Креневич А.П.,Обвінцев О.В.C в задачах і прикладах

де a, b,..., c – числові сталі, p – деякий сталий параметр або набір пара-

метрів, f – функція, задана аналітично.

Приклад. Послідовність {Fk : k ³ 0} чисел Фібоначчі зазвичай зада-

ють рекурентним співвідношенням другого порядку

F0 = F1 = 1,

Fk = Fk −1 + Fk −2 , k ³ 2.

Зауваження. Попередні два означення легко узагальнити на системи рекурентних співвідношень, якщо вважати, що кожен член послідовності {xk} є векторною величиною.

Для обчислення членів послідовностей, заданих рекурентними співвідношеннями, використовують цикли.

Нехай послідовність {xk : k ³ 0} задано рекурентним співвідношен-

ням (3.1). Тоді після виконання фрагмента програми x = a;

for (k = 1; k <= n; k++){ x = f(k, p, x);

}

у змінній x буде міститися значення елемента xn послідовності.

Зауважимо, що нумерація членів послідовності інколи починається не з 0, а з деякого натурального числа m: {xk : k ³ m} . Припустимо, що

рекурентне співвідношення для цієї послідовності має вигляд

xm = a,

xk = f (k, p, xk −1 ), k ³ m +1.

Тоді для отримання xn необхідно замінити наведений вище фрагмент

програми на такий x = a;

for (k = m + 1; k <= n; k++) x = f(k, p, x);

}

Для обчислення елементів послідовності, заданої рекурентним співвідношенням вищого порядку, застосовують трохи інший підхід. Наприклад, нехай послідовність {xk : k ³ 0} задано рекурентним співвідно-

шенням третього порядку

x0 = a, x1 = b, x2 = c,

xk = f (k, p, xk −1 , xk − 2 , xk −3 ), k ³ 3,

Тоді після виконання фрагмента програми

у змінних x і w буде міститися xn, у змінній v – xn – 1 , у змінній u – xn – 2 . Запропонований підхід можна узагальнити для рекурентних співвід-

ношень довільного порядку.

Приклади розв'язання задач

Приклад 3.7. Скласти програму обчислення елементів послідовності

Розв'язок. Складемо рекурентне співвідношення для заданої послідовності. Легко бачити, що кожен член послідовності xk є добутком чисел. Ураховуючи це, обчислимо частку двох сусідніх членів послідовності. Таким чином, для k ³ 1 отримаємо співвідношення

Підставляючи до (3.3) k = 0, обчислимо x0 = 1. Отже, рекурентне

Скористаємося наведеним вище алгоритмом для обчислення відповідного члена послідовності заданої рекурентним співвідношенням першого порядку. Тоді програма матиме вигляд:

#include <iostream.h> void main(){

int n, k; float x, xn; cin >> x >> n; xn = 1;

for (k = 1; k <= n; k++)

xn = xn * x / k; cout << xn << '\n';

}

Приклад 3.8. Скласти програму обчислення суми:

Розв'язок. Помітимо, що (3.4) має сенс тільки для k ³ 1 . Складемо рекурентне співвідношення. Видно, що, на відміну від попереднього прикладу, кожен член послідовності Sk є сумою елементів вигляду 1/i, де i змінюється від 1 до k. Отже, для побудови рекурентного співвідношення знайдемо різницю двох сусідніх членів послідовності Sk. Для k ³ 2 :

Sk − Sk −1 = 1/ k.

Підставляючи до (3.4) k = 1, отримаємо S1 = 1. Отже, рекурентне співвідношення має вигляд:

S1 = 1,

Sk = Sk −1 +1/ k, k ³ 2.

Аналогічно до попереднього прикладу, враховуючи, що нумерація членів послідовності починається з 1, а не з 0, отримаємо програму.

}

cout << S <<'\n';

}

Зауваження. Як вже відомо, ділення цілих чисел у С реалізовано як ділення націло, що необхідно враховувати при написанні програм. Наприклад, після виконання коду

float S = 1;

for (k = 2; k <= 5; k++) S = S + 1 / k;

у змінній S буде міститися число 1, оскільки 1 націло поділити на будьяке ціле k > 1 завжди дає 0. Тому під час написання програми було використано операцію float(k), що перетворює значення цілої змінної k до типу float.

