/год = 30 км/год

k = ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Як видно з малюнку, чемодан при гальмуванні не почне ковзати по полиці, якщо сила інерції і сила тертя будуть рівні:

. (1)

Або можна записати

. (2)

Звідки визначаємо граничний коефіцієнт тертя

, (3)

де прискорення визначаємо таким чіном

. (4)

Підставляємо прискорення з (4) в рівняння (3) і отримаємо вираз для розрахунку:

k = (5)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (5) і отримаємо відповідь:

k =

Людина, що стоїть в човні, зробила шість кроків вздовж нього і зупинилася. На скільки кроків пересунувся човен, якщо маса човна в два рази більша маси людини?

1.36.

Дано

= 6 кроків

m₂ = 2₁

= ?

Розв’язок.

У випадку відсутності зовнішніх сил (для замкненої системи) маємо закон збереження імпульсу:

, тобто (1)

. (2)

Звідки отримуємо

. (3)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

Човен довжиною L = 3 м і масою m = 120 кг стоїть на спокійній воді. На носу і кормі знаходяться два рибалки масами m₁ = 60 кг і m₂ = 90 кг. На скільки зсунеться човен відносно води, якщо рибалки поміняються місцями ?

1.37.

Дано

L = 3 м

m = 120 кг

m₁ = 60 кг

m₂ = 90 кг

= ?

Розв’язок.

Розглянемо систему тіл «три людини + човен» як замкнену. Згідно з законом збереження імпульсу, внутрішні сили замкненої системи тіл не можуть змінити положення центра мас системи. Тобто можна стверджувати, що при переміщенні людини по човну центр мас всієї системи не змінить свого положення, тобто залишиться на той же відстані від берега (води).

Рис. 1.37

ехай центр мас системи «три людина+човен» перебуває на пунктирній вертикалі (див. рис. 1.37). Так як ця вертикаль нерухома щодо берега, то шукане переміщення

човна щодо берега дорівнює переміщенню човна відносно вертикалі. А це останнє легко визначити по переміщенню центру мас човна (для спрощення вважатимемо, що центр мас лежить по середині човна на відстані 0,5

). Як видно з рис. 1.37, в початковий момент центр мас човна знаходиться на відстані

зліва від вертикалі, а після переходу людини - на відстані

праворуч від вертикалі. Отже, шукане переміщення човна дорівнює

. (1)

, (2)

Звідки

. (3)

Після переміщення човна моменти сил, відносно вертикалі, складуть таке рівняння

, (4)

звідки

. (5)

Підставивши отримані вирази і в (1), знайдемо шукану величину

= (6)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (6) і отримаємо відповідь:

Розв’язок 2.

У випадку відсутності зовнішніх сил (для замкненої системи) маємо закон збереження імпульсу:

, тобто (1)

. (2)

де , - швидкості човна з рибалками під час їхнього переходу.

З системи (2) отримаємо зміщення човна з рибалками в одну і другу сторону:

. (3)

Тоді результуюче зміщення дорівнюватиме

. (4)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:

У дерев'яний шар масою m₁= 8 кг, який підвішений на нитці довжиною L = 1,8 м, попала куля масою m₂= 4 г, що летіла горизонтально. З якою швидкістю летіла куля, якщо шар з застряглою в ньому кулею відхилився від вертикалі на кут  = 3°?

1.38.

Дано

m₁= 8 кг

L = 1,8 м

m₂= 4 г

 = 3°

= ?

Рис. 1.38

Розв’язок.

У випадку відсутності зовнішніх сил (для замкненої системи) маємо закон збереження імпульсу:

, тобто (1)

. (2)

Звідки отримуємо

. (3)

Отримана шаром, з застряглою в ньому кулею, кінетична енергія піде на збільшення їхньої потенціальної енергії:

. (4)

Висоту підняття шару визначимо з прямокутного трикутника (див. рис. 1.38):

. (5)

Висоту з формули (5) підставимо в рівняння (4) і отримаємо

. (6)

Швидкість з виразу (6) у (3) і отримаємо формулу для розрахунку:

= (7)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (7) і отримаємо відповідь:

По невеликому шматку м'якого заліза, що лежить на ковадлі масою m₁ = 300 кг, ударяє молот масою m₂ = 8 кг. Визначити ККД удару, якщо удар абсолютно непружний. Корисною вважати енергію, що затрачена на деформацію шматка заліза.

1.39.

Дано

m₁= 300 кг

m₂= 8 кг

= ?

Розв’язок.

