MuratovSamoylenko

Определение 4.2.1. Вектор x 2 V, x 6= 0, удовлетворяющий соотношению

для некоторого 2 C, называется собственным вектором, а соответствующее значение собственным значением или характеристическим числом линейного оператора A 2 B(V).

Замечание 4.2.2. Если x собственный вектор оператора A 2 B(V), то

N = f x; 2 Cg

является одномерным инвариантным относительно A подпространством.

Обратно, все отличные от нуля векторы одномерного инвариантного относительно A подпространства являются собственными векторами опера-

òîðà A.

Теорема 4.2.3. Если V n-мерное векторное пространство над полем C, то любой линейный оператор A 2 B(V) имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство. Пусть fe1; : : : ; eng базис векторного пространства V и матрица оператора A 2 B(V) имеет вид

то условие (4.1) эквивалентно матричному уравнению

[A I][x] = 0

или систему n линейных уравнений с n неизвестными 1; 2; : : : ; n:

8

>( 11 ) 1 + 12 2 + + 1n n = 0;

>

>

< 21 1 + ( 22 ) 2 + + 2n n = 0;

>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

>

(4.2)

>

: n1 1 + n2 2 + + ( nn ) n = 0:

61

Эта система имеет ненулевое решение 1, . . . , n тогда и только тогда,

ставляя его в систему (4.2), получим некоторое ненулевое решение [x] = ( 1; : : : ; n)>, такое что Ax = x.

Определение 4.2.4. Уравнение (4.3) называется характеристическим уравнением, а многочлен

PA( ) = det[A I] = jA Ij

характеристическим многочленом оператора A или матрицы [A].

Замечание 4.2.5. Имеют место такие очевидные свойства.

Корни характеристического уравнения являются собственными зна- чениями оператора A, и обратно, собственные значения оператора A являются корнями характеристического уравнения (4.3).

Если M инвариантное относительно линейного оператора A подпространство, то в M содержится хотя бы один собственный вектор оператора A.

Число 2 C является собственным значением оператора A, если оператор (A I) необратим, т.е. если Ker(A I) 6= f0g.

Упражнение 4.2.6. Пусть A обратимый оператор. Доказать, что x собственный вектор оператора A тогда и только тогда, когда x собственный вектор оператора A 1.

Теорема 4.2.7. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

Доказательство. Пусть [A] и [B] подобные матрицы. Тогда существует невырожденная матрица [C], что [B] = [C] 1[A][C]: Следовательно,

PB( ) = det[B I] = det([C 1][A I][C]) =

= det[C 1] det[A I] det[C] = det[A I] = PA( ):

62

В силу теорем 2.5.1 и 4.2.7 имеем следующее следствие.

Следствие 4.2.8. Характеристический многочлен PA( ) линейного оператора A 2 B(V) не зависит от выбора базиса.

Приведем формулы для коэффициентов характеристического много- члена PA( ) линейного оператора A. Пусть в некотором базисе оператор задается матрицей [A] вида:

ãäå

n

XX

S1 = ii; S2 = Mi1;i2 ;

ãäå Mi1;:::;ip главные миноры порядка p матрицы [A], p = 2, . . . , n 1.

Замечание 4.2.9. С каждым линейным оператором A, действующим в n-мерном векторном пространстве V, связан характеристический много- член этого оператора степени n, все коэффициенты которого не зависят от выбора базиса пространства V. Верно и обратное утверждение. Каждый многочлен вида

P ( ) = ( 1)n n + ( 1)n 1an 1 n 1 + + a2 2 a1 + a0

есть характеристический многочлен некоторого линейного оператора B 2 B(V). Рассмотрим, например, оператор B, матрица которого в некотором

63

Тогда, раскрывая определитель по первому столбцу, имеем

Упражнение 4.2.10. Для любых операторов A; B 2 B(V) имеет место

равенство:

PAB( ) = PBA( ):

Пусть [A] матрица оператора A в некотором базисе векторного пространства V.

Определение 4.2.11. Сумма диагональных элементов матрицы [A] линейного оператора A называется следом матрицы [A] (следом линейного оператора A) и обозначается

tr[A] = tr A:

В силу теорем 2.5.1 и 4.2.7 и следствия 4.2.8, след tr A линейного оператора A не зависит от выбора базиса, поэтому приведенное определение корректно.

