Книжка. Математические бои 2014

11

41.В равнобочной трапеции провели диагонали и высоты из вершин верхнего основания (см. рисунок). Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна площади заштрихованного пятиугольника.

42.Высоты треугольника равны соответственно 3, 4 и 5. Какой это треугольник: прямоугольный, остроугольный или тупоугольный?

43.Дан треугольник ABC , площадь которого равна 1.

44. В треугольнике АВС с углом В, равным 120°, проведены биссектрисы АА1, ВВ1 и СС1. Найдите угол А1В1С1.

СТЕРЕОМЕТРИЯ

45.Пусть SABC – правильный тетраэдр, точка О – середина его высоты SD. Докажите, что прямые АО, ВО, СО попарно перпендикулярны.

46.Докажите, что внутри куба с ребром 1 можно разме-

стить два правильных тетраэдра с ребром 1.

12

РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ

65 a b делится на взаимно простое с 65 число 121, поэтому

a b также делится на 121, значит, не может быть простым.

2. Очевидно, что x1 x2 x3 0 – решение. При этом все

три неизвестные обращаются в нуль только одновременно. Если неизвестные отличны от нуля, то можно рассмотреть систему

сти, то число справа – нечетное, если – одинаковой, то число справа делится на 4. В обоих случаях – противоречие. Решений в целых числах нет. Ответ: решений нет.

13

5. Имеем

7. Замечая, что числа 31 и 17 находятся рядом со степеня-

8. Если a + b делится на 3, то a + 7b = (a + b) + 6b делится на 3, значит, a + 7b – не простое. Поэтому третье или четвертое утверждение ложно, и, следовательно, первые два истинны. Тогда a + b = 2b + 5 + b = 3b + 5 не делится на 3, значит, третье утверждение ложно, и, следовательно, a + 1 = 2b + 6 делится на b. Получаем, что b может быть 1, 2, 3 или 6. Соответственные значения a вычисляются по формуле: a = 2b + 5, получаем 7, 9, 11 или 17. Ответ получаем, выполнив отбор пар по четвертому условию. Ответ: (9,2), (17,6).

14

9. Разложив на множители

11. Условимся записывать любое число от 0 до 9999999 семью цифрами, приписывая спереди, если потребуется, нужное количество нулей. Количество чисел, в записи которых нет

встречается единица.

12. Первая цифра не превосходит двух. А так как она будет последней цифрой при умножении на 4, то она четная, значит, равна 2. Последняя цифра не меньше 8, так как она является первой цифрой в произведении. А так как произведение ее на 4 оканчивается на 2, то эта цифра 8. Вторая цифра при умножении на 4 не дает переноса в следующий разряд, значит, она меньше 2 (2 уже есть). Эта цифра нечетная, так как она должна быть нечетной в разряде десятков произведения из-за переноса 3 из раз-

15

ряда единиц. Значит, вторая цифра 1. Теперь легко находим третью цифру, равную 7, и искомое число 2178.

13. Пусть тройка (x, y, z) является решением. Тогда хотя бы одно из чисел этой тройки больше 1, так как иначе второе уравнение не выполнится. Пусть х > 1, тогда y < 1, z < 1. Если х < 2, то х2 < 2х. А так как y3 y2 2y2, z4 z3 2y3, то x2 + y3 + z4 < 2(x + y2 + z3) = 4, и второе уравнение не выполняется. Значит, х = 2,

этом x + z3 < 1, значит, x2 + z4 x + z3 < 1, и x2 + y3 + z4 < 3 + 1 = 4.

Второе уравнение не выполняется. Аналогично опровергается z > 1. Значит, (2; 0; 0) – единственное решение.

Ответ: 18.

19. Выполняем преобразования:

(sin2x + cos2x)(sin4x – sin2x cos2x + cos4x) = cos42x; (sin4x + 2sin2x cos2x + cos4x) – 3sin2x cos2x = cos42x;

(sin2x + cos2x)2 – (3/4)sin22x = cos42x;

1 – (3/4)(1 – cos22x) = cos42x; 1 + 3cos22x = 4cos42x.

Получившееся уравнение сводится к квадратному. Оно имеет допустимые решения cos2x = ±1, откуда x = n/2, n Z.

20. По теореме Виета x1 + x2 = –b/a, x1 x2 = c/a. Пусть y1 =

x12, y2 = x22. Тогда y1 + y2 = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1 x2 = (b/a)2 –

2c/a; y1 y2 = (x1 x2) 2 = (c/a) 2. Отсюда искомое уравнение

21.В любой момент каждая из n команд может сыграть 0, 1, 2, …n–1 матчей (n вариантов). Однако, не может быть двух команд, сыгравших 0 и n–1 матч (если они между собой не играли, то не может быть n–1, а если играли, то не может быть 0. Поэтому, вариантов остаётся не более n–1, значит, какие-то 2 команды сыграли одинаковое число матчей (принцип Дирихле).

Ответ: верно.

22.Рассмотрим квадрат 2 2 в левом верхнем углу, изначально он содержит 1 чёрную клетку. При каждом «перекрашивании» число чёрных клеток в нём меняется на чётное число,

поэтому никогда не может стать равным 0. Ответ: нельзя.

20

отношение скоростей равно отношению пройденных расстояний за равные промежутки времени.

(1 – х) км. Все расстояние, пройденное посыльным – (2х + 2,4) км, колонной – 2,4 км. Приравняв соответствующие отношения, получаем уравнение

Решив это уравнение и отбросив лишний корень, получаем

х= 0,6. Значит, посыльный прошел 3,6 км. Ответ: 3,6 км.

30.Если среди богатырей есть тертые, то самый лёгкий из них на первый вопрос должен был ответить «Да». Значит, все богатыри наивные, и самый легкий из них на второй вопрос ответит «Нет».

31.Проводим вычисления, пользуясь заданными тожде-

ствами:

2014 14 = (2014 14 + 14) – 14 = (2014 (14 14)) – 14 = 2014 0 – 14 =

=(2014 (2014 2014)) – 14 = (2014 2014) + 2014)) – 14 = 0

+2014 – 14 = 2000.

32.Нельзя. Сумма стираемых чисел имеет ту же четность, что и сумма написанных вместо них. Поэтому сумма всех чисел всегда имеет одну и ту же четность. А так как сумма исходных чисел нечетная, то набор из одних нулей получиться не может.

33.Если цветов больше 5, то найдется цвет, в 2 1 3