ККД удару визначаємо за формулою

, (1)

де - корисна енергія, що затрачена на деформацію шматка заліза; - повна енергія тіл до взаємодії, яка складається, наприклад, з кінетичної енергії молота:

. (2)

Після удару обидва тіла матимуть кінетичну енергію, яку можна визначити за формулою:

. (3)

Швидкість тіл після удару визначаємо з закону збереження імпульсу. У випадку відсутності зовнішніх сил (для замкненої системи) маємо закон збереження імпульсу:

, тобто (4)

Тобто імпульс системи матеріальних точок дорівнює сумі імпульсів її окремих точок. Запишемо формулу цього закону для непружної взаємодії тіл:

. (5)

Звідки отримуємо

. (6)

Швидкість тіл після їхньої взаємодії з виразу (6) підставляємо в формулу (3) і отримаємо їхню кінетичну енергію:

. (7)

Тоді енергія, що затрачена на деформацію шматка заліза дорівнюватиме

. (8)

Значення робі з виразів (2) та (8) підставляємо в вираз (1) і отримаємо розрахункову формулу:

. (9)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (9) і отримаємо відповідь:

Шар масою m₁ = 1 кг рухається з швидкістю = 4 м/с і стикається з шаром масою m₂ = 2 кг, що рухається йому назустріч з швидкістю = 3 м/с. Якими будуть швидкості і шарів після удару?

1.40.

Дано

m₁= 1 кг

= 4 м/с

m₂= 2 кг

= 3 м/с

= ? = ?

Розв’язок.

Згідно з умовою, удар шарів абсолютно пружний, а абсолютно пружний удар це зіткнення двох тіл, в результаті якого в обох взаємодіючих тілах не залишається ніяких деформацій і уся кінетична енергія, якою володіли тіла до удару, після удару знову перетворюється в кінетичну енергію.

Для абсолютно пружного удару виконуються закон збереження імпульсу і закон збереження кінетичної енергії.

Рис. 1.40

означимо швидкості кульок масами m₁ і m₂ після удару – через

(рис. 1.40).

При прямому центральному ударі вектори швидкостей кульок до і після удару лежать на прямій лінії, яка з’єднує їх центри. Проекції векторів швидкостей на цю лінію дорівнюють модулям швидкостей. Їх напрямки врахуємо знаками: додатне значення надамо руху вправо, від’ємне - руху вліво.

При вказаних припущеннях закони збереження мають вигляд:

. (1)

Для розв’язування системи рівнянь (1), перенесемо в різні сторони величини, що належать різним шарам і виконаємо необхідні перетворення:

. (2)

Розв’язуючи цю систему рівнянь, одержимо

(3)

(4)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (3) та (4) і отримаємо відповідь:

= =

Шар масою m₁ = 3 кг рухається з швидкістю = 2 м/с і стикається з шаром масою m₂ = 5 кг, який покоївся. Яка робота буде звершена при деформації шарів?

1.41.

Дано

m₁= 3 кг

= 2 м/с

m₂= 5 кг

= 0

= ?

Розв’язок.

Рис. 1.41

гідно з умовою, удар шарів абсолютно непружний, а абсолютно непружний удар це зіткнення двох тіл, в результаті якого тіла поєднуються і рухаються далі як єдине ціле. Продемонструвати абсолютно непружний удар можна за допомогою кульок із пластиліну, які рухаються назустріч одна одній (рис. 1.41).

Якщо маси кульок і , їх швидкості до удару і , то, використовуючи закон збереження імпульсу, можна записати:

, (1)

звідки, використовуючи умову задачі ( = 0) можемо стверджувати, що швидкість шарів після зіткнення дорівнює

(2)

При центральному абсолютно непружному ударі внаслідок деформації відбувається „втрата” кінетичної енергії, яка переходить в теплову та інші форми енергії. Цю „втрату” можна визначити по різниці кінетичної енергії тіл до і після удару:

. (3)

Використовуючи це рівняння, та підставивши в нього швидкість з виразу (2), одержимо

. (4)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (4) і отримаємо відповідь:

Визначити ККД непружного удару бойка масою m₁ = 0,5 т, який впав на палю масою m₂ = 120 кг. Корисної вважати енергію, затрачену на забиття палі.

1.42.

Дано

m₁= 0,5 кг

m₂= 120 кг

= ?

Розв’язок.

Згідно з умовою, удар тіл абсолютно непружний, а абсолютно непружний удар це зіткнення двох тіл, в результаті якого тіла поєднуються і рухаються далі як єдине ціле. Якщо маси кульок і , їх швидкості до удару і = 0, то, використовуючи закон збереження імпульсу, можна записати:

, (1)

звідки можемо стверджувати, що швидкість шарів після зіткнення дорівнює

(2)

. (3)

Використовуючи це рівняння, та підставивши в нього швидкість з виразу (2), одержимо

. (4)

Максимальна енергія тіл дорівнює кінетичній енергії першого з них (бійка):

. (5)

Тоді ККД непружного удару бойка масою, який впав на палю дорівнює

. (6)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (6) і отримаємо відповідь:

Шар масою m₁ = 4 кг рухається з швидкістю = 5м/с і стикається з шаром масою m₂ = 6 кг, що рухався йому назустріч з швидкістю =2 м/с. Визначить швидкості і шарів після удару.

1.43.

Рис. 1.43

Дано

m₁= 4 кг

= 5 м/с

m₂= 6 кг

= 2 м/с

= ? = ?

