4. Вторая теорема Гельмгольца и её следствие. Теорема Стокса.

Вторая теорема: поток вихря скорости через произвольное поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени есть величина постоянная из неё следует, что поток вихря является для вихревой трубки характерной величиной. Он принимается за меру интенсивности вихревого теченияi: ,,,;=> 1) сечение вихревой трубки не может быть равным нулю. 2) вихревая трубка не может заканчиваться внутри жидкости конечным сечением.

Теорема Стокса: интенсивность вихревой трубки = циркуляциискорости по замкнутому контуру, располож-му на поверхности вихревой трубки и один раз ее опоясывающую.

в векторной форме ф-ла Стокса: . Следствие: если внутри области движения жидкости безвихревая, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру в этой области равна нулю. А если циркуляция равна нулю, то течение безвихревое.

5. Теорема Томсона (Кельвина) и следствие из неё.

Баротропная жидкость – такая жидкость, для которой ρ зависит от р.

Теорема: Если массовые силы имеют потенциал, при этом вектор является нрадиентом некоторой скалярного поля, описываемого потенциальной силовой функцией Ф(x,y,z) [], то в идеальной баротропной жидкости циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру, происходящего в непрерывном поле скоростей, остаются постоянной во всё время движенияили

Следствие: Если соблюдаются условия теоремы Томпсона и вихрей не было, то они и не могут появиться, а если были , то не могут исчезнуть.

Если условия теоремы нарушаются, то вихри могут возникать или исчезать.

Основная ценность теоремы Томпсона: она позволяет объяснить причину перехода жидкости из безвихревого течения в вихревое и наоборот.

6. Свойства напряжений поверхностных сил. Давление и его свойства.

Выделим в движущейся жидкости прямоугольный тетраэдр. Центр масс его движется с ускорением на его грани действует напряжение:. Составим векторное уравнение движения тетраэдра, выражающее 2-й закон Ньютона.

, ,.

можно пренебречь

. можно представить з-на составляющими:

, ,.- нормальное напряжение;- касательное напряжение. Первый индекс показывает ориентацию площадки, второй – ось. Спроектируем (x) на оси: ,,.

Если составить ур-е моментов отн-но координатных осей, то можно увидеть закон парности кас-х напряжений. . В идеальной жидкости, где отсутствуют силы вязкости, касательные напряжения равны нулю..,,,. Жидкости и газы могут воспринимать растягивающие напряжения. Поэтому нормальные напряжения должны быть сжимающими. Такое нормальное напряжение называется давлением. Давление всегда направлено по внутренней нормали к поверхности жидкости – первое свойство.; где

=> Давление – величина положительная и в любой точке идеальной жидкости одинаковая по всем направлениям, т.е не зависит от ориентации площадки в пространстве в различных точках пространства и может изменяться во времени, т.е. .

7. Уравнение движения жидкости в напряжениях.

Запишем для произвольного жидкого объёма V, ограниченного поверхностью F, уравнение, выражающее теорему о количестве движения: производная по времени от количества движения системы равна сумме действующих на неё внешних сил. Количество движения жидкости в объёме V:

, - скорость движения центра масс объёмаdV, то => .масса постоянна => уравнение количества движения жидкого объёиа запишеться в виде:.- суммы внешних массовых и нов. сил, действующих наF и V. Уравнение (*) представляет собой осн-е динамическое соотн-е ГГД, записанное в интегральной форме. Его часто наз-т ур-м импульсов. . В векторном анализе доказывается, что справедливы следующие соотношения:

; ;; =>. Если подставить это уравнение в исходное ур-ние, то получитись:. В проекциях на коорд-е оси:,,.