- •Механика
- •Кинематика
- •1.1. Кинематика материальной тоски.
- •1. 1. 1. Система отсчета. Радиус-вектор. Кинематическое уравнение движения.
- •1. 1. 2. Траектория. Путь. Перемещение. Число степеней свободы.
- •1.1.3. Скорость, мгновенная и средняя скорость. Средняя путевая скорость.
- •1. 1. 4. Ускорение. Мгновенное и среднее ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.
- •1. 2. Кинематика поступательного и вращательного движения твердого тела
- •1. 2. 1. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •1. 2. 2. Угловая скорость
- •1. 2. 3. Угловое ускорение.
- •1. 3. Связь линейных и угловых кинематических величин.
- •1. 4. Преобразование координат, скоростей и ускорений при переходе из одной системы отсчета в другую.
- •Вопросы для самоконтроля.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Литература
1.1. Кинематика материальной тоски.
1. 1. 1. Система отсчета. Радиус-вектор. Кинематическое уравнение движения.
Положение тела (материальной точки) в пространстве можно определить, только по отношению к другим телам.
Система неподвижных тел (их количество должно совпадать с размерностью пространства), с которой жестко связана система координат, снабженная часами и используемая для определения положения в пространстве тел и частиц, в различные моменты времени, называется системой отсчета (СО)
Наиболее распространенной системой координат является прямоугольная декартова система координат.
Положение произвольной точки М характеризуется радиус-вектором , проведенным из начала координат 0 в точку М.
Кинематическим законом или кинематическим уравнением движения является зависимость:
. |
|
Вектор можно разложить по базису , ,декартовой системы координат:
. |
|
Вектора , ,-единичные ортогональные векторы (орты): , ,=1
Движение точки будет полностью определено, если будут заданны три непрерывные и однозначные функции времени:
x = x(t); y = y(t); z = z(t). |
(1.1) |
Эти уравнения движения также называются кинематическими уравнениями движения.
1. 1. 2. Траектория. Путь. Перемещение. Число степеней свободы.
Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию, назваемую траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности и криволинейное движение.
Длина участка линии, - траектории, между точками 1 и 2 , называется путем, пройденным частицей (S). Путь не может быть отрицательной величиной. Вектор , проведенный из точки 1 в точку 2 (см. рис. 1.1) называетсяперемещением. Он равен изменению радиуса вектора точки за рассматриваемый промежуток времени: |
| ||
Рисунок 1.1. |
| ||
|
(1.2) |
При движении точки ее координаты и радиус-вектор изменяются с течением времени, поэтому для задания закона движения этой точки необходимо указать вид функциональных зависимостей от времени.
1.1.3. Скорость, мгновенная и средняя скорость. Средняя путевая скорость.
Быстрота перемещения тела в пространстве характеризуется скоростью.
В случае равномерного движения величина скорости , которой обладает частица в каждый момент времени, можно вычислить, разделив путь (S) на время (t).
|
|
Рассмотрим теперь случай неравномерного движения. Разобьем траекторию (см. рис. 1.2) на бесконечно малые участки длины S.
Каждому из участков сопоставим бесконечно малое приращение . Пусть в момент времениt материальная точка M находится в положении, которое описывается радиус-вектором .
Спустя некоторое время t она переместится в M1 с радиус-вектором .
|
|
|
Радиус-вектор материальной точки получит приращение:
Разделив это перемещение на соответствующий промежуток времени |
Рисунок 1.2. |
t получим среднюю скорость.
|
(1.3) |
Если брать все меньшие промежутки t, устремляя их к нулю, тогда соотношение на t в пределе даст значение скорости в момент времени t.
Эта скорость называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки в момент времени t, и определяется выражением:
|
(1.4) |
Т.к. – есть функция, то по определению производной
|
(1.5) |
Средней путевой скоростью называется скалярная величина, равная отношению длины ∆S участка траектории к продолжительности ∆t прохождения его точкой: .
При криволинейном движении . Поэтому в общем случае средняя путевая скорость не равна модулю средней скорости. Здесь знак равенства соответствует прямолинейному участку траектории.
Единица измерения скорости - 1 м/с.
Разложение вектора скорости по базису прямоугольной декартовой системы координат имеет вид:
|
(1.6) |
Проекции скорости точки на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:
, |
(1.7) |
а модуль вектора скорости:
|
(1.8) |
Пример |
Пример: Материальная точка движется по закону . Определить закон изменения ее скорости. Решение: Имеем
|