Розв’язок.

Для абсолютно пружного удару виконуються закон збереження імпульсу і закон збереження кінетичної енергії.

Позначимо швидкості кульок масами m₁ і m₂ після удару – через (рис. 1.43).

При вказаних припущеннях закони збереження мають вигляд:

. (1)

. (2)

Розв’язуючи цю систему рівнянь, одержимо

(3)

(4)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (3) та (4) і отримаємо відповідь:

= =

З жорстко закріпленого автоматичного пістолета вилетіла куля масою m₁ = 10 г з швидкістю = 300 м/с. Затвор пістолета масою m₂ = 200 г притискається до ствола пружиною, жорсткість якої k = 25 кН/м. На яку відстань відійде затвор після пострілу?

1.44.

Дано

m₁= 10 г

= 300 м/с

m₂= 200 г

k = 25 кН/м

= ?

Розв’язок.

Згідно з умовою, взаємодія тіл абсолютно непружна, а абсолютно непружною називається взаємодія двох тіл, в результаті якої тіла поєднуються і рухаються далі як єдине ціле, або розпадаються на тіла, які рухаються в різні боки. Якщо маси тіл і , їх швидкості після взаємодії і , то, використовуючи закон збереження імпульсу, можна записати:

, (1)

звідки можемо стверджувати, що швидкість віддачі пістолета після пострілу дорівнює

(2)

При абсолютно непружній взаємодії тіл внаслідок деформації відбувається „втрата” кінетичної енергії, яка переходить в енергію деформації, теплову та інші форми енергії. Цю „втрату” можна визначити по різниці кінетичної енергії тіл, що отримують тіла після їхньої взаємодії:

. (3)

Використовуючи це рівняння, та підставивши в нього швидкість з виразу (2), одержимо

. (4)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (4) і отримаємо відповідь:

Куля масою m₁ =10 кг стикається з кулею масою m₂ = 4 кг. Швидкість першої кулі = 4 м/с, другої - = 12 м/с. Знайти загальну швидкість куль після удару у випадках: 1) мала куля доганяє велику кулю, що рухається у тому ж напрямку; 2) кулі рухаються назустріч одна одній.

1.45.

Дано

m₁= 10 кг

= 4 м/с

m₂= 4 кг

= 12 м/с

= ? = ?

Розв’язок.

Рис. 1.45

Якщо маси кульок і , їх швидкості до удару і , то, використовуючи закон збереження імпульсу, можна записати:

, (1)

звідки можемо стверджувати, що швидкість шарів в обох випадків після зіткнення дорівнює

(2)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (2) і отримаємо відповідь:

= =

Шар масою m₁ = 5 кг рухається з швидкістю = 1 м/с і стикається з шаром масою m₂ = 2 кг, що покоївся. Визначити швидкості і шарів після удару. Удар вважати абсолютно пружним.

1.46.

Рис. 1.46

Дано

m₁= 5 кг

= 1 м/с

m₂= 2 кг

= 0

= ? = ?

Розв’язок.

Для абсолютно пружного удару виконуються закон збереження імпульсу і закон збереження кінетичної енергії.

Позначимо швидкості кульок масами m₁ і m₂ після удару – через (рис. 1.43).

При вказаних припущеннях закони збереження мають вигляд:

. (1)

. (2)

Розв’язуючи цю систему рівнянь, одержимо

(3)

(4)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (3) та (4) і отримаємо відповідь:

= =

З гармати проводилася стрільба в горизонтальному напрямку. Коли гармата була нерухомо закріплена, снаряд вилетів з швидкістю = 600 м/с, а коли гарматі дали можливість вільно відкочуватися назад, снаряд вилетів з швидкістю = 580 м/с. З якою швидкістю відкотилася при цьому гармата ?

1.47.

Дано

= 600 м/с

= 580 м/с

= ?

Розв’язок.

Згідно з умовою, взаємодія тіл абсолютно непружна, а абсолютно непружною називається взаємодія двох тіл, в результаті якої тіла поєднуються і рухаються далі як єдине ціле, або розпадаються на тіла, які рухаються в різні боки. Якщо маси тіл і , їх швидкості після взаємодії (для снаряду) і (для гармати), то, використовуючи закон збереження енергії, можна знайти її повне значення, використовуючи перший постріл (=0 за умовою):

, (1)

тоді закон збереження енергії при другому пострілі буде мати вигляд:

, (2)

Після перетворень рівняння (2), отримаємо вираз

, (3)

Відношення мас гармати і снаряду визначаємо з формули закону збереження імпульсу під час другого пострілу:

. (4)

Зробимо підстановку відношення мас з виразу (4) у формулу (3)

, (5)

звідки отримаємо вираз для розрахунку швидкості, з якою відкотилася при другому пострілі гармата:

(6)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (6) і отримаємо відповідь:

Шар масою m₁ = 2 кг стикається з шаром більшої маси, який покоївся, і при цьому втрачає 40% кінетичної енергії. Визначити масу m₂ більшого шару. Удар вважати абсолютно пружним.

