- •Лекция 14. Элементы статистической физики.
- •13. 1. Основные понятия.
- •13. 2. Распределение Максвелла (по скоростям).
- •13. 2. 1. Распределение Максвелла (по скоростям) при одномерном движении частиц.
- •13. 2. 2. Распределение Максвелла (по скоростям). Трехмерный случай.
- •13. 2. 3. Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости частиц.
- •13. 2. 4. Распределение Максвелла в безразмерном виде.
- •13. 2. 5. Распределение Максвелла по энергиям.
- •13. 3. Распределение Больцмана. Газ в силовом поле.
- •13. 3. 1. Барометрическая формула.
13. 2. 3. Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости частиц.
Наиболее вероятная скорость.
Наиболее вероятная скорость молекул идеального газа соответсвует максимуму функции f(v). Следовательно, эта скорость может быть найдена из выражения
|
(13.18) |
Средняя скорость молекул.
По определению:
|
|
Есть табличный интеграл:
|
|
В нашем случае
Откуда получаем:
|
(13.19) |
средняя квадратичная скорость <Vкв> молекул.
|
|
По определению
|
|
Есть табличный интеграл:
|
|
В нашем случае
Получаем:
|
(13.20) |
Скорости, характеризующие состояние газа.
Наиболее вероятная скорость |
|
Средняя |
|
средняя квадратичная скорость |
|
Где: k – постоянная Больцмана;
m0 – масса молекулы;
Т – термодинамическая температура;
R - молярная газовая постоянная;
- молярная масса.
13. 2. 4. Распределение Максвелла в безразмерном виде.
Зачатую бывает удобно провести анализ или решение задачи воспользовавшись распределением Максвелла по скоростям в безразмерном виде. Что получить распределение в такой записи перейдем к безразмерной скорости
|
Тогда выражение (13.16) примет вид
(13.21) |
13. 2. 5. Распределение Максвелла по энергиям.
Преобразует выражение (13.6) с помощью замен (среднее значение энергии, приходящееся на одну степень свободы) и(кинетическая энергия частицы). Тогдаи
|
или после перехода к безразмерной величине
(13.22) |
Это и есть распределение Максвелла по энергиям
13. 3. Распределение Больцмана. Газ в силовом поле.
Перейдем к рассмотрению газа во внешнем силовом поле. Для простоты будем полагать, что в любом физически малом объеме температура газа одинакова. Выделим в газе два равных по величине объема (см. рис. 13.3) таких, что в каждом из них можно полагать потенциальную энергию неизменной.
|
|
Рисунок 13.3. |
Пусть в первом объеме молекулы газа обладают потенциальной энергией , а во втором. Согласно формулам (13.3) и (13.9) вероятности того, что молекулы обладают такими значениями потенциальной энергии (т.е., и.) будут соответственно равны
и. |
(13.23) |
Здесь - некоторый числовой множитель.
С другой стороны эти вероятности идолжны относиться друг к другу в той же пропорции, что и количества частиц в выбранных объемах при одинаковых в них температурах
(13.24) |
Подставим в левую часть этого равенства (13.23), а числитель и знаменатель правой дроби поделим на величину выбранного объема . Тогда учтя, что концентрация частиц, после упрощений получаем
|
Отсюда следует, что
(13.25) |
или
(13.26) |
где - концентрация частиц в местоположении частиц газа с нулевой потенциальной энергией. Данное выражениеназывается распределение Больцмана (при постоянной температуре).
Анализ данного выражения показывает, что силовое поле принуждает собираться частицы газа в местах с минимальной потенциальной энергией, а тепловое движение приводит к разбрасыванию частиц по пространству.