1.2. Переключательные функции

Любое логическое выражение, составленное изnпеременных с помощью конечного числа операций алгебры логики, можно рассматривать как некоторую функцию этих переменных. В зависимости от значений переменных функция может принимать одно из двух значений : 0 и 1. Такие функции являются удобным инструментом для описания, анализа и синтеза переключательных схем, выходное напряжение которых характеризуется двумя уровнями: высоким (1) и низким (0). В связи с этим такие функции называютсяпереключательными. В дальнейшем этот термин мы будем опускать, поскольку никакие другие функции в дальнейшем рассматриваться не будут.

Для функций n переменных , будем использовать общее обозначение, где , т.е. совокупность переменных можно рассматривать какn-мерный вектор. Каждая переменнаяможет принимать только два значения: 0 и 1. По этой причине число возможных комбинацийконечно. В общем случае конкретное значение переменной(0 или 1) будем обозначать через.

Для обозначения произвольных десятичных чисел будем использовать символы i, j.

Областью определения функции n переменных является совокупность точекn-мерного пространства, причем каждая из точек задается комбинацией значений этих переменных:

где или 1 (р = 1, 2,…,n). Точки, задающие область определения функции, будем обозначать как

,

где , т.е. все точки области определения можно пронумеровать с помощью двоичныхn- разрядных чисел. Таким образом, имеетсяразличныхn-разрядных двоичных чисел и область определения функцииn переменных состоит източек, т.е.

.

Для задания функции следует указать ее значения во всех точках области определения, т.е. следует задать значения= 0 или 1, гдеКаждой конкретной функцииnпеременных можно поставить в соответствие- разрядное число, составленное из значений=0 или 1, где, которые она принимает вточках области определения. Так как имеется всегоразличных- разрядных двоичных чисел, то и число различных функцииn переменных равно.

Функции n переменных могут зависеть не от всех переменных. Такие функции называютсявырожденными. В частности, функция, равная нулю во всех точках, и функция, равная единице во всех точках, не зависят ни от одной переменной. Эти функции называютсяконстантой нульиконстантой единица соответственно.

Значительный интерес представляют следующие невырожденные функции двух переменных, названия которым даны по используемым для их образования операциям алгебры логики:

- дизъюнкция (ИЛИ),

- конъюнкция (И),

- функция И-НЕ,

- функция ИЛИ-НЕ,

- сумма по модулю два.

Область определения этих функций состоит из четырех точек:

,

поскольку .

Поскольку область определения функций конечна и содержит точек, то она может быть задана в виде таблицы, называемой таблицей истинности. Таблица 1.1, составленная в соответствии с аксиомами (1.2) – (1.5) для указанных выше функций, представляет собой таблицу истинности для функций двух переменных.

Таблица 1.1

i
0	0 0	0	0	1	1	0	0	1
1	0 1	0	1	1	0	1	0	1
2	1 0	0	1	1	0	1	0	1
3	1 1	1	1	0	0	0	0	1

В предпоследнем столбце таблицы помещена функция, заданная в общем виде коэффициентами , гдеi = 0, 1, 2, 3, а в последнем столбце –инверсная функция, заданная коэффициентами.

Функции двух переменных важны уже потому, что любая функция nпеременных может быть получена из них методомсуперпозиции, т.е. подстановкой этих функций вместо переменных в другие функции. Такая подстановка возможна поскольку области значений функций и переменных совпадают.

Функция n переменныхназываетсяполностью определенной, если ее значения= 0 или 1 заданы во всех точках области ее определения. Если значение функции не задано хотя бы в одной точке, то она называетсянеполностью определенной. Не определенное в точкезначение функции задается произвольным коэффициентом (Ф – совмещенные символы 0 и 1). Неполностью определенные функции можно доопределять произвольным образом. Если значения функции не заданы ни в одной точке области определения, то она называетсяполностью неопределенной и обозначается через.