1.48.

Рис. 1.48

Дано

m₁= 2 кг

= 0

= ?

Розв’язок.

Для абсолютно пружного удару виконуються закон збереження імпульсу і закон збереження кінетичної енергії.

Позначимо швидкості шарів масами m₁ і m₂ після удару – через (рис. 1.48).

При вказаних припущеннях закони збереження мають вигляд:

. (1)

. (2)

Розв’язуючи цю систему рівнянь, одержимо

(3)

(4)

Згідно умови задачі, кінетична енергія меншого шару складатиме 60% від енергії до удару:

. (5)

Швидкість меншого шару після зіткнення з виразу (3) підставляємо у формулу (5) і отримаємо зв'язок між масами шарів:

. (6)

Звідки отримаємо вираз для розрахунку маси більшого шару:

= (7)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (7) і отримаємо відповідь:

Визначити роботу розтягнення двох зчеплених послідовно пружин з коефіцієнтами жорсткості k₁ = 400 Н/м та k₂ = 250 Н/м, якщо перша пружина при цьому розтяглася на L = 2 см.

1.49.

Дано

k₁ = 400 Н/м

k₂ = 250 Н/м

L = 2 см

= ?

Розв’язок.

Роботу розтягнення двох зчеплених послідовно пружин знайдемо як суму їхніх потенціальних енергій:

. (1)

Розтягнення другої пружини визначаємо з формули сили, що діє на послідовно з’єднанні пружини:

. (2)

Підставляємо розтягнення другої пружини з виразу (2) у формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

. (3)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

З шахти глибиною h = 600 м підіймають кліть масою m₁ = 3,0 т на канаті, кожний метр якого має масу m = 1,5 кг. Яка робота здійснюється при піднятті кліті на поверхню Землі? Який коефіцієнт корисної дії  підіймального пристрою?

1.50.

Дано

h = 600 м

m₁ = 3,0 т

m = 1,5 кг

= ? = ?

Розв’язок.

Роботу, яка здійснюється при піднятті кліті на поверхню Землі дорівнює зміні потенціальної енергії кліті та канату, що її підіймає (вважаємо, що центр ваги канату знаходиться на половині глибини шахти:

. (1)

Коефіцієнт корисної дії  підіймального пристрою дорівнює

. (2)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (1) та (2) і отримаємо відповіді:

= =

Пружина жорсткістю k = 500 Н/м стиснута силою F = 100 Н. Визначити роботу зовнішньої сили, що додатково стискає пружину ще на L = 2 см.

1.51.

Дано

k = 500 Н/м

F = 100 Н

L = 2 см

= ?

Розв’язок.

Повна робота, яка виконується змінною силою при деформації пружини визначається формулою

. (1)

Початкову деформацію пружини визначаємо з формули закону Гука:

. (2)

Початкову деформацію пружини з виразу (2) підставляємо в формулу (1) і отримаємо формулу для розрахунку роботи зовнішньої сили, що додатково стискає пружину:

. (3)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

У човні масою M = 240 кг стоїть людина масою m = 60 кг. Човен пливе з швидкістю = 2 м/с. Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямі з швидкістю = 4 м/с. Знайти швидкість човна після стрибка людини в сторону, протилежну руху човна.

1.52.

Дано

M = 240 кг

m = 60 кг

= 2 м/с

= 4 м/с

= ?

Розв’язок.

У випадку відсутності зовнішніх сил (для замкненої системи) маємо закон збереження імпульсу:

, тобто (1)

. (2)

З рівняння (2) отримаємо швидкість човна після стрибка людини в сторону, протилежну руху човна:

= (3)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

= ? =

З пружинного пістолета вистрілили пулькою, маса якої m = 5 г. Жорсткість пружини k = 1,25 кН/м. Пружина була стисла на L = 8 см. Визначити швидкість пульки при вильоті її з пістолета.

1.53.

Дано

m = 5 г

k = 1,25 кН/м

L = 8 см

= ?

Розв’язок.

Будемо вважати систему «пістолет + пулька» замкненою, тоді закон збереження енергії матиме вигляд:

. (1)

Звідки визначаємо швидкість пульки при вильоті її з пістолета:

. (2)

Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (2) і отримаємо відповідь:

Шар масою m₁ = 200 г, що рухався з швидкістю = 10 м/с, стикається з нерухомим шаром масою m₂ = 800 г. Визначити швидкості шарів після зіткнення. Удар абсолютно пружний.

1.54.

Рис. 1.54

Дано

m₁= 200 г

= 10 м/с

m₂= 800 г

= 0

= ? = ?

Розв’язок.

Для абсолютно пружного удару виконуються закон збереження імпульсу і закон збереження кінетичної енергії.

Позначимо швидкості кульок масами m₁ і m₂ після удару – через (рис. 1.54).

