Розв’язування

Досліджуємо функцію за наведеною схемою.

1. Функція є многочлен, область існування якого є вся множина дійсних чисел, тобто інтервал ] [.

2. Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями. При перетинні з віссю 0х (у=0) маємо рівняння 2х⁴-х²+1 = 0. Це рівняння дійсних коренів не має, тобто крива осі 0х не перетинає. Для знаходження точок перетину графіка з віссю 0у покладемо х=0. Маємо у=1. Отже, в точці М₁(0,1) графік функції перетинає вісь 0у.

3. Функція не періодична, але парна. У подальшому досліджуватимемо функцію тільки при

4. Многочлен є функція, неперервна по всій числовій осі. Точок розриву не має.

5. Досліджуємо функцію на кінцях інтервалів. У точці х = 0, маємо у = 1. Знаходимо .

6. Для знаходження інтервалів монотонності треба розв’язати нерівності у′ >0, у′<0. У точках, де у′>0, функція зростає, а де у′<0, – спадає. Обчислимо у ′ . у′ = 8х³-2х = 2х(4х²-1)>0, х(4х²–1)>0. Оскільки х>0, то 4х²-1>0, звідси х²> , або х> . Отже, в інтервалі ] [функція зростає, тоді в інтервалі – спадає.

7. Досліджуємо функцію на екстремум. Для цього прирівнюємо першу похідну до нуля х(4х²-1) = 0. Дістанемо такі стаціонарні точки: х₁=0; х₂= (від’ємних значень х не розглядаємо). Точок, в яких у′ не існує, не має. Знайдемо у′′– у′′ = 24x²-2 = 2(12x²-1). Тоді f′′(0) = -2<0, f′′ ( = 4>0. Отже, х=0 є точка максимуму, а х₂= – точка мінімуму, причому y_max = f(0)=1. y_min=f( ) = . Таким чином, точки М₁(0;1), М₂( ) є екстремальні точки.

8. Знаходимо інтервали угнутості та опуклості графіка. Розв’язуємо нерівність y′′>0. 2(12x²-1)>0, 12x²-1>0, x²> , x> . Отже, в інтервалі ] ; + [ крива угнута, а в інтервалі ]0; [ – опукла.

9. Знаходимо точки перетину. Для цього другу похідну прирівнюємо до нуля 2(12х²-1) = 0. Беремо додатковий корінь х₂ = . При переході х через точку х₃, як це випливає з попереднього пункту, y′′ змінює знак з “–“ на “+”. Отже, х₃ є абсцисою точки перетину. Знайдемо f(x₃)= . Точка М₃( ) є точкою перетину кривої.

10. Знаходимо асимптоти. Вертикальних асимптот крива не має, бо f(x) не має точок розриву. З’ясуємо, чи є похилі асимптоти. Знаходимо границю . Застосуємо правило Лопіталя:

= .

Отже, крива не має і похилих асимптот (мал.4).

Графік заданої функції

1/2

–1/2

7/8

1

Мал.4

3. Диференціал функції

Якщо функція y = f(x) в точці x₀ диференційована, то її приріст у у цій точці можна записати .

Зазначимо, що доданки в даному рівнянні відіграють різну роль. Так, другий доданок при є величина вищого порядку малості, ніж х, , тоді як перший доданок f′(x₀) , якщо і f′(x₀) 0 є величина однакового порядку малості 3 х. Крім того, другий доданок в рівності при і f′(x₀) 0 є величина вищого порядку малості, ніж перша. . Отже, перший доданок f′(x₀) x в даному рівнянні є головною частиною приросту функції.

Добуток f′(x₀) x називається диференціалом функції в точці х₀ і позначається символом dy або df(x₀).

dy = f′(x₀) x, df(x₀) = f′(x₀) x.

Диференціалом аргументу позначається його приріст, тобто вважають х = dx. Тоді формула для диференціала функції набирає вигляду dy = f′(x₀)dx або dy = y′dx. З цієї рівності маємо у′ = . Ця рівність читається так: “ігрек штрих дорівнює dy по dx”.

Користуючись співвідношенням dy=y′dx складемо таблицю для диференціалів від елементарних функцій:

1.	y = c = const	dy = 0
2.	y = x	dy = x –1dx
3.	y = x	dy = dx
4.	y =	dy = - dx
5.	y =	dy = dx
6.	y =	dy =
7.	e = ax	dy = axlnxdx
8.	y = ex	dy = exdx
9.	y = logax	dy =
10.	y = lnx	dy =
11.	y = sinx	dy = cosxdx
12.	e = cosx	dy = –sindx
13.	y = tgx	dy = sec2xdx
14.	y = ctgx	dy = – cos2xdx
15.	y = arcsinx	dy =
16.	y = arccosx	dy = –
17.	y = arctgx	dy =
18.	y = arcctgx	dy = –