Приклад 3.9. Скласти програму обчислення суми

Таким чином, отримаємо систему рекурентних співвідношень

Спосіб 2. Легко побачити, що послідовність Sk можна представити у вигляді

Тоді система рекурентних співвідношень матиме вигляд

x1 = a, y1 = b,

xk = a × xk −1 ,

Отже, програма для знаходження Sn, заданого рекурентним співвідношенням, що отримано першим способом, має вигляд:

}

cout << S <<'\n';

}

Приклад 3.11. Послідовністю чисел Фібоначчі називається послідовність {Fk : k ≥0}, задана рекурентним співвідношенням другого порядку

F0 = F1 = 1,

Fk = Fk −1 + Fk −2 , k ³ 2.

Написати програму для обчислення Fn.

Розв'язок. Оскільки послідовність Фібоначчі задана рекурентним співвідношенням другого порядку, то для того, щоб запрограмувати обчислення її членів, необхідно три змінних. Модифікувавши наведений вище алгоритм для обчислення відповідного члена послідовності зада-

ної рекурентним співвідношенням третього порядку на випадок рекурентного співвідношення другого порядку, отримаємо програму:

#include <iostream.h> void main(){

int n, k, f, f1, f2; cin >> n;

f1 = 1; f2 = 1;

for (k = 2; k <= n; k++){ f = f1 + f2;

f2 = f1;

f1 = f;

}

cout << f1 <<'\n';

}

Приклад 3.12. Скласти програму для обчислення визначника порядку n:

Розкладаючи Dn за першим рядком, отримаємо співвідношення

Dn = 5Dn−1 - 6Dn−2 , n ³ 3.

Отже, аналогічно до попереднього прикладу, програма матиме вигляд:

#include <iostream.h> void main(){

int n, k, D, D1, D2; cin >> n;

D1 = 5;

D2 = 19;

for (k = 3; k <= n; k++){ D = 5 * D1 – 6 * D2; D2 = D1;

D1 = D;

}

cout << D <<'\n';

}

Приклад 3.13. Обчислити суму, задану рекурентним співвідношенням

Розв'язок. Звернемо увагу на те, що послідовність ak задано реку-

рентним співвідношенням третього порядку. Введемо допоміжну послідовність bk = 2k , k ³ 0, для якої рекурентне співвідношення матиме вигляд b1 = 1, bk = 2bk −1 , k ³ 1. Тоді, поєднуючи алгоритми для визначен-

ня відповідних членів послідовностей, заданих рекурентними співвідношеннями першого і третього порядків, отримаємо програму

#include <iostream.h> void main(){

int n, k; float S; int a, b;

// додаткові змінні для визначення ak int a1, a2, a3;

cin >> n; S = 0;

a1 = a2 = a3 = 1; b = 1;

// обчислення перших трьох членів послідовності for (k = 1; (k <= 3 && k <=n); k++){

b = b * 2;

S = S + 1 / float(b);

}

for (k = 4; k <= n; k++){ b = b * 2;

a = a1 + a3;

S = S + float(a) / float(b); a3 = a2;

a2 = a1;

a1 = a;

}

cout << S <<'\n';

}

Приклад 3.14. Обчислити суму, задану рекурентним співвідношенням

Розв'язок. Послідовності {ak } і {bk } задано рекурентним співвідно-

шеннями першого порядку, проте залежність перехресна. Використаємо по одній допоміжній змінній для кожної із послідовностей.

Отримаємо програму для знаходження Sn:

aa= a * b;

bb= a + b;

a= aa;

b= aa;

S = S + float(a) / float(1 + b);

}

cout << S <<'\n';

}

Приклад 3.15. Обчислити добуток, заданий рекурентним співвідно-

Розв'язок. Послідовність {ak} задана рекурентним співвідношенням третього порядку. Тоді добуток Pn обчислюється за допомогою рекурентного співвідношення

P2 = 1/ 9,

Pk = Pk −1 × ak / zk , k ³ 3,

де zk – k-й степінь числа 3, визначений рекурентним співвідношенням

#include <iostream.h> void main(){

int n; double P; int a, z, t;

// додаткові змінні для визначення ak