Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Розглянемо окремі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах. Нехай маємо диференціальне рівняння виду , яке явно не містить шуканої функціїу. Як вже зазначалося, таке диференціальне рівняння має загальний розв’язок y =.

Задамо початкову умову у(х₀) = у₀, де х₀ – будь-яка точка відрізка [a, b], то для диференціального рівняння виконуються умови, диференціальне рівняння має єдиний розв’язок. Цей розв’язок можна записати так: у(х) = у₀+.

Приклади

Розв’язати диференціальні рівняння:

1. .

Тут права частина є функція, неперервна в усіх точках інтервалу . Тому диференціальне рівняння з початковою умовою має єдиний розв’язок:

у = у₀+

= y₀+).

Зокрема, якщо х₀ =0, то у = у +.

2. , приу1.

Дане рівняння допускає відокремлювання змінних . Звідси

. Знайшовши інтервали, маємо ln. Після потенціювання ln, маємо у = 1 + сe. Дістали загальний розв’язок диференціального рівняння.

3. х(у –1)dx + y(x² –1)dy = 0.

Помножимо обидві частини цього рівняння на функцію . Дістанемо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.

Загальний інтеграл, згідно з формулою має

Знайшовши інтеграли, дістанемо ln. Після потенціювання остаточно маємо такий загальний інтеграл (х²–1)(у²–1) = с. Знайдемо корні рівнянь:

х²–1 = 0, у²–1 = 0.

Маємо х=1;у=1. Отже, пряміх=1іу=1є інтегральними кривими диференціального рівняння. Проте ці розв’язки знаходяться із загального інтеграла прис=0. Тому вписувати їх не слід. Вони є окремими розв’язками заданого диференціального рівняння.

Однорідні диференціальні рівняння

Диференціальне рівняння =f(x, y) називаютьоднорідним, якщо функціяf(x, y)задовольняє умову f(x, y) = f(tx, ty), деt– будь-яке число, відмінне від нуля. Функціяf(x, y), що задовольняє умову, називається однорідною функцією нульового виміру. Тому диференційне рівняння називають однорідним, якщо права частина його є однорідна функція нульового виміру.

Розглядають також функції виміру n, це функції, для яких справджується умова f(tx, ty) = tⁿf(x, y). Приn=0маємо функцію нульового виміру. Однорідні диференціальні рівняння зводяться до диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними підстановкою y = u(x), деu– невідома функціях, u = u(х). Припустимо, що функція u = u(х) є розв’язком диференціального рівняння= f(x, y). Тоді тотожно виконується рівність x+ u =f(x, ux). Проте за умовою, функцію f(x, ux) можна записати так: f(x, ux) = f(tx, tux). Нехай t =(x). Маємо f(x, ux) = f(1, u), тобто f(1, u) є функція від однієї змінної u f(1, u) =. Диференціальне рівняння набирає вигляду: x, або в диференціальній формі:

xdu = [(u) –  u]dx.

Диференціальне рівняння допускає відокремлювання змінних. Справді, якщо (u)–u0, то рівняння можна записати так:, звідси. Підставивши сюди значення u =, дістанемо загальний інтеграл диференціального рівняння. Загальний інтеграл ми знайшли при виконанні умови. Нехай дана умова не виконується. Тоді матимемо два такі випадки:

1., або. У даному випадку диференціальне рівняння набирає вигляду. Загальним розв’язком цього рівняння є сім’я півпрямих у = Сх(х0), до яких треба приєднати півпрямі х = (у0).

2. Умова (u) – u0 порушується при окремих значенняхх, наприклад, при u= u₀. Тоді, крім загального інтеграла, диференціальне рівняння має ще розв’язок u = u₀або у = u₀х, тобто інтегральною кривою є пряма, що проходить через початок координат.