2.Отбрасываем знаки математического отличия
3.Делим правую часть уравнения на левую и наоборот:
Первая теорема подобия показывает , как величины необходимо измерять по ходу эксперимента (это величины, входящие в критерий), а также величины с которыми необходимо работать.
Вторая теорема подобия
Решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, характеризующие процесс, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, т.е. между критериями подобия. Если обозначить критерии как
то
- уравнение в обобщенных переменных критериальное уравнение
Те критерии, которые входят в условие однозначности и составленные из величин, описывающих его называются определяющими критериями.
Те критерии, которые составлены из величин, зависящих от условий однозначности, называют определяемыми.
Например, надо определить :
;- определяемый критерий;
Eu = f(Re, l/d)
Вторая теорема подобия отвечает на вопрос, как проводить обработку результатов эксперимента (представить в виде функциональной зависимости между определяющими и определяемыми критериями подобия.
Третья теорема подобия
Это необходимое и достаточное условие подобия.
Подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности (равенство определяющих критериев).
Явления подобны, если их определяющие критерии численно равны. Значит, равны и определяемые.
Этапы исследования процесса методами теории подобия
1.Составляется дифференциальное уравнение, описывающее полностью физический процесс;
2.Определяются условия однозначности;
3.Подобными преобразованиями уравнения определяют критерий подобия;
4.Экспериментально, на моделях, устанавливают вид зависимости между критериями подобия;
5.Определяют является ли полученное уравнение адекватным физическому процессу и рассматривают на какой класс других явлений полученные результаты можно распространить.
Основные принципы метода анализа размерностей
В некоторых случаях из-за сложности процесса не удается составить его полное математическое описание в виде дифференциальных уравнений, а возможно лишь самое общее представление зависимости между переменными процесса. В этом случае ход исследования несколько изменяется.
Пусть величины α, β, γ, ρ, θ описывают какой-либо физический процесс. Зависимость между ними, допустим, может быть представлена в самом общем виде:
φ (α, β, γ, ρ, θ) = 0 Если α – какой-то определяемый критерий, то по второй теореме
подобия:
α= f (β, γ, ρ, θ)
Теорема Бэкингема
Всякое уравнение, связывающее между собой n физических величин среди которых m величин обладают независимыми размерностями (кг, м, с) может быть представлено в виде уравнения, связывающего (n-m) независимых критериев из этих величин.
Эта теорема –частный случай второй теоремы подобия. Она упрощает обработку вычислений между критериями подобия, а не между величинами. Причем число обобщенных переменных уменьшается на число использован- ных основных единиц измерения, что значительно упрощает обработку результатов.
Метод анализа размерностей
1.Должно быть задано, от каких именно параметров процесса зависит исследуемая физическая величина.
2.Связь между всеми параметрами процесса выражается в виде степенного многочлена
3.В результате обобщения экспериментальных данных определяется значение коэффициентов степенного многочлена.
Пример Рассмотрим задачу определения гидравлического сопротивления (т.е. перепад давления ∆p) в трубопроводе
∆p = f(w, ρ, l, d, μ)
Независимые величины: кг, м, с
n=5; m=3.
A= 0,158;
B= - 0,25 ; q=1;
Подобное преобразование дифференциального уравнения Навье-Стокса
Основный критерии гидродинамического подобия
Рассмотрим уравнение Навье-Стокса для оси Z для неустановившегося режима движения жидкости.
а) установившееся движение На следующей стадии преобразования по теории подобия рассмотрим
это уравнение для установившегося процесса и рассмотрим знаки математического отличия. В таком случае,
левая часть
правая часть
Поделим эти составляющие на
I |
|
- критерий Фруда |
|
|
|
Физический смысл: показывает влияние сил тяжести или веса на движение жидкости и характеризует отношение сил инерции к силе тяжести
Поделим на
II |
|
- критерий Эйлера |
|
|
|
Физический смысл: отражает влияние перепада давления на движение жидкости и характеризует отношение сил гидравлического сопротивления к силам инерции.
Поделим на
III |
|
- критерий Рейнольдса |
|
|
|
|
|
|
Физический смысл: отражает влияние сил трения на движения жидкости и характеризуется отношением сил инерции и сил трения.
l – определяющий геометрический размер Для круглых труб l=d
Для каналов некруглой формы l= dэкв Для плоской поверхности l=l
б) неустановившееся движение
Поделим на
IV |
|
- критерий гомохронности |
|
|
|
Физический смысл: характеризует неустановившееся движение, учитывает нестационарность параметров в подобных потоках
Определяемый критерий – критерий Эйлера, так как в него входит величина ∆p. Определение ∆p – задача гидродинамики
Eu= f(Re, Fr, Ho, l/d)
Модифицированные и производные критерии подобия
При изучении отдельных процессов удобно пользоваться не только что полученными критериями подобиями, а их модификациями. Например, при описании работы мешалки вместо окружной скорости в критерий Рейнольдса подставляют число оборотов и диаметр мешалки.
Иногда также является сложным определение того или иного параметра, входящего какой-либо критерий подобия. В этом случае его исключают путем комбинирования критериев и получают производные критерии. Допустим, по каким-либо причинам невозможно определить скорость жидкости. Тогда используют следующие комбинации критериев.
- производный критерий