Теория подобия

Сущность теории подобия и моделирования

Изучение различных процессов можно производить теоретически. В этом случае, на основе общих законов физики и химии составляется система уравнений, полностью описывающих процесс. Чаще всего это система дифференциальных уравнений (например, уравнения Навье- Стокса). Причем дифференциальные уравнения описывают целый ряд однородных по своей сути явлений. Поэтому, для конкретного явления необходимо указать условия

однозначности:

геометрию системы;

наиболее важные константы процесса;

начальные и граничные условия.

Многие процессы химической технологии

характеризуются очень большим числом параметров и полученные дифференциальные уравнения не всегда могут быть решены известными математическими методами. Более того для очень сложных процессов иногда невозможно даже

составить систему дифференциальных уравнений ,

описывающих процесс. В этих случаях связь между

На основе эксперимента получены эмпирические уравнения, которые могут быть применены в условиях, совпадающих с условиями проведения опыта. Следовательно, эмпирические уравнения редко бывают универсальными. Однако наиболее значимы те результаты эксперимента, которые обобщены, и выводы , полученные в

них могут быть распространены на другие классы подобных явлений. Это достигается обработкой результатов эксперимента методами теории подобия.

Теория подобия – учение о методах научного обобщения.

Она показывает экспериментатору как надо ставить опыт и обрабатывать полученные результаты. Применение теории подобия позволяет проводить опыты на моделях и работать на модельных смесях. Модель меньше по размерам.

Поэтому, методы теории подобия лежат в основе масштабирования и моделирования.

Моделирование – метод исследования, при котором процесс изучается не в натуре, а на модели. Различают физическое и математическое моделирование. При физическом моделировании изменяется масштаб установки,

но используются те же вещества и те же параметры

процесса (T,p). Эта система позволяет полностью

Условия подобия

Подобными называются те явления, для которых отношения характеризу- ющих их сходственных величин постоянны.

Константы подобия - безразмерные масштабные множители, выражающие отношения однородных сходственных величин подобных систем

Для двух подобных треугольников:

где l - подобие линейных размеров;

- константа геометрического подобия.

Подобие может быть охарактеризовано также инвариантами. Рассматри- вают отношение каких либо двух и более размеров (величин) одной модели (фигуры). Так на примере треугольника получим:

При подобии физических процессов должны быть подобны все основные физические величины процесса, но они изменяются в пространстве и во времени. Поэтому, технологические процессы подобны в том случае, когда соблюдаются следующие условия подобия:

геометрическое подобие;

временное подобие;

подобие полей физических величин;

подобие начальных и граничных условий.

Рассмотрим эти условия подробнее на примере движения вязкой жидкости в трубопроводе.

1. Геометрическое подобие При подобии движения жидкостей должны быть подобны траектории

движения частиц, должно соблюдаться кинематическое подобие.

4. Подобие начальных и граничных условий предполагает, что отношения параметров в начале и на границе натуры и модели постоянны

Свойства констант подобия

Константы одинаковы для сходственных точек подобных систем. Они изменяются в зависимости от соотношения размеров натуры и модели.

Отношение приращений можно заменить отношением самих величин

Свойства инвариант подобия

Примеры инвариант подобия для рассматриваемой системы:

Также может быть рассмотрено соотношение нескольких разнородных величин. Они называются параметрическими критериями (критериями подобия).

Эти критерии всегда имеют физический смысл, не имеют размерности. и называются обобщенными переменными.

Инварианты подобия могут быть неодинаковыми для различных сходственных точек подобных систем, но они не зависят от соотношения размеров натуры и модели, то есть остаются постоянными при переходе от одной системы к другой подобной системе

Теоремы подобия

Практическое применение теории подобии основано на трёх теоремах подобия

1.Теорема Ньютона-Бертрана

. Подобные явления характеризуется численно равными критериями подобия.

. У подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Рассмотрим эту теорему на примере движения тел, описываемого вторым законом Ньютона:

Введем понятие критерия Ньютона для этого случая. Рассмотрим уравне- ние (*)

На примере критерия Ньютона рассмотрим порядок получения критериев подобия из дифференциальных уравнений.

1. Запишем известное дифференциальное уравнение, описывающее данный процесс.