При вказаних припущеннях закони збереження мають вигляд:

. (1)

. (2)

Розв’язуючи цю систему рівнянь, одержимо

(3)

(4)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (3) та (4) і отримаємо відповідь:

= =

шар, що рухався горизонтально, зіткнувся з нерухомим шаром і передав йому 64 % своєї кінетичної енергії. шари абсолютно пружні, удар прямий, центральний. У скільки разів маса другого шару більше маси першого?

1.55.

Рис. 1.48

Дано

= 0

= ?

Розв’язок.

Для абсолютно пружного удару виконуються закон збереження імпульсу і закон збереження кінетичної енергії.

Позначимо швидкості шарів масами m₁ і m₂ після удару – через (рис. 1.48).

При вказаних припущеннях закони збереження мають вигляд:

. (1)

. (2)

Розв’язуючи цю систему рівнянь, одержимо

(3)

(4)

Згідно з умовою задачі, кінетична енергія другого шару складатиме 64% від енергії першого шару до удару, тоді енергія першого шару після удару складатиме 36% енергії першого до удару:

. (5)

Швидкість першого шару після зіткнення з виразу (3) підставляємо у формулу (5) і отримаємо відношення мас шарів:

Тіло ковзає по похилій площині, що складає з горизонтом кут = 45°. Залежність пройденого тілом шляху S від часу t дається рівнянням S = Ct², де С = 1,73 м/с². Знайти коефіцієнт тертя тіла об площину.

1.56.

Дано

= 45°

S = Ct²

С = 1,73 м/с²

= ?

Розв’язок.

Рис. 1.56

робимо малюнок.

З якого видно, що прискорення тіла дорівнює (згідно з другим законом Ньютона та визначенням прискорення):

, (1)

Значення граничної зовнішньої сила тертя ковзання визначається за формулою Амонтона – Кулона (та рис. 1.56):

, (2)

де - коефіцієнт тертя спокою; - сила нормального тиску.

Силу , яка скочує тіло з похилої площини, визначаємо з трикутника сил (див. рис. 1.56):

. (3)

Підставляємо значення сил з виразів (2) та (3) і виконавши диференціювання, отримаємо

, (4)

Звідки визначаємо коефіцієнт тертя тіла о площіну:

= . (5)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (5) і отримаємо відповідь:

Невагомий блок укріплений на кінці стола (див. рис. 1.57). Гирі 1 і 2 однакових мас m₁ = m₂ = l кг зчеплені ниткою і перекинені через блок. Коефіцієнт тертя гирі 2 об стіл k = 0,1. Знайти прискорення з яким рухаються гирі і силу натягу нитки Т. Тертям в блоці знехтувати.

1.57.

Дано

m₁ = m₂ = l кг

k = 0,1

= ? = ?

Розв’язок.

З формули другого закону Ньютона прискорення зв’язаних нерозтяжною ниткою тіл дорівнюватиме

. (1)

Значення граничної зовнішньої сила тертя ковзання визначається за формулою Амонтона – Кулона (та рис. 1.57):

, (2)

Підставляємо значення сили тертя з виразу (2) у формулу (1) і отримаємо вираз для визначення сили натягу:

Рис. 1.57.

. (3)

Прискорення руху тіл визначаємо з виразу (1):

. (4)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (3) та (4) і отримаємо відповіді:

= =

Яку треба здійснити роботу, щоб пружину жорсткістю k = 800 Н/м, стислу на = 6 см, ще стиснути на = 8 см?

1.58.

Дано

= 6 см

= 8 см

k = 800 Н/м

= ?

Розв’язок.

Повна робота, яка виконується змінною силою при деформації пружини визначається формулою

. (1)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (1) і отримаємо відповідь:

Якщо на верхній кінець вертикально розташованої спіральної пружини покласти вантаж, то пружина стиснеться на L = 3 мм. На скільки стисне пружину той же вантаж, якщо він впаде на цю пружину з висоти h = 8 см?

1.59.

Рис. 1.59

Дано

L = 3 мм

h = 8 см

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Шукана величина х деформації пружини визначає за формулою потенційну енергію тіла:

. (1)

Тому скористаємося законом збереження енергії. Так як на гирю діє сила тяжіння, розглянемо систему Земля - гиря - пружина. Оскільки при русі гирі та пружини стиску тертя практично не виникає, повна механічна енергія цієї ізольованою системи буде зберігатися.

Підрахуємо енергію системи в її початковому (I) і кінцевому (II) положеннях (рис. 1.59). Виберемо за нульовий рівень відліку висоти саме нижнє положення гирі, відповідне стислій пружині. В початковому стані енергія системи W₁ складається з потенційної і кінетичної енергії гирі:

, (2)

У кінцевому положенні у гирі не буде кінетичної енергії, зате стиснута пружина буде мати енергію пружної деформації. Тепер повна енергія системи згідно з формулою (4.12)

, (3)

де коефіцієнт пружності k, згідно з його визначенням, дорівнює

. (4)

Прирівнюючи за законом збереження енергії, праві частини виразів (2) і (3) з урахуванням співвідношення (4), отримаємо після простих перетворень квадратне рівняння щодо х:

. (5)

Вирішивши рівняння, знайдемо

. (6)

Негативний корінь рівняння має бути відкинуто: х < 0 означає розтягання пружини, тоді як насправді вона стискається.

