Теоремы
.docТеорема (об основных законах логики). Для любых формул A, B, C следующие формулы являются законами логики:
|
(1) A A закон тождества |
(2) (A A) A, (A A) A законы идемпотентности |
(3) (A B) (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
|
(4) ((A B) C) (A (B C)), ((A B) C) (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) ((A С) (B C)), ((A B) C) ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6)
законы де Моргана |
|
(7)
закон двойного отрицания |
(8) (A
B)
( закон контрапозиции |
(9) (A
B)
( закон противоположности |
|
(10) (A (A B)) A закон поглощения |
(11) (A (A B)) A закон ограничения |
(12) (A (B C)) (B (A C)) закон перестановки посылок |
|
(13) (A
B)
(A
(A
B)
(A
законы склеивания по B |
(14) (A
(
(A
( законы удаления |
(15) ((A B) (B C)) (A C) закон силлогизма |
|
(16) (A B) A, (A B) B законы удаления конъюнкции |
(17) A (A B), B (A B) законы введения дизъюнкции |
(18) ( закон рассуждений от противного |
|
(19) (A B) (A C) (B C) C закон разбора случаев |
(20) (A
B)
(C
общий закон резолюций |
(21) B
(C
частный закон резолюций |
|
законы, выражающие одни логические связки через другие:
(1) (A
B)
(
(A
B)
(3)
(A
B)
|
||
|
законы действий с тавтологиями и противоречиями:
(1) (А
1)
А, (A
1)
1,
(2) (А
0)
0,
(A
0)
A, (3) (A
(4) (A
A)
1,
(0
A)
1,
(1
A)
A, (A
0)
(5)
(A
A)
1,
(A
|
||
,
A
)
)
)
A,
)
А
B))
(A
B)
B))
(A
B)
B)
(
)
A
)
(A
C),
)
C
B), (A
B)
,
(2) (A
B)
(A
B)
(B
A), (A
B)
,
,
(A
B)
(A
B)
(
),
(A
)
(
B),
,
(A
B)
,
A
,
(4) (A
B)
(
B), (A
B)
)
0,
(A
)
1,
,
(A
1)
1,
)
0,
(A
1)
A, (A
0)
,
(6)
0,
1
Теорема (об основных законах логики). Для любых формул A, B, C следующие формулы являются законами логики:
|
(1) A A закон тождества |
(2) (A A) A, (A A) A законы идемпотентности |
(3) (A B) (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
|
(4) ((A B) C) (A (B C)), ((A B) C) (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) ((A С) (B C)), ((A B) C) ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6)
законы де Моргана |
|
(7)
закон двойного отрицания |
(8) (A
B)
( закон контрапозиции |
(9) (A
B)
( закон противоположности |
|
(10) (A (A B)) A закон поглощения |
(11) (A (A B)) A закон ограничения |
(12) (A (B C)) (B (A C)) закон перестановки посылок |
|
(13) (A
B)
(A
(A
B)
(A
законы склеивания по B |
(14) (A
(
(A
( законы удаления |
(15) ((A B) (B C)) (A C) закон силлогизма |
|
(16) (A B) A, (A B) B законы удаления конъюнкции |
(17) A (A B), B (A B) законы введения дизъюнкции |
(18) ( закон рассуждений от противного |
|
(19) (A B) (A C) (B C) C закон разбора случаев |
(20) (A
B)
(C
общий закон резолюций |
(21) B
(C
частный закон резолюций |
|
законы, выражающие одни логические связки через другие:
(1) (A
B)
(
(A
B)
(3)
(A
B)
|
||
|
законы действий с тавтологиями и противоречиями:
(1) (А
1)
А, (A
1)
1,
(2) (А
0)
0,
(A
0)
A, (3) (A
(4) (A
A)
1,
(0
A)
1,
(1
A)
A, (A
0)
(5)
(A
A)
1,
(A
|
||
A
)
)
)
A,
)
А
B))
(A
B)
B))
(A
B)
B)
(
)
A
)
(A
C),
)
C
B), (A
B)
,
(2) (A
B)
(A
B)
(B
A), (A
B)
,
,
(A
B)
(A
B)
(
),
(A
)
(
B),
,
(A
B)
,
A
,
(4) (A
B)
(
B), (A
B)
)
0,
(A
)
1,
,
(A
1)
1,
)
0,
(A
1)
A, (A
0)
,
(6)
0,
1.Теорема (об основных равенствах множеств). Для любых множеств A, B, C справедливы свойства:
|
(1) A = A закон тождества |
(2) (A A) = A, (A A) = A законы идемпотентности |
(3) (A B) = (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
|
(4) ((A B) C) = (A (B C)), ((A B) C) = (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) = ((A С) (B C)), ((A B) C) = ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6)
