1.3.2. Математические модели гидродинамики фонтанирующего слоя

Математические модели, описывающие гидродинамику можно разделить на модели, полученные эмпирическим, полуэмпирическим и аналитическим способом.

Литературный обзор моделей фонтанирующего слоя был приведен в работе [37]. Были рассмотрены модели, основанные на формальных функциональных методах обработки информации; модели, составленные из идеальных типовых операторов; а также модели на основе уравнений сохранения.

В работе [38] была исследована гидродинамику в коническо-цилидрическом аппарате. Полученная на основе предыдущих работ эмпирическая математическая модель включает уравнения для расчета скорости газовой и дисперсной фаз, максимального перепада давления в слое, порозности для конической и цилиндрической частей аппарата. С помощью уравнений было исследовано влияние геометрии аппарата (угла конусности, диаметра основания конуса, отношения входного отверстия к диаметру частиц, а также отношения входного отверстия к диаметру аппарата) на гидродинамику ФС и получены интервалы значений исследуемых параметров при стабильном фонтанировании.

В следующей работе авторов [39] был оценен эффект параметров процесса на скорость дисперсной фазы и высоту фонтанирующего слоя. На основании эмпирических уравнений для расчета вертикальной [40] и горизонтальной [41] скорости дисперсной фазы была получена структура потоков в зонах ядра и кольца фонтанирующего слоя, а также значения скоростей.

Математическая модель [42] была построена на основе баланса потоков тепла и массы в зонах ядра и кольца. Математическое описание позволяет предсказать изменение влагосодержания, температуры частиц и воздуха по высоте аппарата для зон ядра и кольца.

Авторами [43] на основании баланса массы и энергии для четырех зон аппарата были записаны дифференциальные уравнения скоростей дисперсной и газовой фаз, давления, порозности, а также температуры по высоте аппарата. В качестве зон были рассмотрены: кольцо, ядро, зона входа воздуха в аппарат, а также зона основания ядра.

Далее будут рассмотрены модели, основанные на фундаментальных законах: положениях механики гетерогенных сред и неравновесной термодинамике.

Основой описания гетерогенной среды является система термогидромеханических уравнений, в которой для каждого компонента определены скорость, плотность, температура, давление и так далее.

Система уравнений сохранения массы, импульса, энергии может быть записана и решена для конкретной инженерной задачи.

При математическом описании движения потока газовой и дисперсной фаз необходимо рассмотреть и уточнить силу взаимодействия фаз, которая представляет собой сумму двух составляющих: силы воздействия макроскопического поля давления (сила Архимеда) и скоростной неравновесности между фазами [44]. Силой Архимеда можно пренебречь, поскольку плотность частиц значительно больше плотности ожижающего газа. Вторая составляющая складывается из силы трения, силы, связанной с воздействие присоединенных масс и силы Магнуса.

Сила трения определяется разницей скоростей фаз, размером, количеством и формой частиц, а также физическими свойствами фаз [39]. Сила трения, действующая на отдельную частицу зависит не только от разницы скоростей между газовой и дисперсной фазами, но также от взаимодействия отдельной частицы с окружающими ее частицами. Поэтому определить силу трения аналитически не представляется возможным. С другой стороны для адекватного описания взаимодействия фаз могут быть использованы эмпирические зависимости, «работающие» в определенных интервалах значений критерия Рейнольдса.

В общем виде выражение для силы трения записывается, как:

, (1.5)

где С₁₂ – коэффициент трения.

В работе [45] приведен вывод выражений коэффициента трения для потоков, обтекающих сферические частицы. Из приведенного в работе [45] анализа размерностей системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих течение потока вблизи твердой сферической частицы, а также определения коэффициента сопротивления следует, что последний является только функцией числа Рейнольдса.

Зависимость коэффициента трения от Рейнольдса [45] имеет несколько зон, соответствующих разным законам течения. При обтекании сферической частицы в условиях «ползущего течения» закон сопротивления соответствует Закону Стокса:

, где Re < 0.1 (1.6)

В области промежуточных значений числа Рейнольдса действует Промежуточный закон сопротивления:

, где 2 < Re < 500 (1.7)

В области, когда значение числа Рейнольдса превышает 500, действует Закон Ньютона, сила сопротивления приблизительно пропорциональна квадрату скорости газового потока. Коэффициент сопротивления считают постоянным:

, где 500 < Re < 2·10⁵(1.8)

При числе Рейнольдса выше 2•10⁵ коэффициент трения резко уменьшается вследствие возникновения турбулентного перемешивания в пограничном слое.

Таким образом расчет коэффициента трения важен для адекватного описания гидродинамических режимов, в том числе режима фонтанирующего слоя и может быть осуществлен с помощью различных моделей трения.

На основе экспериментальных исследований рядом ученых были предложены эмпирические зависимости для силы и коэффициента трения.

Наиболее часто используемая модель [46], основанная на уравнении Эргуна, обычно применяется для расчета плотных слоев с низкой порозностью воздуха (₁<0.8):

, (1.9)