Декартово произведение множеств а и в
Декартовым
произведением
множеств А
и В
называют множество А
В,
состоящее из всех тех и только тех
упорядоченных пар, в которых первая
компонента является элементом множества
А,
а вторая – элементом множества В.
Операцию нахождения декартова произведения множеств называют умножением множеств.
Умножение
множеств не коммутативно и не ассоциативно,
то есть существуют множества A,
B и C
такие, что
справедливы следующие неравенства
А
ВВ
А
и А
(В
С)(А
В)
С.
Нахождение числа элементов в декартовом произведении двух произвольных конечных множеств сводится к подсчёту числа упорядоченных пар.
Теорема 4. Число
элементов в декартовом произведении
двух произвольных конечных множеств
равно произведению чисел элементов в
каждом из них, то есть n
(A
B)=n
(A)
∙ n
(B).
Рассмотрим произвольные конечные множества А и В.
Пусть n(A)=k,
n(B)=l.
Без ограничения общности рассуждений
можно считать, что А={х
,
х
,
… , х
}
и В={y
,y
,
… ,y
}.
Запишем элементы
А
В в виде
таблицы:
|
(x |
(x |
(x |
… |
(x |
|
(x |
(x |
(x |
… |
(x |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
(x |
(x |
(x |
… |
(x |
;
y
)
;
y
)
;
y
)
;
y
)
;
y
)
;
y
)
;
y
)
;
y
)
;
y
)
;
y
)
;
y
)
;
y
).В этой таблице k строк и l столбцов. Следовательно, в ней содержится k∙ l элементов.
Таким образом,
n(A
B)=n(A)
∙ n(B).
Теорема
доказана.
Задачи для самостоятельного решения
Из 46 студентов курса 22 человека занимается плаванием, 24 – баскетболом и 9 студентов занимаются плаванием и баскетболом. Есть ли в группе студенты, которые не занимаются ни плаванием, ни баскетболом?
Из 52 студентов курса 28 занимаются плаванием, 32 – баскетболом и 10 студентов занимаются плаванием и баскетболом. Сколько в группе студентов, которые не занимаются ни плаванием, ни баскетболом? Сколько студентов занимаются только плаванием? Сколько студентов занимаются только баскетболом?
Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 – немецкий язык, 15 студентов занимаются и английским и немецким языком. Есть ли в группе студенты, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки? Сколько их?
В третьем классе дети коллекционируют марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты – 5 человек. Всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько человек коллекционируют только монеты?
Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоровой студии и 15 в лыжной секции. Сколько учащихся занимается и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятий хора или лыжной секции?
В группе туристов, состоящей из 100 человек, 10 человек не знали ни немецкий, ни французский языки, 75 знали немецкий, 83 знали французский. Сколько туристов знали оба языка?
Катя положила в коробку 4 зеленых круга, 6 треугольников и 3 красных многоугольника. Всего в коробке оказалось 11 фигур. Сколько среди них красных треугольников?
В делегации было 6 человек, знающих французский или немецкий язык. Трое из них говорило только на французском языке, двое – только на немецком языке. Сколько человек говорило и на французском и на немецком языках?
В делегации 22 человека, 9 из них знают французский язык, 12 – английский язык, 10 – немецкий язык, 5 – немецкий и английский языки, 4 – французский и английский языки, 5 – французский и немецкий языки, трое из них говорят на французском, немецком и английском языках. Сколько человек не говорят ни на одном из данных языков?
Множество К содержит восемь элементов, множество М содержит шесть элементов. Сколько элементов содержит множество К
М?Множество К содержит 7 элементов. Сколько элементов в множестве М, если декартово произведение множеств К
М
состоит из 42 элементов? Сколько элементов
содержит множество М,
если декартово произведение множеств
К
М=?Даны 40 чисел. Из них десять чисел кратны 3, пятнадцать чисел кратны 2, двадцать чисел не кратны ни 2, ни 3. Сколько среди данных 40 чисел, кратных 6?
В группе туристов, состоящей из 40 человек, 25 человек знали немецкий язык, 27 человек знали английский язык, 15 − знали французский, 15 – немецкий и английский языки, 14 – французский и английский языки, 9 – французский и немецкий языки, трое из них говорят на французском, немецком и английском языках. Сколько человек не говорят ни на одном из данных языков? Сколько туристов знали два языка? Сколько человек говорят только на одном из данных языков?