законы де Моргана |
|
(7)
закон двойного дополнения |
(8) (A
B)
( |
(9) (A
= B)
( |
|
(10) (A (A B)) = A закон поглощения |
(11) (A (A B)) = A закон ограничения |
|
|
(13) (A
B)
(A
(A
B)
(A
законы склеивания по B |
(14) (A
(
(A
( законы удаления |
(15) ((A B) (B C)) (A C) |
|
(16) (A B) A, (A B) B |
(17) A (A B), B (A B) |
(18) (A
B)
(A
|
|
законы действий с разностями множеств: (1) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C), (A \ B) \ C = (A \ C) \ B = A \ (B C), (3) A = (A B) (A \ B), (A B) (A \ B) = , (4) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), (6) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) |
||
|
законы действий с универсумом и пустым множеством: (1)
(А
U)
= А, (A
U)
= U
(2) (А
)
= ,
(A
)
= A, (3) (A
|
||
,
=
A
)
=
)
)
= A,
)
= А
B)) = (A
B)
B)) = (A
B)
)
= A
)
= ,
(A
)
= U
(4)
= ,
= U
Теорема (об основных равенствах множеств). Для любых множеств A, B, C справедливы свойства:
|
(1) A = A закон тождества |
(2) (A A) = A, (A A) = A законы идемпотентности |
(3) (A B) = (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
|
(4) ((A B) C) = (A (B C)), ((A B) C) = (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) = ((A С) (B C)), ((A B) C) = ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6)
законы де Моргана |
|
(7)
закон двойного дополнения |
(8) (A
B)
( |
(9) (A
= B)
( |
|
(10) (A (A B)) = A закон поглощения |
(11) (A (A B)) = A закон ограничения |
|
|
(13) (A
B)
(A
(A
B)
(A
законы склеивания по B |
(14) (A
(
(A
( законы удаления |
(15) ((A B) (B C)) (A C) |
|
(16) (A B) A, (A B) B |
(17) A (A B), B (A B) |
(18) (A
B)
(A
|
|
законы действий с разностями множеств: (1) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C), (A \ B) \ C = (A \ C) \ B = A \ (B C), (3) A = (A B) (A \ B), (A B) (A \ B) = , (4) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), (6) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) |
||
|
законы действий с универсумом и пустым множеством: (1)
(А
U
= А, (A
U
= U
(2) (А
)
= ,
(A
)
= A, (3) (A
|
||
,
=
A
)
=
)
)
= A,
)
= А
B)) = (A
B)
B)) = (A
B)
)
= A
)
= ,
(A
)
= U
(6)
= ,
= U
Теорема (об основных равносильностях). Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:
|
(1) A A закон тождества |
(2) (A A) A, (A A) A законы идемпотентности |
(3) (A B) (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
|
(4) ((A B) C) (A (B C)), ((A B) C) (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) ((A С) (B C)), ((A B) C) ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6)
законы де Моргана |
|
(7)
закон двойного отрицания |
(8) (A
B)
( закон контрапозиции |
(9) (A
B)
( закон противоположности |
|
(10) (A (A B)) A закон поглощения |
(11) (A (A B)) A закон ограничения |
(12) (A (B C)) (B (A C)) закон перестановки посылок |
|
(13) (A
B)
(A
(A
B)
(A
законы склеивания по А |
(14) (A
(
(A
( законы удаления |
(18) (( закон рассуждений от противного |
|
законы, выражающие одни логические связки через другие: (1)
(A
B)
( (A
B)
(3) (A
B)
|
||
|
законы действий с тавтологиями и противоречиями: (1)
(А
1)
А, (A
1)
1,
(2) (А
0)
0,
(A
0)
A, (3) (A
(4)
(A
A)
1,
(0
A)
1,
(1
A)
A, (A
0)
(5) (A
A)
1,
(A
|
||
A
)
)
)
A,
)
A
B))
(A
B)
B))
(A
B)
B)
(
))
A
B), (A
B)
,
(2) (A
B)
(A
B)
(B
A), (A
B)
,
,
(A
B)
(A
B)
(
),
(A
)
(
B),
,
(A
B)
,
A
,
(4) (A
B)
(
B), (A
B)
)
0,
(A
)
1,
,
(A
1)
1,
)
0,
(A
1)
A, (A
0)
,
(6)
0,
1.