7. Жоғарғы peттi туындылар мен дифференциалдар

Жоғарғы реттік туындыларf функцияның (а, b) аралығында туындысы бар болса, f'(x) белгілі бip функция болады. Онда бірінші туынды дейді. Өз кезіндегі бірінші туындының да (а, b) аралығында туындысы болуы мүмкін. Бұл жағдайда оны f функциясың екінші туындысы немесе екінші peттi туындысы дейді де немесе арқылы белгілейді .

Жалпы, f- тің ретті туындысының брінші peттi туындысы f функцияның n – ші ретті туындысы деп атайды да

немеседеп белгілейді.

Мысалдар:1.

2. шынында да,

3.

4. 

5. 

п - рет дифференциалданатын u(х) және v(x) функцияларыныц қосындысы мен көбейтіндісі үшін келесі дифференциалдау ережесі орындалады:

1.

2. Лейбеиц формуласы:

Мұнда Бұл теңдіктерді математикалық индукция әдісін пайдаланып дәлелдеуге болады.

Жоғарғы рет дифференциал. (а,b) аралығында n -рет дифференциалданатын функция, х –тәуелсіз айнымалы(яғни dx x -ке тәуелсіз кез келген сан) болсын. Онда f функциясының х нүктесідегі dy = f\x)dx бірінші дифференциалынан алынған дифференциал f функциясының екінші дифференциалы деп аталады да арқылы белгіленеді. Ол

тең. y=f{x) функциясының n - peттi дифференциалы деп f функциясыньң (n-1) - ретті дифференциалының дифференциалын айтады және оны келесі түрде белгілейді.

. n — ші ретті дифференциал үшін

(8)

теңдігі орындалады. n — ші ретті дифференциалдар үшін келесі ережелер орындалады:

1.

2)

8. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар

Анықтама. Егер

теңсіздігі орындалатындай с - нүктесінің маңайы табылса, онда f функциясы х=с нүктесінде локальді максимумге (сәйкес, минимумге) ие болады дейді.

Локальді (төңіректік) максимум немесе минимум локальді экстремум деп аталады. 28 - суретте [а,b] - де үзіліссіз функция бейнеленген. мен нүктелері - f - тің локальді минимум нуктелері, ал мен - локальді максимум нуктелері; а мен b локальді экстремум нүктелері бола алмайды (өйткені, f бұл нүктелердің толық маңайында анықталмаған), алайда, b - локалды

28-сурет

біржақты максимум, а - локальді біржақты минимум нүктелері деп айтуға болады.

1 - теорема (Ферма). Егер f функциясының с — нүктесінде туындысы бар және ол осы нүктеде локальді экстремумға ие болса, онда

2 - теорема (Ролль). Егер у= f(x) [a,b] — де узіліссіз, (а, b} -да Дифференциалданатын функция және болса, ондатеңдігі орындалатындай нүктесі табылады.

3 - теорема (Коши). Егер f(x) пен g(x) функциялары [a,b] — де үзіліссіз (a,b) - да дифференциалданатын және болса, онда

теңдігі орындалатындай нүктесі табылады.

4 - теорема (Лагранж). f(x) [а, b] — де үзіліссіз және (а, b) — да - дифференциалданатын функция болсын. Онда

(10) теңдігі орындалатын нүктесі табылады.

5 - теорема, [а, b] — кесіндісінде үзіліссіз және (а, b) — да туындысы теріс емес (оң) болатын функция [а, b] — де кемімейді (өседі).

6 - теорема. Егер функцияның (а, b) —ғы туындысы нольге тең болса, онда ол (а, b) — да тұрақты, яғни

Анықтама. Егер нүктесінің қандайда бip | маңайының әpбip х#х₀ нүктесі үшін

.

теңсіздігі орындалса, онда х₀ — нүктесінде y = f(x) функциясы өceді (кемиді) дейді.

7 - теорема. Егер онда y = f(x) функциясы - нүктесінде өседі (кемиді).

Қорытынды. № 37-38 лекциялардан кейін студенттер жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдарды табу ережелерін меңгеріп олады есептей алады.

№ 39-40 лекциялар. Туындылар мен дифференциалдардың қолданылуы. Лопиталь ережесі мен Тейлор қатары.