Диференціальні рівняння вищих порядків. Основні означення і поняття

Розглянемо тепер диференціальні рівняння вищих порядків – рівняння, що містять похідні вищих порядків. При цьому порядок найвищої похідної називають порядком диференціального рівняння. Зокрема, диференціальним рівнянням n-порядку називають співвідношення виду F(x, y, y^I, ... y⁽ⁿ⁾ ) = 0, де х – незалежна змінна, у = у(х) – шукана функція, а у, ... y⁽ⁿ⁾ – відповідні похідні від функції у.

У рівнянні величини x, y, y, ... y^(n-1) можуть і не входити, але обов’язково повинна входити похідна порядку n. Припустимо, що рівняння може бути розв’язане відносно старшої похідної y⁽ⁿ⁾, y⁽ⁿ⁾= f(x, y, y^I, ... y^(n-1) ). Дане рівняння називають диференціальним рівнянням порядку n, розв’язаним відносно похідної n-порядку. Надалі вивчатимемо диференціальні рівняння виду y⁽ⁿ⁾= f(x, y, y, ... y^(n-1) ). Загальний розв’язок диференціального рівняння є сім’я кривих, залежних від n-параметрів С₁, С₂, ... С_n , а окремий розв’язок – окремою кривою з цієї сім’ї. Ці криві називають ще інтегральними кривими диференціального рівняння. Для диференціального рівняння порядку n розв’язується задача з початковими умовами, яка ставиться так: серед усіх розв’язків рівняння треба знайти той розв’язок у = у(х), який при х = х₀(х₀ – довільна точка проміжку, на якому задана функція, задовольняє умови: у(х₀) = у₀, у(х₀) = , у^(n–1)(х₀) = , де у₀, , ..., – довільні наперед задані дійсні числа.

Числа у₀, , ..., називають початковими даними розв’язку у = у(х), а число х₀ – початковим значенням незалежної змінної х. Взяті разом числа х₀, у₀, y , ..., у0^(n–1) називають початковими даними рівняння, а умови у(х₀) = у₀ ... і т.д. початковими умовами диференціального рівняння. Так, для диференціального рівняння другого порядку у = f(x, y, y) задача полягає у знаходженні розв’язку у = у(х) цього рівняння, який задовольняє початкові умови: у(х₀) = у₀, у (х₀) = .

Приклади

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

1. y³– 2y– x = 0.

Розв’язок: це рівняння допускає розв’язання відносно х: х = y³–2y. Введемо підстановку y= t. Тоді x = t³ – 2t. Скористаємося співвідношенням:

Дістаємо .Отже, загальний розв’язок у параметричній формі має вигляд:

x = t³ – 2t.

у = .

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння 2ху=y.

Розв’язок: застосовуємо підстановку Z = y. Тоді рівняння набирає вигляду: 2xZ = Z. Дістали рівняння першого порядку, яке допускає відокремлювання змінних . Звідси знаходимо , або Z = C₁ , де С₁ – стала інтегрування. Підставимо у рівність значення Z = y. Матимемо диференціальне рівняння першого порядку y = C_1
.Загальний розв’язок цього рівняння є: