Приклади

Знайти невизначений інтеграл функцій:

1. f(x) = 1

2. f(x) = e^x

3. f(x) = sinx

4. f(x) =

5. f(x) =

, припустивши, щох0, підінтегральну функцію можна записати так:

Властивості невизначеного інтегралу

1. Послідовне виконання операції диференціювання та інтегрування в будь-якому порядку з точністю до довільної сталої приводить до початкової функції d()= f(x)dx= F(x)+c. Розглянуту властивість можна сформулювати ще так: операції диференціювання та інтегрування з точністю до сталої є взаємно обернені.

2. Якщо число а0, то=a. Дана властивість формулюється так: сталий множник можна виносити за знак невизначеного інтегралу.

3. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функції дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від кожної функції:

.

Основна таблиця інтегралів

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.	;
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.

Методи інтегрування

Усі методи інтегрування функцій зводять невизначений інтеграл до інтегралу, який знаходиться в основній таблиці інтегралів або, як кажуть, до табличного інтегралу. Одним із найбільш сильних методів є так званий метод підстановки. В основі цього методу лежить заміна перемінної функції. Звернемо увагу читача на те, що заtтреба вибирати таку функціюt = w(x), щоб:

1. під інтегралом був явний диференціал від w(x)(w′(x)dx)або якщо даного диференціалу й немає, то його можна легко утворити за допомогою множення або ділення на стале число, відмінне від нуля;

2. інтеграл був би табличним.

Якщо одночасно ці два пункти не виконуються, то інтеграл треба обчислювати іншими методами.

Приклади

Користуючись методом підстановки, обчислити невизначені інтеграли:

Підстановка: t = sinx; dt = cosxdx.

2.

Підстановка: t = lnx; dt = .

3. .

Підстановка: t =x²; dt = 2xdx.

4. 

Підстановка: t = tg.

Інтегрування за частинами

Розглянемо дві функції u =(x), v = g(x), які на деякому проміжку(а;b)є неперервні і мають неперервні похідні першого порядкуφ′(x),g′(x). Тоді функціїuтаv мають диференціали du = φ′(x)dx, dv = g′(x)dx, причому виконується рівність d(uv) = udv+vdu. Візьмемо від обох частин цієї рівності невизначений інтеграл. Тоді внаслідок рівності диференціалів невизначені інтеграли відрізнятимуться тільки на сталу величину. Отже, маємо рівність з точністю до сталої=–але=. Тому дістаємо формулу:= uv –. Зазначимо, що у формулі ми не пишемо сталої, адже стала міститься в інтегралі, а сума двох сталих є сталою. Формула, що написана, називаєтьсяформулоюінтегрування за частинами.

Приклади

Знайти невизначені інтеграли, користуючись методом інтегрування за частинами:

1. = uv–.

Введемо позначення u=x;dv=sinxdx. Знаходимо=.v = –cosx – сталої при знаходженніvне пишемо. Сталу запишемо при обчисленні інтегралу. Оскількиuє відома функція: u = x, то du = u′dx = dx. Отже,= –xcosx –= –xcosx+sinx+c. Якби ми взяли заu=sinx, то ми приклад не розв’язали б.

2.

Введемо позначення: u =lnx ; du = ; dv = xdx, v =.

3. .

Введемо позначення: u = ln²x; du = 2lnx; dv =dx; dv =.

Невизначений інтеграл будемо інтегрувати за частинами.

Нехай u = lnx; dv = dx. Тоді du =dx, v == x.

Отже, xlnx –= xlnx – x + с.

Остаточно знаходимо = xln²x –2(xlnx – x) + c.

4. = е^ах

Позначимо в цьому інтегралі u = e^ax , dv = sinbxdx. Звідки du = ae^axdx,

v = = –.

Тоді .

Інтеграл у правій частині цієї рівності теж обчислюється за частинами. Введемо позначення: u = e^ax; dv = cos bxdx, звідки du = e^axdx v ===. Скориставшись формулою метода інтегрування за частинами, маємо.

Підставивши значення цього інтегралу в рівність, дістанемо:

.

У правій частині цієї рівності маємо той самий інтеграл, що у лівій. Тому, розв’язуючи цю рівність відносно інтегралу, знаходимо:

.