64

Утверждение 4.2.12. Для любых операторов A; B 2 B(V) имеет место

равенство

tr AB = tr BA:

Доказательство. Пусть в некотором базисе fe1; : : : ; eng векторного пространства V матрицы операторов A и B имеют вид:

Перемножая матрицы в прямом и обратном порядке, получим

Поскольку след не зависит от выбора базиса, утверждение доказано.

Замечание 4.2.13. Если A; B; C 2 B(V), то в общем случае,

tr[ABC] 6= tr[ACB]:

Действительно, например, для матриц

имеем

tr[ABC] = 0 6= 1 = tr[ACB]:

Упражнение 4.2.14. Доказать, что если операторы A и B из B(V) подобны, то tr Ak = tr Bk, k = 1, 2, . . . .

Упражнение 4.2.15. Доказать, что не существует таких операторов A и B, что

[A; B] = AB BA = I:

Упражнение 4.2.16. Доказать, что если [A; B] = A, то

[Ak; B] = kAk; k = 1; 2; : : : ;

оператор A необратим и An = 0, n = dim V.

65

Упражнение 4.2.17. Доказать, что если

B = [C; D] = CD DC;

òî tr B = 0.

Верно также обратное утверждение.

Утверждение 4.2.18. Пусть dim V < 1. Если след оператора A ра-

вен нулю, то существует базис, в котором все диагональные элементы матрицы оператора A равны нулю.

Доказательство. Доказательство проведем с помощью индукции по размерности пространства n = dim V. В случае n = 1 утверждение очевидно.

Предположим, что n 2.

Пусть [A] матрица оператора A в некотором базисе fe1; : : : ; eng пространства V. Если среди диагональных элементы матрицы [A] = (aij)ni;j=1 хотя бы один равен нулю, не ограничивая общности можно считать, что a11 = 0. Действительно, если ajj = 0, то переупорядочив базис таким обра-

зом, чтобы элемент ej стоял на первом месте, в переупорядоченном базисе будем иметь a11 = 0. При этом матрица [A] имеет вид

0 [B] [A] = [C] [A0] ;

ãäå [A0] некоторая квадратная матрица порядка n 1 с нулевым следом, [B] и [C] некоторые матрицы порядка 1 (n 1) и (n 1) 1 соответ-

ственно. Согласно предположению индукции в этом случае существует обратимая матрица [S0] порядка n 1 такая, что у матрицы [S0][A0][S0] 1

все диагональные элементы равны нулю.

Таким образом, для завершения доказательства остается показать, что базис можно выбрать так, чтобы у матрицы оператора A хотя бы один

диагональный элемент был нулевым. Возможны два случая: матрица [A]

является диагональной или нет.

Рассмотрим случай, когда матрица [A] диагональная и [A] 6= 0. Поскольку tr A = 0 и [A] 6= 0, у диагональной матрицы [A] существует по

66

крайней мере два различных диагональных элемента; не ограничивая общности, можно считать, что a11 6= a22. Рассмотрим матрицу

Следовательно, производя невырожденное линейное преобразование первых двух элементов базиса и не изменяя остальных базисных векторов, можно получить a11 = 0.

Рассмотрим случай, когда матрица A не является диагональной. Тогда

следовательно, при t = aii=aij i-й диагональный элемент матрицы [S][A][S] 1

íóëþ.

Утверждение 4.2.19. Пусть dim V < 1. Если след оператора A равен нулю, то существуют операторы B, C 2 B(V) такие, что

A = [B; C]:

Доказательство. Согласно доказанному утверждению 4.2.18, в пространстве V существует базис, в котором диагональные элементы матрицы [A]

оператора A равны нулю. Пусть [B] диагональная матрица с различны-

непосредственной проверкой убеждаемся, что [[B]; [C]] = [A].

67

4.3Операторы простой структуры

Система собственных векторов fx1; : : : ; xmg линейного оператора A, отвечающих попарно различным собственным значениям f 1; : : : ; mg, линейно независима.

Доказательство. Собственные векторы, по определению, являются ненулевыми. Поэтому теорема верна для m = 1. Допустим, что она верна для

любой системы из (m 1) собственных векторов, но не верна для векторов fx1; : : : ; xmg. Тогда система fx1; : : : ; xmg линейно зависима, и потому существует набор чисел f 1; : : : ; mg, не равных нулю одновременно, для которых верно равенство

1x1 + + mxm = 0;

и потому

A( 1x1 + + mxm) = 1 1x1 + + m mxm = 0:

Без ограничения общности предположим, что 1 6= 0 è m 6= 0. Умножим первое из этих равенств на m и вычтем из второго. Получим

1( 1 m)x1 + + m 1( m 1 m)xm 1 = 0:

Согласно индуктивному предположению, векторы fx1; : : : ; xm 1g линейно независимы. Поэтому все коэффициенты последнего равенства равны нулю. В частности,

1( 1 m) = 0;

что противоречит условию 1 6= m и предположению 1 6= 0. Следовательно, система векторов fx1; : : : ; xmg линейно независима.

