- •Лекция 14. Элементы статистической физики.
- •13. 1. Основные понятия.
- •13. 2. Распределение Максвелла (по скоростям).
- •13. 2. 1. Распределение Максвелла (по скоростям) при одномерном движении частиц.
- •13. 2. 2. Распределение Максвелла (по скоростям). Трехмерный случай.
- •13. 2. 3. Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости частиц.
- •13. 2. 4. Распределение Максвелла в безразмерном виде.
- •13. 2. 5. Распределение Максвелла по энергиям.
- •13. 3. Распределение Больцмана. Газ в силовом поле.
- •13. 3. 1. Барометрическая формула.
13. 2. 1. Распределение Максвелла (по скоростям) при одномерном движении частиц.
Рассмотрение начнем с одномерного случая, т.е. следим за движением частиц только вдоль одного направления. Пусть этим направлением является ось . Тогда относительное число (доля)частиц, имеющих значения скорости отдосогласно (13.3)
(13.5) |
Здесь - некоторая безразмерная постоянная. Определим входящие в (13.5) величиныииз следующих условий:
- из условия нормировки:
, |
(13.6) |
- и принципа равнораспределения энергии по степеням свободы:
. |
(13.7) |
Интегрируя (13.6) получаем
(13.8) |
Теперь из (13.7) имеем:
|
|
|
(13.9) |
Теперь из (13.8) и (13.9)
(13.10) |
и (13.5) принимает вид:
(13.11) |
Эта формула (13.11) и называется распределением Максвелла (по скоростям) при одномерном движении частиц.
Проанализируем полученный результат. Изобразим на рис. 1 вид функции
(13.12) |
при двух значениях температуры и.
Из рисунка 13.1 видно, что больше всего молекул наблюдается при . Увеличение температуры приводит к уменьшению максимально значения функции (13.12) и «разбрасывает» молекулы по значениям проекции скорости. Отметим, что при таком «разбрасывании» площадь под кривой не изменяется и всегда равна единице. | |
Рисунок 13.1. Распределение Максвелла для молекул азота при температуре 300 и 900 К. |
13. 2. 2. Распределение Максвелла (по скоростям). Трехмерный случай.
На основании принципа независимости движения частиц по направлениям имеем независимость событий попадания значений проекций скоростей соответственно в интервалы. Согласно формуле условной вероятности и (13.11) вероятностьтого, что скорость частицы будет иметь значения проекций, попадающие в указанные интервалы, будет равна
(13.13) |
Учитывая, что значение (полной) скорости выражается через ее проекции формулой
, |
(13.14) |
запишем это (13.12) выражение в виде
(13.15) |
При имеющем здесь месте изотропном (напоминаем, независящем от направления) движении частиц справедливо
|
Тогда (13.14) окончательно запишем так
(13.16) |
Данную формулу называют распределением Максвелла по скоростям.
Подвергнем анализу полученный результат. Изобразим на рисунке 2 функцию
(13.17) |
для двух значений температуры. Из рис. 13.2 видно, что:
при значение;
также . Следовательно, вероятность обнаружить частицы со скоростями близкими к нулю и очень большими скоростями очень мала.
кривая имеет максимум при некотором значении скорости, обозначенной на рис. 2 как . При этом значении скорости вероятность обнаружения частицы в единичном интервале скоростей будет наибольшей. Поэтому скоростьпринято называть наиболее вероятной скоростью.
Площадь под кривой как и в предыдущем случае всегда равна единице.
|
Рисунок 13.2. Распределение Максвелла для молекул азота при температуре 300 и 900 К |