Приклади

1. Знайти диференціал від функції y = sinx в точці .

Розв’язування

dy = cosxdx. Підставим тепер замість х величину dy = dx.

2. Знайти диференціл від функції y = sin² +e^tgx в довільній точці х.

Розв’язування

dy = y′dx = (sin cos +e^tgxsec²x)dx.

Диференціал функції використовується для обчислення наближених значень функції та підрахунку похибок при дослідженнях.

Приклад: знайти наближене значення .

Розглянемо функцію f(x) = .

Нехай х₀=1, х=0,001, тоді можна зобразити так: . Отже, можна використати формулу f(x₀+ x) f(x₀)+f′(x₀) x. Для цього треба знайти f(x₀) = f(1), f′(x₀) = f′(1). Маємо f(1)= =1, f′(x) = ; f′(1) = . Тоді 1+ 0,001 = 1,0005.

Використання диференціалу функції для підрахунку похибок буде розглянуто в відповідному розділі.

Невизначений інтеграл

Основна задача диференціального числення полягає в тому, щоб від заданої функції f(x) знайти її похідну f′(x). Проте на практиці доводиться частіше розв’язувати обернені задачі, коли відома похідна, а потрібно знайти функцію.

Отже, з чисто математичної точки зору ми дістаємо таку задачу. На деякому проміжку (а;b) задано функцію f(x). Треба знайти таку функцію F(x), щоб похідна F′(x) в кожній внутрішній точці проміжку (а;b) дорівнювала б f(x); тобто F′(x) = f(x).

Функція F(x) на проміжку (а; b) називається первісною для функції f(x), якщо F(x) на проміжку (а; b) є неперервною, а в кожній внутрішній точці проміжку (а;b) F(x) є диференційованою і F′ (x) = f(x). Інакше кажучи, якщо F(x) – первісна функція для f(x), то множина всіх первісних функцій для функції f(x) записується рівність F′(x) = f(x)+с, в якій с – довільне стале число. Множина всіх первісних функцій для функції f(x) називається невизначеним інтегралом і позначається . При цьому F(x) називається підінтегральною функцією, а f(x)dx – підінтегральним виразом. Отже, якщо F(x) є первісною для f(x), то .

Знаходження невизначеного інтегралу для функції f(x) називається інтегруванням даної функції.

Розділ математичного аналізу, в якому вивчаються способи інтегрування функцій, називається інтегральним численням.

Приклади

Знайти невизначений інтеграл функцій:

1. f(x) = 1

2. f(x) = e^x

3. f(x) = sinx

4. f(x) =

5. f(x) =

, припустивши, що х 0, підінтегральну функцію можна записати так:

Властивості невизначеного інтегралу

1. Послідовне виконання операції диференціювання та інтегрування в будь-якому порядку з точністю до довільної сталої приводить до початкової функції d( )= f(x)dx = F(x)+c. Розглянуту властивість можна сформулювати ще так: операції диференціювання та інтегрування з точністю до сталої є взаємно обернені.

2. Якщо число а 0, то =a . Дана властивість формулюється так: сталий множник можна виносити за знак невизначеного інтегралу.

3. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функції дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від кожної функції:

.

Основна таблиця інтегралів

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.	;
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.