Особый интерес представляет случай, когда оператор A, действующий в n-мерном векторном пространстве V, имеет ровно n попарно различных

собственных значений. В этом случае, согласно теореме 4.3.1, можно выбрать базис пространства V, целиком состоящий из собственных векторов

оператора A.

Определение 4.3.2. Оператор A, действующий в n-мерном векторном пространстве V, называется оператором простой структуры или оператором скалярного типа, если он имеет n линейно независимых собственных векторов, т.е., если в пространстве V существует базис, состоящий из собственных векторов оператора A. Этот базис называется собственным базисом оператора A.

68

Замечание 4.3.3. Примером оператора простой структуры является скалярный оператор I. Для него все ненулевые векторы пространства V

являются собственными, отвечающими одному и тому же собственному значению , и, соответственно, все базисы собственные.

Замечание 4.3.4. Не каждый оператор обладает собственным базисом. Действительно, пусть dim V = n > 1 и fe1; : : : ; eng какой-нибудь ба-

зис пространства V. Определим оператор D равенствами:

De1 = 0; Dek = ek 1; k = 2; 3; : : : ; n:

Этот оператор имеет единственное собственное значение = 0, и все его собственные векторы имеют вид x = e1, 2 C. Таким образом, оператор D не имеет собственного базиса.

Теорема 4.3.5. Для того, чтобы оператор A, действующий в n-мерном векторном пространстве V, был оператором простой структуры, необходимо и достаточно, чтобы его матрица была подобна диагональной.

Доказательство. Пусть A оператор простой структуры, действующий в n-мерном векторном пространстве V, и fe1; : : : ; eng базис, состоящий из собственных векторов оператора A, отвечающих собственным значениям f 1; : : : ; ng. Òàê êàê

Ae1 = 1e1; Ae2 = 2e2; : : : ; Aen = nen;

то матрица [A] оператора A в этом базисе имеет диагональный вид:

Обратно, пусть [A] матрица линейного оператора A в некотором базисе fe1; : : : ; eng. Пусть матрица [A] подобна диагональной, т.е. существует невырожденная матрица [C], такая, что

Тогда

ACek = kCek; k = 1; : : : ; n:

69

Следовательно, векторы

e0k = Cek; k = 1; : : : ; n

являются собственными векторами оператора A, отвечающими собствен-

ным значениям f 1; : : : ; ng. Поскольку матрица [C] невырождена, векторы fe01; : : : ; e0ng образуют базис. Таким образом, оператор A оператор простой структуры.

Замечание 4.3.6. Для оператора простой структуры A набор его собствен-

ных значений c учетом кратности однозначно определяет класс операторов, подобных A.

Замечание 4.3.7. Оператор A, действующий в n-мерном векторном пространстве V, имеет простую структуру тогда и только тогда, когда пространство V разлагается в прямую сумму n подпространств

V = M1 u u Mn;

ãäå Mk одномерные инвариантные подпространства линейного оператора A, k = 1, . . . , n;

Замечание 4.3.8. Если оператор A, действующий в n-мерном векторном пространстве V, имеет n попарно различных собственных значений, т.е., если все корни характеристического многочлена имеют кратность 1, то оператор A имеет простую структуру.

Упражнение 4.3.9. Докажите следующие утверждения.

Если A оператор простой структуры, то для любого полинома p(z) 2 P(C) оператор p(A) тоже оператор простой структуры.

Любой идемпотентный оператор оператор A является оператором простой структуры.

Если оператор A удовлетворяет уравнению Am = I при некотором натуральном m, то он является оператором простой структуры. (Такой оператор A называется корнем из единицы.)

n

Будем говорить, что многочлен p(z) = P akzk имеет свойство (П),

k=0

если из условия p(A) = 0 следует, что A оператор простой структуры. Многочлен p(z) имеет свойство (П) тогда и только тогда, когда он не имеет кратных корней, то есть, когда НОД( p(z); p0(z))=1.

70