Якщо виразити величини, що входять у формулу (6), в одиницях СІ, підставити їх числові значення і виконати обчислення, то отримаємо:

Невагомий блок закріплений на вершині похилої площини складає з горизонтом кут  = 30° (див. рис. 1.2). Гирі 1 і 2 однакової маси m₁ = m₂ = l кг зчеплені ниткою, що перекинута через блок. Знайти прискорення з яким рухаються гирі і силу натягу нитки Т. Тертям гирі 2 об похилу площину знехтувати.

1.60.

Дано

 = 30°

m₁ = m₂ = l кг

= ? = ?

Розв’язок.

Рис. 1.60.

З формули другого закону Ньютона прискорення зв’язаних нерозтяжною ниткою тіл дорівнюватиме

. (1)

З рис. 1.60 визначаємо силу

. (2)

Підставляємо значення сили з виразу (2) у формулу (1) і отримаємо вираз для визначення прискорення:

. (3)

Силу натягу нитки Т визначаємо з формули другого закону Ньютона, записаного для кожного тіла окремо:

. (4)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (3) та (4) і отримаємо відповіді:

= =

Розв’язати попередню задачу при умові, що коефіцієнт тертя гирі 2 об похилу площину k = 0,1.

1.61.

Дано

 = 30°

m₁ = m₂ = l кг

k = 0,1

= ? = ?

Розв’язок.

Рис. 1.61.

З формули другого закону Ньютона прискорення зв’язаних нерозтяжною ниткою тіл дорівнюватиме

. (1)

З рис. 1.61 визначаємо силу

, (2)

та силу тертя

. (3)

Підставляємо значення сил з виразів (2) та (3) у формулу (1) і отримаємо вираз для визначення прискорення:

. (4)

Силу натягу нитки Т визначаємо з формули другого закону Ньютона, записаного для кожного тіла окремо:

. (5)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (4) та (5) і отримаємо відповіді:

= =

З пістолета з пружиною жорсткістю k = 150 Н/м був зроблений постріл кулею масою m = 8 г. Визначити швидкість кулі при вильоті її з пістолета, якщо пружина була стисла на = 4 см.

1.62.

Дано

m = 8 г

k = 150 Н/м

= 4 см

= ?

Розв’язок.

Будемо вважати систему «пістолет + пулька» замкненою, тоді закон збереження енергії матиме вигляд:

. (1)

Звідки визначаємо швидкість пульки при вильоті її з пістолета:

. (2)

Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (2) і отримаємо відповідь:

Рис. 1.63.

Дві гирі з масами m₁ = 2 кг і m₂ = 1 кг зчеплені ниткою і перекинені через невагомий блок. Знайти прискорення з яким рухаються гирі і силу натягу нитки Т. Тертям у блоці знехтувати.

1.63.

Дано

m₁ = 2 кг

m₂ = l кг

= ? = ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

З формули другого закону Ньютона прискорення зв’язаних нерозтяжною ниткою тіл дорівнюватиме

. (1)

Силу натягу нитки Т визначаємо з формули другого закону Ньютона, записаного для кожного тіла окремо:

. (2)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (1) та (2) і отримаємо відповіді:

= =

Налетівши на пружинний буфер вагон масою m = 16 т, що рухався з швидкістю = 0,6 м/с, зупинився, стиснувши пружину на L = 8 см. Знайти загальну жорсткість k пружин буфера.

1.64.

Дано

m = 16 т

= 0,6 м/с

= 8 см

= ?

Розв’язок.

Вважаємо що кінетична енергія вагону повністю піде на деформацію двох пружин буфера, тобто можемо записати

. (1)

Звідки визначаємо загальну жорсткість k пружин буфера:

= (2)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вираз (1) і отримаємо відповідь:

Я
166
ка робота повинна бути звершена при піднятті із землі матеріалів для спорудження циліндричної димохідної труби висотою h = 40 м, зовнішнім діаметром D = 3 м і внутрішнім діаметром d = 2 м? Густину матеріалу прийняти рівною = 2,8 10³ кг/м³.

1.65.

Дано

h = 40 м

D = 3 м

d = 2 м

= 2,8 10³ кг/м³

= ?

Розв’язок 1.

Рис. 1.65

робимо малюнок.

