MuratovSamoylenko

Пример 6.5.6. Рассмотрим матрицы Жордана некоторых операторов.

Пусть P идемпотент: P 2 = P . Тогда его матрица Жордана J(P ) диагональная. Действительно, так как P 2 = P , то в силу следствия

5.2.4,

(P ) f0; 1g:

Предположим сначала, что в разложении матрицы J(P ) содержится клетка Жордана Jr(0), где r > 2. Тогда

что противоречит условию P 2 = P .

Пусть теперь в разложении матрицы J(P ) содержится клетка Жордана Jr(1), где r > 2. Тогда

Пусть S инволюция: S2 = I. Покажем, что J(S) диагональная. Действительно, так как S2 = I, то в силу следствия 5.2.4,

(P ) f1; 1g:

Предположим сначала, что в разложении матрицы J(S) содержится клетка Жордана Jr( 1), где r > 2. Тогда

121

что противоречит условию S2 = I.

Пусть теперь разложение матрицы J(S) содержит клетку Жордана

Jr(1), где r > 2. Тогда аналогично Jr(1)2 6= Ir, что также противоре- чит условию S2 = I. Следовательно, матрица J(S) диагональная.

Упражнение 6.5.7. Клетки Жордана Jn( 1) è Jn( 2) подобны тогда и только тогда, когда 1 = 2.

Следующее утверждение показывает, что с точностью до преобразования подобия оператор A определяется своей матрицей Жордана одно-

значно. Напомним, что подобные операторы имеют одинаковые следы, характеристические многочлены, собственные значения, геометрические кратности собственных значений.

Утверждение 6.5.8. Два оператора A и B подобны тогда и только тогда, когда их матрицы Жордана J(A) и J(B) равны с точностью до перестановки клеток Жордана.

Доказательство. Необходимость. Пусть операторы A и B подобны. Тогда существует обратимый оператор S, что

B = S 1AS:

Тогда в любом базисе B векторного пространства V

[B] = [S] 1[A][S]:

Åñëè [C1] è [C2] матрицы перехода базиса B к базисам Жордана операторов A и B, то

J(A) = [C1] 1[A][C1]; J(B) = [C2] 1[B][C2]:

Следовательно,

J(B) = [C2] 1[S] 1[A][S][C2] = [C2] 1[S] 1[C1]J(A)[C1] 1[S][C2] =

= [C] 1J(A)[C];

ãäå [C] = [C1] 1[S][C2], т.е. матрицы J(A) и J(B) подобны. Докажем, что J(A) и J(B) имеют одни и те же наборы жордановых клеток. Так как для

подобных операторов собственные значения с учетом кратностей совпадают, то достаточно убедится в совпадении жордановых клеток (с учетом кратности) для одноточечных операторов. Таким образом, без ограниче- ния общности, можно считать, что операторы A и B одноточечные, т.е.

122

каждый из них имеет только одно собственное значение . Так как число жордановых клеток, отвечающих этому собственному значению , совпадает с его геометрической кратностью, а операторы A и B подобны, то матрицы J(A) и J(B) имеют одно и то же число жордановых клеток. Пусть клетки расположены так, что их порядки не возрастают:

J(A) = Jn1 ( ) Jnk ( ); n1 > n2 > > nk;

J(B) = Jm1 ( ) Jmk ( ); m1 > m2 > > mk; n1 + + nk = m1 + + mk = n:

Åñëè n1 = m1, òî Jn1 ( ) = Jm1 ( ). Тогда можно перейти к матрицам

J1(A) = Jn2 ( ) Jnk ( );

J1(B) = Jm2 ( ) Jmk ( ):

Сравнивая последовательно n2 ñ m2, n3 ñ m3 и т.д., мы получим, что все соответствующие пары клеток Жордана равны, либо встретим первую пару клеток разного порядка.

Будем считать, что n1 > m1. Òàê êàê n1 > > nk, m1 > > mk, òî

(J(B) I)m1 = 0;

íî

(J(A) I)m1 6= 0;

Òàê êàê

J(B) = [C] 1J(A)[C];

òî

J(A) I = [C](J(B) I)[C] 1

Следовательно,

(J(A) I)m1 = [C](J(A) I)m1 [C] 1 = [C]0[C] 1 = 0;

вопреки предположению. Следовательно, nj = mj для любого j = 1, . . . , k и потому J(A) = J(B).

Достаточность. Допустим, что J(A) = J(B). Так как матрицы операторов A и B в соответствующих базисах Жордана равны, то эти операторы подобны.

Замечание 6.5.9. Доказанное утверждение дает основания называть форму Жордана оператора нормальной или канонической формой.

