MuratovSamoylenko

(ii) Пусть A; B 2 B(V) и f(z) функция, определенная на спектрах

T

операторов A и B. Если операторы A и B подобны и A B; то операторы f(A) и f(B) тоже подобны и

T

f(A) f(B):

(iii)Если оператор A имеет в некотором базисе квазидиагональную матрицу

A= A1 Ak;

èf(z) функция, определенная на спектре оператора A, то

f(A) = f(A1) f(Ak):

Доказательство. (i). Пусть A 2 B(V), (A) = f 1; : : : ; sg и f(z) функция, определенная на (A). В силу теоремы 5.2.3, для любого многочлена p(z) 2 P[C] имеет место равенство:

(p(A)) = fp( ) : 2 (A)g:

Так как f(A) = r(A), где r(z) интерполяционный многочлен Лагранжа-

Сильвестра, то

f( k) = r( k); k = 1; : : : ; s

и потому

(f(A)) = (r(A)) = fr( 1); : : : ; r( s)g = ff( 1); : : : ; f( s)g:

(ii). Так как операторы A и B подобны, то они имеют одинаковые ми-

нимальные многочлены:

QA(z) = QB(z):

Поэтому функция f(z) принимает одни и те же значения на спектрах операторов A и B. Следовательно, существует такой интерполяционный многочлен Лагранжа Сильвестра r(z), что

f(A) = r(A); f(B) = r(B):

141

Поэтому

f(B) = r(B) = T 1r(A)T = T 1f(A)T;

т.е. операторы f(A) и f(B) подобны и

T

f(A) f(B):

(iii). Пусть в некотором базисе

A= A1 Ak;

èf(z) функция, определенная на спектре оператора A. Если r(z) интерполяционный многочлен Лагранжа Сильвестра для функции f(z) на спектре оператора A, то

f(A) = r(A) = r(A1) r(Ak):

С другой стороны, минимальный многочлен QA(z) является аннулирующим многочленом для каждого оператора A1, . . . , Ak. Поэтому из равен- ñòâà

f( (A)) = r( (A))

следует, что

f( (A1)) = r( (A1)); : : : ; f( (Ak)) = r( (Ak)):

Поэтому

f(A1) = r(A1); : : : ; f(Ak) = r(Ak)

è

f(A) = r(A) = f(A1) f(Ak):

Непосредственно из теорем 6.5.1 и 6.7.9 получается важное следствие.

Следствие 6.7.10. Пусть оператор A 2 B(V) имеет k различных собственных значений:

(A) = f 1; : : : ; kg

и f(z) функция, определенная на спектре оператора A. Если

T

A J(A)

142

è

Упражнение 6.7.11. Проверьте следующие свойства.

Доказать, что det(eA) = etr A.

Доказать, что если [A; B] = AB BA = 0, то eA+B = eAeB.

Исследуем вид интерполяционного многочлена Лагранжа Сильвестра r(z) в зависимости от структуры спектра оператора A. Считаем как и

выше, что минимальный многочлен оператора A имеет вид:

QA(z) = (z) = (z 1)m1 : : : (z s)ms

и его степень равна

m1 + + ms = m 6 n = dim V:

Случай 1. Характеристический многочлен PA(z) не имеет кратных корней. В этом случае оператор A имеет n различных собственных значений:

(A) = f 1; : : : ; ng:

143

Тогда m = n, m1 = = mn = 1,

QA(z) = (z 1) : : : (z n);

è

r( k) = f( k); k = 1; : : : ; n:

Следовательно, r(z) совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа для функции f(z) в точках 1, . . . , n:

Случай 2. Характеристический многочлен PA(z) имеет кратные корни, но минимальный многочлен не имеет кратных корней . Пусть оператор

A имеет m различных собственных значений:

(A) = f 1; : : : ; mg;

минимальный многочлен имеет вид

QA(z) = (z 1) : : : (z m);

è

r( k) = f( k); k = 1; : : : ; m:

Следовательно, r(z) и в этом случае совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа для функции f(z) в точках 1, . . . , m:

144

Случай 3. Общий случай. Пусть характеристический многочлен оператора A имеет вид:

PA(z) = ( 1)n(z 1)k1 : : : (z s)ks;

ãäå 1; : : : ; s попарно различные собственные значения, кратности которых равны k1, . . . , ks è

k1 + + ks = n = dim V;

а минимальный многочлен имеет вид:

QA(z) = (z) = (z 1)m1 : : : (z s)ms ; m1 + + ms = m 6 n = dim V:

k = 1, . . . , s, где функция Rk(z) определена в точке z = k. Подставляя в обе части равенства (6.4) z = k, получим:

h r(z) i

k1 = ; k = 1; : : : ; s:

k(z) z= k

Дифференцируя равенство (6.4) последовательно и подставляя в обе части полученных равенств z = k, получим

Коэффициенты k;j, j = 1, . . . , mk, k = 1, . . . , s выражаются через значения многочлена r(z) на спектре оператора A, которые совпадают с

145

соответствующими значениями функции f(z) и ее производных. Поэтому

ès

146

Литература

[1]Р. Белман. Введение в теорию матриц Москва: Наука, 1969. 368 c.

[2]В. В. Воеводин. Линейная алгебра Москва: Наука, 1974. 336 с.

[3]Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц Москва: Наука, 1966. 576 с.

[4]И. М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре Москва: Наука, 1966. 280 с.

[5]И. M. Глазман, Ю. И. Любич. Конечномерный линейный анализ Москва: Наука, 1969. 476 с.

[6]Л. И. Головина. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. Москва: Наука, 1979. 392 с.

[7]А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Москва: Наука, 1977. 495 с.

[8]М. Ф. Кравчук, Я. С. Гольдбаум. Про групи комутативних матриць. Тр. KAI, т. 5, 1936, с. 12-23.

[9]П. Ланкастер. Теория матриц Москва: Наука, 1978. 280 c.

[10]А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры Москва: Наука, 1975. 400 с.

[11]В. С. Мазорчук. Жорданова нормальна форма Киев: РВЦ Ки¨вський унiверситет , 1998. 119 c.

[12]В. В. Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры Москва, 2008. 536 с.

[13]Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре Москва: Наука, 1984. 416 с.

[14]П. Р. Халмош. Гильбертово пространство в задачах Москва: Мир, 1970. 352 с.

[15] П. Р. Халмош. Конечномерные векторные пространства Москва: Физматгиз, 1963. 264 с.

[16] Р. Хорн, Ч. Джонс. Матричный анализ Москва: Мир, 1989. 656 с.

147

[17]В. С. Чарин. Линейные преобразоваия и выпуклые можества Киев: Вища школа, 1978. 192 с.

[18]Г. Е. Шилов. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства Москва: Наука, 1969. 432 с.

148

Предметный указатель

149

150