При змінній силі, тобто , переміщення розбивають на елементарні переміщення такої величини, щоб в межах цього переміщення силу можна було вважати сталою. Тоді елементарна робота сили на переміщенні буде

. (1)

Повна робота, яка виконується змінною силою при переміщенні точки з положення 1 в положення 2,

. (2)

Після інтегрування отримаємо вираз

. (3)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

Розв’язок 2

Робота, яка повинна бути звершена при піднятті із землі матеріалів для спорудження циліндричної димохідної труби висотою h дорівнює зміні потенціальної енергії матеріалів. Вважаючи, що потенціальна енергія матеріалів в початковий момент часу дорівнювала нулю, а в кінцевий момент вона дорівнює потенціальній енергії центру ваги труби, то можна записати таку рівність:

. (1)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (1) і отримаємо відповідь:

На двох паралельних пружинах однакової довжини висить невагомий стержень довжиною L = 10 см. Жорсткість пружин k₁ = 2 Н/м і k₂ = 3 Н/м. У якому місці стержня, відраховуючи від першої пружини, треба підвісити вантаж, щоб стержень залишався горизонтальним?

Рис. 1.66

1.66.

Дано

L = 10 см

k₁ = 2 Н/м

k₂ = 3 Н/м

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Запишемо рівність моментів сил, які обертають стержень навколо точок А та В по та проти годинникової стрілки:

(1)

Де сили пружності визначаємо зо формулою закону Гука:

(2)

Знайдемо відношення другого рівняння до першого і отримаємо рівняння

. (3)

З рівняння (3) отримаємо вираз для розрахунку відстані від першої пружини до місця, де підвісили вантаж:

. (4)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:

Гиря масою m = 0,5 кг, що прив'язана до гумового шнура довжиною L₀, описує в горизонтальній площині коло. Частота обертання гирі = 2 об/с. Кут відхилення гумового шнура від вертикалі  = 30°. Жорсткість шнура k = 0,6 кН/м. Знайти довжину L₀ нерозтягнутого гумового шнура.

1.67.

Розв’язок.

Дано

m = 0,5 кг

= 2 об/с

 = 30°

k = 0,6 кН/м

= ?

робимо малюнок.

При обертанні гирі шнур видовжується на величину

. (1)

Тоді сила натягу шнура дорівнюватиме

. (2)

З трикутника сил можна визначити :

. (3)

Нову довжину шнура визначаємо з виразу синусу кута:

. (4)

Звідки довжина дорівнюватиме

. (5)

Підставляємо з виразу (5) у вираз (3)

. (6)

З рівняння (6) визначаємо шукану величину:

= (7)

Рис. 1.67

Дані умови задачі підставляємо в вираз (1) і отримаємо відповідь:

Вантаж масою m = 0,5 кг, прив'язаний до гумового шнура довжиною L₀ = 9,5 см, відхиляють на кут  = 90° і відпускають. Знайти довжину L гумового шнура в момент проходження вантажем положення рівноваги. Жорсткість шнура k = 1 кН/м.

1.68.

Дано

m = 0,5 кг

L₀ = 9,5 см

 = 90°

k = 1 кН/м

= ?

Розв’язок.

Рис. 1.68

Зробимо малюнок.

Під час проходження вантажем положення рівноваги шнур розтягнеться на виличну

. (1)

Тоді сила натягу шнура дорівнюватиме

. (2)

Різниця сил натягу і тяжіння дорівнює доцентровій силі:

. (3)

Швидкість, з якою вантаж проходить положення рівноваги визначимо з закону збереження енергії:

. (4)

Підставляємо добуток квадрату швидкості на масу з рівняння (4) в вираз (3) і отримаємо квадратне рівняння

. (5)

Розв’язуємо отримане рівняння (5) відносно абсолютного видовження гумового шнура:

= (6)

Підставляємо значення з виразу (6) у формулу (1) і отримаємо довжину L гумового шнура в момент проходження вантажем положення рівноваги:

Яка робота буде звершена силами гравітаційного поля при падінні на Землю тіла масою m = 2 кг з висоти h = 1000 км.

1.69.

Дано

m = 2 кг

h = 1000 км

= ?

Рис. 1.69

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

(1)

Повна робота, яка виконується змінною силою при переміщенні точки з положення 1 в положення 2,

. (2)

Закон всесвітнього тяжіння у скалярній формі має вигляд

, (3)

де — маси матеріальних точок; — відстань між ними; = 6,67∙10^-11 Нм²/кг² — гравітаційна стала.

. (4)

Після інтегрування отримаємо вираз для розрахунку роботи, яка буде звершена силами гравітаційного поля при падінні на Землю тіла:

= (5)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вираз (5) і отримаємо відповідь:

З нескінченності на поверхню Землі падає метеорит масою m = 30 кг. Визначити роботу, яка при цьому буде виконана силами гравітаційного поля Землі.

1.70.

Дано

m = 30 кг

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Рис. 1.70

(1)

Повна робота, яка виконується змінною силою при переміщенні точки з положення 1 в положення 2,

. (2)

Закон всесвітнього тяжіння у скалярній формі має вигляд

, (3)

де — маси матеріальних точок (одна з них є масою Землі); — відстань між ними; = 6,67∙10^-11 Нм²/кг² — гравітаційна стала.

