Задачи для самостоятельного решения

13. Поезду, в котором находится п пассажиров, предстоит сделать т остановок. Сколькими способами могут распределиться пассажир между этими остановками? Решите ту же задачу, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке.

14. Тайным голосованием 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?

15. Общество из п членов выбирает открытым голосованием из своего состава одного представителя. Сколькими способами может произойти голосование, если каждый голосует за одного человека?

16. Сколькими способами можно расположить в 9 лузах 7 белых и 2 черных шара? Часть луз может быть пустой, а лузы считаются различными.

17. Сколькими способами можно представить натуральное число п в виде суммы трех слагаемых, каждое из которых также является натуральным числом (представления, различающиеся порядком слагаемых, считаются различными)?

18. Мы рассмотрели два крайних случая − все предметы разные (занумерованные шары) и все предметы одинаковые (яблоки). Если делят предметы нескольких разных видов, то это можно делать независимо для каждого вида, поэтому надо найти число способов раздела для каждого вида и (по правилу произведения) перемножить полученные числа.

Примеры решения некоторых комбинаторных задач

Задача. Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 незабудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы?

Решение. Ясно, что ромашки можно разделить 11 способами − первый может не взять ни одной ромашки, взять 1, 2, ..., все 10 ромашек. Точно так же васильки можно разделить 16 способами, а незабудки − 15 способами. Так как цветы каждого вида можно делить независимо от цветов другого вида, то по правилу произведения получаем 11∙16∙15=2640 (способов) раздела цветов.

Разумеется, среди этих способов есть и крайне несправедливые, при которых, например, один из ребят совсем не получает цветов. Введем поэтому ограничение, что каждый из ребят должен получить не менее 3 цветков каждого вида. Тогда ромашки можно разделить лишь пятью способами: первый может взять себе 3, 4, 5, 6 или 7 цветков. Точно так же васильки можно разделить 10 способами, а незабудки − 9 способами. В этом случае общее число способов деления равно 5∙10∙9=450.

Ответ: 450 способами.

В общем случае, если имеется подинаковых предметов одного вида, п одинаковых предметов другого вида, ..., п одинаковых предметов k-го вида, то их можно разделить между двумя людьми способами.

В частности, если все предметы отличны друг от друга и их число равно k, то п=п=…=п=1 и потому есть способов раздела.

Если же наложить добавочное ограничение, что каждый из участников раздела должен получить не менее предметов первого вида,s₂ предметов второго вида, предметов k-го вида, то число способов раздела выражается формулой

Если «ящиков» больше двух, то возникают биномиальные коэффициенты.

Задача. Сколькими способами можно разделить 10 белых грибов, 15 подберезовиков и 8 подосиновиков между 4 ребятами (грибы одного вида считаются одинаковыми)?

Решение. Применяя полученные результаты, получаем, что ответ имеет вид

Если же каждый должен получить хотя бы по одному грибу каждого вида, то ответом будет

Подобная формула верна и в общем случае.

В общем случае, если имеется п предметов одного вида, п предметов другого вида, ..., п предметов k-го вида, причем предметы одного и того же вида неотличимы друг от друга, то число способов распределения этих предметов по т различным ящикам равно

Задача. Найти, сколько делителей есть у натурального числа N (включая 1 и само число N).

Решение. Разложим число N на простые множители: где р₁, р₂, ..., р− различные простые числа. При разложении числа N на два сомножителя, простые сомножители распределяются между , и N Если в сомножитель войдет раз, j=1,2,…, k то разложение имеет вид:

Таким образом, разложение N на два сомножителя сводится к разделу п элементов одного вида, п элементов другого вида, ..., n элементов k-го вида, на две части. А формула показывает сколькими способами это можно. Значит, это и есть число делителей у натурального числа