- •Механика
- •Кинематика
- •1.1. Кинематика материальной тоски.
- •1. 1. 1. Система отсчета. Радиус-вектор. Кинематическое уравнение движения.
- •1. 1. 2. Траектория. Путь. Перемещение. Число степеней свободы.
- •1.1.3. Скорость, мгновенная и средняя скорость. Средняя путевая скорость.
- •1. 1. 4. Ускорение. Мгновенное и среднее ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.
- •1. 2. Кинематика поступательного и вращательного движения твердого тела
- •1. 2. 1. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •1. 2. 2. Угловая скорость
- •1. 2. 3. Угловое ускорение.
- •1. 3. Связь линейных и угловых кинематических величин.
- •1. 4. Преобразование координат, скоростей и ускорений при переходе из одной системы отсчета в другую.
- •Вопросы для самоконтроля.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Литература
1. 1. 4. Ускорение. Мгновенное и среднее ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.
Скорость частицы () может изменяться со временем как по величине, так и по направлению.Быстрота изменения вектора называется ускорением . Как и быстрота изменения любой функции по времени, ускорение определяется производной векторапоt. Таким образом, по определению ускорения получаем:
|
(1.9) |
Разложение вектора по базису прямоугольной декартовой системы координат: .
Проекции вектора ускорения на оси координат определяются выражениями:
|
(1.10) |
Модуль вектора ускорения:
|
(1.11) |
Единица измерения ускорения - 1 м/с2.
Средним ускорением точки в интервале времени от t до t + ∆t называется вектор , равный отношению изменения вектора скорости точки за этот промежуток времени к его продолжительности:
. |
(1.12) |
Определим ускорение произвольно движущейся точки.
В общем случае траектория точки представляет из себя пространственную кривую. Введем следующие понятия:
Соприкасающейся плоскостью в точке М траектории называется предельное положение плоскости, проходящей через любые три точки траектории, когда эти точки неограниченно приближаются к точке М.
Соприкасающейся окружностью в точке M траектории называется предельная окружность, полученная из произвольной окружности проходящей через три точки траектории при их неограниченном приближении к точке М.
Соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости.
Центр соприкасающейся окружность и ее радиус называются соответственно центром кривизны и радиусом кривизны рассматриваемой кривой в точке М.
Прямая, соединяющая точку М с центром кривизны называется главной нормалью к кривой в точке М.
Cначала найдем ускорение точки равномерно перемещающейся по окружности радиуса (см. рис. 1.3). Скорость направлена по касательной к окружности. Для двух положений точки:M1 в момент времени t и M2 в момент времени t + ∆t имеем векторы скоростей исоответственно. Из рис. 1.3 видно, что треугольник, образованный этими векторами и вектором изменения скорости, и равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными радиусу | |
Рисунок 1.3. |
окружности и перемещение точки подобны. Следовательно,
Ускорение может быть представлено в виде:
, |
(1.13) |
где - единичный вектор нормали к круговой траектории движения точки (направлен к центру кривизны траектории).
Представим вектор скорости в виде:
|
(1.14) |
где - единичный вектор, направленный по касательной к окружности и указывающий направление скорости, – величина скорости, т.е. ее численное значение.
При равномерном движении модуль скорости равен константе ( = const), меняется только направление вектора касательной. Тогда для такого случая:
. |
(1.15) |
Сравниваем с формулой ускорения через (1), получим:
. |
(1.16) | |
При равномерном движении ускорение направлено к центру, т.е. перпендикуляр траектории, но не так будет обстоять дело, когда скорость const. В общем случае произвольной гладкой кривой радиус кривизны меняется от точки к точке (см., например, рис. 1.4). Непрерывно меняется и направление единичного вектора главной нормали . Рассмотрим этот случай. Имеем
тогда
| ||
Рисунок 1.4. |
Применяем подстановку, исходя из формул (1.13) и (1.15) получаем:
|
(1.17) |
Заменим на(тангенциальное ускорение), а на(нормальное ускорение), получим
. |
(1.18) |
Тангенциальное ускорение меняет скорость по величине, нормальное ускорениеменяет скорость по направлению.
Действительно, если дана некая траектория (см. рис. 1.5) есть скорость в начале и скорость во втором положении, перенесем параллельным переносом вектор в точку M1, тогда мы видим, что вектор скорости получает приращение .
В результате, если уменьшать промежутки времени t к нулю, то оба соотношения (см. рис. 1.6) ибудут стремиться к пределам
| ||
Рисунок 1.5. |
|
Рисунок 1.6. |
и .
Пример . |
Пример: Снаряд выпущен с начальной скоростью V = 200 м/с под углом = 60 к горизонту. Определить кривизну траектории в точке наивысшего подъема снаряда (Рис.1.7). Силами аэродинамического сопротивления пренебречь.
| |
Рисунок 1.7. |
Решение:
| |
В верхней точке
|