. (4)

= (5)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вираз (5) і отримаємо відповідь:

По круговій орбіті навколо Землі обертається супутник з періодом Т = 90 хв. Визначити на якій висоті літає супутник.

Рис. 1.71

.71.

Дано

Т = 90 хв

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Вважаємо, що супутник обертається по коловій орбіті радіуса , а доцентровою силою є сила тяжіння:

, (1)

де - прискорення вільного падіння на поверхні Землі.

З розв’язку рівняння отримуємо вираз для розрахунку висоти:

. (2)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вираз (2) і отримаємо відповідь:

На якій відстані від центра Землі знаходиться точка, в якій напруженість сумарного гравітаційного поля Землі і Місяця рівна нулю? Прийняти, що маса Землі в 81 раз більше маси Місяця і що відстань від центра Землі до центра Місяця дорівнює 60 радіусам Землі.

1.72.

Дано

км

= ?

Розв’язок.

Рис. 1.72

Зробимо малюнок.

Напруженість гравітаційного поля, яке створене тілом масою , дорівнює

, (1)

де - маса пробного тіла.

Запишемо формулу прискорення для точки простору де виконується умова :

. (2)

З формули (2) отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

. (3)

Підставляємо в формулу (3) дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) і отримаємо відповідь:

Супутник обертається навколо Землі по круговій орбіті на висоті h = 520 км. Визначити період обертання супутника.

1.73.

Рис. 1.73

Дано

h = 520 км

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Вважаємо, що супутник обертається по коловій орбіті радіуса , а доцентровою силою є сила тяжіння:

, (1)

де - прискорення вільного падіння на поверхні Землі; = 6400 км – середнє значення радіуса Землі.

З розв’язку рівняння (1) отримуємо вираз для розрахунку періоду обертання супутника:

= (2)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вираз (2) і отримаємо відповідь:

Визначити лінійну і кутову швидкості супутника Землі, що обертається по круговій орбіті на висоті h =1000 км.

1.74.

Рис. 1.74

Дано

h = 1000 км

= ? = ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Вважаємо, що супутник обертається по коловій орбіті радіуса , а доцентровою силою є сила тяжіння:

, (1)

де - прискорення вільного падіння на поверхні Землі; = 6400 км – середнє значення радіуса Землі.

Лінійна і кутова швидкості пов’язані рівнянням:

. (2)

З розв’язку рівняння (1) отримуємо вираз для розрахунку кутової швидкості обертання супутника:

= (3)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вираз (3) і отримаємо кутову швидкість обертання супутника:

Значення кутової швидкості обертання супутника підставляємо в вираз (2) і отримаємо ще одну відповідь:

У скільки разів середня густина земної речовини відрізняється від густини місячної? Прийняти, що радіус Землі у 3,9 рази більше радіуса Місяця і вага тіла на Місяці в 6 раз менша ваги тіла на Землі.

1.75.

Дано

= 3,9

= 6

= ?

Розв’язок.

Записуємо рівняння середньої густини тіл, вважаючи їхню форму кулеподібною, і знаходимо їхнє відношення:

, (1)

де , , - густина, маса та об’єм відповідно Землі та Місяця.

З формули зв’язку маси тіла з його вагою на Землі та Місяці, отримаємо відношення прискорень вільного падіння тіл на їхніх поверхнях:

. (2)

Використовуємо формулу напруженості гравітаційного поля, яке створюється точковою масою (в нашому випадку кулями поза їхньої поверхні), для визначення зв’язку між масами Землі та Місяця з прискоренням сили тяжіння на їхніх поверхнях:

. (3)

З відношення рівнянь (1) та (3) отримаємо

. (4)

А використавши відношення прискорень сили тяжіння на їхніх поверхнях з рівняння (2) отримаємо у скільки разів середня густина земної речовини відрізняється від густини місячної:

= (5)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (5) і отримаємо відповідь:

Штучний супутник обертається навколо Землі по круговій орбіті на висоті = 3200 км над поверхнею Землі. Визначити лінійну швидкість супутника.

1.76.

Рис. 1.76

Дано

h = 3200 км

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Вважаємо, що супутник обертається по коловій орбіті радіуса , а доцентровою силою є сила тяжіння:

, (1)

де - прискорення вільного падіння на поверхні Землі; = 6400 км – середнє значення радіуса Землі.

Лінійна і кутова швидкості пов’язані рівнянням:

. (2)

З розв’язку рівняння (1) отримуємо вираз для розрахунку кутової швидкості обертання супутника:

= (3)

Значення кутової швидкості обертання супутника підставляємо в вираз (2) і отримаємо відповідь:

До обода колеса радіусом R = 0,5 м і масою m = 50 кг прикладена дотична сила F = 98,1 Н. Знайти кутове прискорення колеса. Через який час t після початку дії сили, колесо буде мати частоту обертання = 100 об/с ? Колесо вважати однорідним диском.