123

6.6Матрицы, коммутирующие с данной

Выясним, как устроены все матрицы X, коммутирующие с данной матрицей A:

AX = XA:

Мы рассмотрим более общее матричное уравнение

AX = XB;

где A и B квадратные матрицы разных размеров: A 2 Mm(C), B 2 Mn(C), а X прямоугольная матрица размерности m n, X 2 Mm;n(C), так как решить это матричное уравнение не сложнее, чем уравнение AX =

XA. Пусть J(A) и J(B) жордановы формы матриц A и B, C и S соответствующие невырожденные матрицы:

A = C 1J(A)C; B = S 1J(B)S:

Тогда

(CAC 1)(CXS 1) = C(AX)S 1 = C(XB)S 1 = (CXS 1)(SBS 1);

т.е. данное матричное уравнение сводится к уравнению

J(A)X0 = X0J(B);

ãäå X0 = CXS 1. Поэтому, без ограничения общности, можно считать, что матрицы A и B уже имеют вид Жордана:

A = J(A) = A1 Ap; B = J(B) = B1 Bq;

A1, . . . , Ap è B1, . . . , Bq соответствующие клетки Жордана.

Разобьем строки матрицы X на p блоков в соответствии с разбиением матрицы A, а столбцы матрицы X разобьем на q блоков в соответствии с разбиением матрицы B:

Тогда

124

Таким образом, матричное уравнение AX = XB равносильно системе

уравнений

AiXij = XijBj; i = 1; : : : ; p; j = 1; : : : ; q;

ãäå Ai è Bj клетки Жордана.

Теорема 6.6.1. Пусть A = Jm( ), B = Jn( ) и матрица X удовлетворяет матричному уравнению

AX = XB:

Тогда

(i)Åñëè 6= , òî X = 0;

(ii)Åñëè = , òî

8

две нильпотентные матрицы порядка m и n соответственно. Тогда

A = Jm( ) = Im + Nm; B = Jn( ) = In + Nn

è

( Im + Nm)X = X( In + Nn):

125

Следовательно,

NmX XNn = ( )X:

Получили систему

x21 = ( )x11; x22 x11 = ( )x12;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

x2n x1;n 1 = ( )x1n;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

xm;1 = ( )xm 1;1; xm;2 xm 1;1 = ( )xm 1;2;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

xm;n xm 1;n 1 = ( )xm 1;n;

126

0 = ( )xm;1;

xm;1 = ( )xm;2;xm;2 = ( )xm;3;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

xm;n 1 = ( )xm;n:

(i). Если 6= , то последовательно имеем:

x1;n m+1 = x2;n m+2 = = xm;n = y1:

127

Все остальные матричные элементы равны нулю. Следовательно, в этом случае матрица X имеет вид:

x11 = x22 = = xn;n = y1;

x12 = x23 = = xn;n 1 = y2;

: : : : : : : : : : : :

x1;n = yn:

Все остальные матричные элементы равны нулю. Следовательно, в этом случае матрица X имеет вид:

Y

X = 0 ;

ãäå Y 2 Tn(C).

(ii.3). Åñëè m = n, òî X = Y 2 Tn(C).

Ïðè A = B = Jn( ) имеет место следующее следствие.

Следствие 6.6.2. Если оператор X 2 B(V) коммутирует с оператором

A = Jn( ), то его матрица в Жордановом базисе оператора A имеет верхнетреугольный вид

BC

@.. x2A

0x1

ò.å. [X] 2 Tn(C), ãäå Tn(C) алгебра верхнетреугольных т¼плицевых матриц.

128

Упражнение 6.6.3. Для любого многочлена p(z) матрица p(Jn( )) принадлежит алгебре Tn(C).

Опишем множество операторов X 2 B(V), коммутирующих с оператором A = Jm( ) Jn( ). Рассмотрим случаи

(m; ) = (n; );

m 6= n; = ;

m = n; 6= ;

m 6= n; 6= .

Случай 1. Пусть (m; ) = (n; ), т. е.

с соответствующим разбиением на блоки. Так как AX = XA, то мы имеем следующую систему:

Jm( )X11 = X11Jm( );

Jm( )X12 = X12Jm( );

Jm( )X21 = X21Jm( );

Jm( )X22 = X22Jm( ):

В силу следствия 6.6.2, Xij 2 Tm(C) и поэтому оператор X в жордановом базисе оператора A имеет вид

Случай 2. Пусть m 6= n, = , т. е.

129

с соответствующим разбиением на блоки. Так как AX = XA, то мы имеем следующую систему:

Jm( )X11 = X11Jm( );

Jm( )X12 = X12Jn( );

Jn( )X21 = X21Jm( );

Jn( )X22 = X22Jn( ):

В силу следствия 6.6.2, X11 = T11 2 Tm(C) è X22 = T22 2 Tn(C). Структура X12 è X21 зависит от соотношения между m и n.

2.1). Пусть m > n. Так как Jm( )X12 = X12Jn( ), òî

Поэтому оператор X в жордановом базисе оператора A имеет вид

01

ãäå T11 2 Tm(C), T12; T21; T22 2 Tn(C).

130